2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 新課標(biāo)版 文科 作業(yè) 題組層級快練 51-60

題組層級快練（五十一）

1.（2022?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）圓G：2）2+°，-2/=4和圓。2：（X—2）2+0，-5產(chǎn)=16的

位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交

C.內(nèi)切D.外切

答案B

解析易得圓G的圓心為G（—2,2）,半徑々=2,圓C2的圓心為C2（2,5）,半徑/*2=4,

圓心距|GC,=A/[2-（-2）]2+（5-2）2=5<門+n=2+4,所以兩圓相交.

2.已知圓『+），2+Zr—2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實(shí)數(shù)。的值是（）

A.-2B.-4

C.-6D.-8

答案B

解析先求出圓心、半徑以及圓心到直線的距離，再列方程求解.

由圓的方程f+y+Zr—2y+a=0可得，圓心為（一1,1）,半徑r=j—a（a<2）.圓心到直

線x+y+2=0的距離為d—■―1,+21=啦.由3=6^+（弓）,得2—a=2+4,所以a=-4.

3.已知圓Oi的方程為/+。+1）2=6,圓。2的圓心坐標(biāo)為（2,1）.若兩圓相交于A,B兩

點(diǎn)，且H8|=4,則圓a的方程為（）

A.（x-2）2+"-1）2=6

B.。-2）2+°—1產(chǎn)=22

C.2）2+（），-1>=6或（工一2產(chǎn)+1）2=22

D.（犬一2）2+°，-1/=36或。-2）2+°，-1產(chǎn)=32

答案C

4.在平面直角坐標(biāo)系中，直線工一>+1=0與圓C/+），2一級一8,，+13=0相交于A,B兩

點(diǎn)，P為圓C上的動點(diǎn)，則4%8面積的最大值為（）

A.2+272B.2

C.1+6D.2+理

答案A

解析本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離.

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X-1）2+G，-4）2=4,圓心為C（l,4）,半徑/*=2,圓心。到直線人4的

珀京,H-4+1Ir-

距離d——72,

...HB|=2爐二］=2，1由于尸為圓C上的動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線A8距離的最大值為"+廠=

A/2+2,因此，△必B面積的最大值為3人用?（6/+,）=3）<26X（、/5+2）=2+2也.故選A.

5.（2022?衡水中學(xué)調(diào)研卷）圓爐+尸―4x+2y+c=0與y軸交于A,B兩點(diǎn)，其圓心為P,若

NAPB=90°,則實(shí)數(shù)c的值是（）

A.—3B.3

C.272D.8

答案A

解析由題知圓心為（2,—1）,半徑為廠=勺5—c（cy5）.令x=0,得尸+2>+°=0,由/>0

得c<l,則》+”=—2,.\叮2=。，，|A8|=|yi—）引=211一c?又立陰=地幾

:.4（1—c）=2（5—c）.Ac=-3.

6.在圓r+y2-2x-6y=0內(nèi)，過點(diǎn)E（0,1）的最長弦和最短弦分別為AC和則四邊形

ABCD的面積為（）

A.5^2B.10>/2

C.15v5D.20V5

答案B

解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。-1）2+。-3）2=10,則圓心為（1,3）,半徑r=V10,由題意知

AC±BD,且-口=2忻，18G=2410—5=2小,

所以四邊形ABCD的面積為S=^\AC\?\BD\

=1X2VIOX2V5=1OV2.

7.已知圓G：—依一）,=0和圓C2：必+）2—26—1=0的公共弦所在的直線恒過定點(diǎn)

M,且點(diǎn)M在直線〃認(rèn)+町=2上，則N〃?2+序的最小值為（）

B坐

A5

r^/5Dl

5

答案C

解析由圓G：f+y2->=0和圓C2：f+y2—2ky—1=0,可得兩圓的公共弦所在的

x—2y=0,fx=2?

直線方程為女。一2），）+&-1）=0,令解得《即點(diǎn)M（2,I）,又點(diǎn)M在直線

［廠1=0,［y=l,

225

tnx-\-ny=2上，所以2〃?+〃=2.因?yàn)樵c(diǎn)（（），（））到直線2r+y=2的距離d=

[22+125，

______入伍

所以7m2+〃2的最小值為拶.故選C.

8.（2022?河北名校聯(lián)盟二診）直線）=依?與圓1）2+0，-1尸=1交于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)

原點(diǎn),則必?而=（）

]嚴(yán)

AT+￥B」+爐

c.ID.2

答案C

解析方法一：設(shè)M（X1,），i）,ME,）?2）.

尸丘，

聯(lián)立

(X-1)2+(y-1)2=],

得(3+l)f-(2k+2)x+1=0.由/=8Q0得k>0,

2〃+2

X1+％2=火2+]，

及2

.'-yijz=&工2=]

1

”送2=西7,

?*.OM?。"=工陽+)，1>2=7^^+]1?故選C.

方法二（特值法）：

由題可設(shè)圓心為C（l,1）,半徑/*=1,

令左=1,如圖，此時(shí)直線過圓心，

則麗?麗=IOM?QM

=（|OC|一力（|。0+「）

=|OC|2一戶=1.故選C.

9.（2022?山東泰安市模擬）直線），=入一1與圓C：伏+3>+（），-3）2=36相交于A,8兩點(diǎn)，

則A8的長度的取值范圍為（）

A.[2,12]B.[207,12）

C.（2/，y[V2]D.[2日1，⑵

答案D

解析因?yàn)橹本€）=&-1過定點(diǎn)（0,-1）,故圓C的圓心（-3,3）到直線丁=丘-1的距離

的最大值為、（0+3）2+（—1—3）2=5.又圓C的半徑為6,故弦長AB的最小值為

2、62_52=2舊

又當(dāng)直線.y=丘一1過圓心時(shí)弦長AB取最大值為直徑12,故48￡[2皿，12].故選D.

10.已知尸(x,y)是直線質(zhì)+)，+3=0">0)上一動點(diǎn)，M.P8是圓C：爐+尸-2y=0的兩條

切線.A,8是切點(diǎn)，若四邊形以C8面積的最小值是小，則k的值為()

A.小B.^2

C.2小D.班

答案A

解析如圖，圓C：f+y2-2y=0的圓心為(0,1),半徑是r=l,

由圓的性質(zhì)知SE埋彩小CB=2S"BC」「四邊形PACB面積的最小值是#,

S^PBC的最小值為坐=；M(d是切線長)，

:.d最小小=，5.

2

.??Ipq的最小值為A/12+（V3）=2,2=7^'=土巾,VJ>0,，后=小.故選A.

11.若P(2,1)為圓(x-l)2+y2=25的弦AB的中點(diǎn)，則直線A8的方程為

答案x+廠3=0

解析因?yàn)閳A(x—1)2+尸=25的圓心為(1,0),所以直線A8的斜率等于m=-1,由點(diǎn)斜

2^

式得直線AB的方程為_y-l=-(x-2),即x+y-3=0.

12.(2022?石家莊質(zhì)檢)已知直線x-2y+a=0與圓。：#+)口=2相交于A,B兩點(diǎn)(O為坐

標(biāo)原點(diǎn))，且△AO8為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)。的值為.

答案小或一邛

解析因?yàn)橹本€工一2)，+。=0與圓0：/+產(chǎn)=2相交于A,8兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且AAOB

為等腰直角三角形，所以0到直線A3的距離為1,由點(diǎn)到直線的距離公式可得?廠一i一『

蟲+(-2)2

=1,所以〃

13.已知直線小x-y+2=0及直線小X一廠10=0截圓C所得的弦長均為8,則圓C的面

積是.

答案25n

解析因?yàn)橐阎膬蓷l直線平行且截圓。所得的弦長均為8,所以圓心到直線的距離，/為兩

直線間距離的一半，即1=3義]巖

=3.又因?yàn)橹本€截圓C所得的弦長為8,所以圓的半徑

r=、32+42=5,所以圓C的面積是25n.

14.(2022?云南彌勒市一中期末)直線/：ar—y+3=0與圓C：f+y—4x+2y=0相交于M,

N兩點(diǎn)，若IMN122小，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是________.

答案[-7,-1]

解析因?yàn)閳AC：(x—2)2+。+1/=5,直線/：ar—>'+3=0,

而|MN122小，則(當(dāng)%=5—(」孑三&)223,

乙yi+屏

解得-7WaW-l,所以a的取值范圍為[-7,-1].

15.已知圓M：/+(),-2)2=],直線/：y=-\,動圓P與圓M相外切，且與直線/相切,

設(shè)動圓圓心P的軌跡為E

(I)求石的方程;

(2)若點(diǎn)A,6是E上的兩個動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且。4?06=—16,求證：直線A6恒過

定點(diǎn).

答案(l*=8y(2)略

解析(1)由題意，動圓P與直線/：)，=-1相切，且與定圓M：.F+3-2尸=1外切，所以

動點(diǎn)尸到圓M的圓心”(0,2)的距離與到直線)，=-2的距離相等.

由拋物線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M(0,2)為焦點(diǎn)，直線)，=一2為準(zhǔn)線的拋物線.

故所求P的軌跡E的方程為W=8y.

(2)證明：由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線A8：)，=公+。，AUi,》)，”)，

將直線AB的方程代入到r=8y中得/一8履一8/?=0,4=64A:2+32/?,

所以xi.H=-8〃，

又6A,而=xix2+y=M12+”6："=-8Z?+52=-16,

所以〃=4,滿足/>0,則直線AB恒過定點(diǎn)(0,4).

圄|重點(diǎn)班-選做題

16.已知點(diǎn)P(2,2),圓C：/+)，2—8)，=0,過點(diǎn)P的動直線/與圓。交于A,B兩點(diǎn),線

段A8的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求M的軌跡方程；

⑵當(dāng)|OP|=|OM|時(shí)，求/的方程及△POM的面積.

答案(l)(x-l)2+(j-3)2=2(2口+3廠8=0y

解析(1)圓C的方程可化為f+G，—4產(chǎn)=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.

設(shè)M(x,y),則CM=(x,y—4),MP=(2—x,2—y).

由題設(shè)知所?加=0,故x(2—x)+(y—4)(2—)，)=0,即。一1)2+()，-3尸=2.

由于點(diǎn)尸在圓。的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x—1)2+。-3)2=2.

⑵由⑴可知M的軌跡是以點(diǎn)N(I,3)為圓心，、△為半徑的圓.連接。M由于|OP|=|OM|，故

O在線段的垂直平分線上，又夕在圓N上，從而ON_LPM.

因?yàn)镺N的斜率為3,所以/的斜率為一g,故/的方程為x+3)，-8=0.

又|OM=|OP|=2陋，O到/的距離為色曾，所以|PM=嗎叵，S"OM=：X%^X%粵=華,

JJ/JJJ

故△POM的面積為牛.

題組層級快練(五十二)

1.若橢圓/+，〃產(chǎn)=1的焦點(diǎn)在y軸上，且長軸長是短軸長的兩倍，則〃?的值為()

A.；

C.2D.4

答案A

解析將原方程變形為r+,=1.

由題意知*=而，b2=\,：.ab=\.

2.已知橢圓，+g=I(心＞0)的焦點(diǎn)分別為F),后，b=4,離心率為，.過R的直線交橢圓

于A,B兩點(diǎn)，則△ABE的周長為()

A.10B.12

C.16D.20

答案D

33

解析由橢圓的定義知△ABF?的周長為4”，又6=￡c=予即c=5〃，

，〃=5,ZVIB月的周長為20.

3?橢圓品+3ji

則機(jī)=（

1?！▉V））的焦點(diǎn)為自，尸2，上頂點(diǎn)為A,若NQ4F2=3)

A.1B.^2

C幣D.2

答案C

解析由題意得a=N〃P+],〃=〃?，所以。=4——拄=1.因?yàn)锳為橢圓的上頂點(diǎn)，且//

=y,所以由橢圓的對稱性知為等邊三角形，所以HQI=IQBI=2c.又知HK|+HBI

=2a,所以HFII=HF2|="，所以a=2c,即541=2,得機(jī)=小.故選C.

4.與橢圓9f+4產(chǎn)=36有相同焦點(diǎn)，且滿足短半軸長為2小的橢圓方程是（）

X2y2y2

A,25+20=1B,20+25=1

x2v2r2v2

C-+-i-=1n-+-=i

J20T45~0851

答案B

5.橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都

經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn).電影放映機(jī)聚光燈泡的反射鏡軸截面是橢圓的一部分（如圖），燈絲（看

成一個點(diǎn)）在橢圓的右焦點(diǎn)尸2處，燈絲與反射鏡的頂點(diǎn)A的距離尸2Al=1.5cm,過焦點(diǎn)Fl

且垂直于軸的弦|8C]=5.4cm,在x軸上移動電影機(jī)片門，將其放在光線最強(qiáng)處，則片門離

燈絲（）

A.10cm

C.12cmD.13cm

答案C

"a—c=1.5,

解析由題意可知<"=2.7,6,則2c=12,

、/=加+/,

?.?片門放在光線最強(qiáng)處，

...片門應(yīng)放在8處.

，片門離燈絲12cm.故選C.

6.設(shè)橢圓。a+W=S/>>0）的左、右焦點(diǎn)分別是臼，戶2，P是橢圓C上一點(diǎn)，且PT

與X軸垂直，直線與橢圓。的另一個交點(diǎn)為Q.若直線PQ的斜率為一點(diǎn)則橢圓C的離

心率為()

A.乎B.；

C坐D.當(dāng)

答案B

解析由題意知E(—c,0),B(c,0).由尸H與x軸垂直，PQ的斜率為一點(diǎn)可得￡),

b2

a3〃2—/3

由心°=切心==斤=一不整理得一元一=/即2/+3ac—2a2=0,得2/+3e—2=0,解

得e=J或e=-2(舍去).故選B.

7.占希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長

與短半軸長的乘積.若橢圓。的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)H，F(xiàn)2均在x軸上，C的面積為25明

且焦距為2,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.方+產(chǎn)1B.5+]=l

x2Fx2v2

答案B

L_273JT

解析由題意可得『-1T'解得屋=4,從=3,

因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在x軸上，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為?+反=1,故選B.

8.設(shè)橢圓c1+g=3"＞。)的左、右焦點(diǎn)分別為a,B,離心率為李。是c上一點(diǎn),

且FiP工F2P.若APRF2佗面積為4,則a=()

A.1B.2

C.4D.8

答案C

解析??3=坐，???3序=42由橢圓定義可得伊川+/冏=24

由QP_LBP得|PRF+|Pp2F=(2c)2,

又△PFiB的面積為4,則;|PFi|?|尸尸2|=4,即|PQ|?|尸產(chǎn)1=8,??.(|PFI|+|PB|)2一2|PR|?|PB|

=4c2,即4a2—16=3標(biāo)，則標(biāo)=①，解得〃=4.故選c.

9.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為。+提=1（〃>〃>0）,短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個

三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為爭則橢圓的離心率為（）

A4B-3

C」D.1

答案c

解析由題意及三角形面積公式得JX2C?Q1（24+2C）M得〃=2C,即e=：=；,故選C

乙乙Da乙

10.如圖，已知橢圓C：，+￡=1（。>。>0），其中左焦點(diǎn)為廣（一2小,0）,尸為C上一點(diǎn)，滿

足|OP|=|OQ,且|PF1=4,則橢圓。的方程為（）

A-25+T=1

rf、

C36+10=1

B

解析設(shè)橢圓的焦距為2c,右焦點(diǎn)為n,連接。入，如圖所示.

由尸（一2小，0）,得C=2?6

由|OP|=|OFl=|O”i|,知

在中，由勾股定理，得

\PFi\=A/|FIF|2-|PF12=yj（4^/5）2-42=8.

由橢圓定義，得|尸R|+|PQ=2a=8+4=l2,從而。=6,得層=36,于是尻=〃一/=36—

（2后=16,

所以橢圓C的方程為表+差=1.

3blo

11.已知產(chǎn)是橢圓石：，+g=l3>/?0）的左焦點(diǎn)，橢圓石上一點(diǎn)P（2,1）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)

為Q.若的周長為4、0+24，則。一〃=（）

A.&B坐

C.小D.當(dāng)

答案A

解析本題考查橢圓的定義及其對稱性.取橢圓E的右焦點(diǎn)尸，連接尸尸，QF',則四

邊形QFPP為平行四邊形，則|P尸|=|QB因?yàn)閊尸。尸的周長為4g+2小，所以IPQ+IQF1

十|PQ=4近+245,所以2尸十|尸尸|+21Poi=4小十2市.由橢圓定義知，甲八十|尸尸|=2a

因?yàn)镻（2,1）,所以尸0|=122+12=小.所以2a+2小=4建+2小,解得。=2理.又點(diǎn)尸（2,

1）在橢圓E上，所以-（/）「+[=1，解得力=也所以。-8=2g一g=隹故選A.

12.已知橢圓￡+==1（〃＞力＞0）,R,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓的下頂點(diǎn)，直

線交橢圓于另一點(diǎn)P，若|尸人|=|網(wǎng)，則橢圓的離心率為（）

＜3口1

AA.3B3

C當(dāng)

乙D.乙1

答案A

解析如圖，點(diǎn)。在橢圓上，所以|PB|+|PF2l=2a

又|PF||=|%|=|PBI+HF2|,HFI|=HBI=4,代入上式，得|PH|=U，

222

「A」|AFi|+h4P|-|PF1|

在4A尸R中，cosNBW32蒜苗一=

犀+（y）2-（竽）2]

2r/X-

又cosZ/^Fi=1-2sin2ZOAF\=^,

所以sin/O"產(chǎn)乎，即sin/OAFi=\=e=乎.

13.（2021?全國乙卷，文）設(shè)8是橢圓C：,+產(chǎn)=1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)尸在。上，則|PB|的最大

值為（）

A.|B.#

C市D.2

答案A

解析方法一（消元轉(zhuǎn)化法）：設(shè)點(diǎn)PC-），），則根據(jù)點(diǎn)尸在橢圓9+V=l上可得/=5—5），2.

易知點(diǎn)5（0,1）,所以|P8F=/+（）,—1）2=5-5尸+（）,—1）2=-4）2—23:+6=離一（2），+劣，|），|

W1.

當(dāng)2廣4=0,即產(chǎn)一抖仍砰取得最大值竽，所以|網(wǎng)必奇.故選A.

a

方法二（利用橢圓的參數(shù)方程）：因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓三+y=1上，所以可設(shè)點(diǎn)P（小cos0,sin

。）.

易知點(diǎn)4（0,1）,所以伊邱=（小cos0）2+（sin0-1）2=4COS20-2sin夕+2=-4sin?”

2sin夕+6=苧一（2sin"+扛易知當(dāng)2sin〃+J=0,即sin，=一；時(shí)，|P8F取得最大值學(xué)

所以|P8UJX=W故選A.

14.已知橢圓C：言唁=匕?B分別為橢圓的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)。在橢圓上，且|P&I=3,則

△PQB的面積為.

答案6

解析???|Pai+|PBI=2a=8,.*.^11=8-3=5,

又|FiB|=2c=4,/.PF2±FIF2,

:.S△尸PB=；|睡|舊尸11=；X3X4=6.

22

15.如圖所示，已知橢圓X7+V方=15>">0）,R,B分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上

頂點(diǎn)，直線4&交橢圓于另一點(diǎn)注

（1）若NQA8=90°,求橢圓的離心率:

（2）若橢圓的焦距為2,且京=2萬及求橢圓的方程.

答案⑴坐（2年+至1

解析（1）若/尸質(zhì)8=90°,則△AOB為等腰直角三角形.所以有|。4|=|。入|,即6=c.

所以。=取3e=^=2?

(2)由題知A(0,b),F2(l,0),設(shè)8(x,y),

〃

由第2=2而，解得x=/,y一

2-

9〃

-一

W44

代

得

入

7+?-一=

+-墳

即看+"=1，解得〃=3,則乂=〃一02=2,

所以橢圓方程為《+9=1.

圄|重點(diǎn)班-選做題

16.已知橢圓C：/+方=1（。＞比＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,F?,長軸長為4,點(diǎn)P（，L1）

在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)。在橢圓上，則下列說法正確的是（）

A.離心率的取值范圍為（0,

B.當(dāng)離心率為平時(shí)，|Q*+|QP|的最大值為。+乎

C.存在點(diǎn)。使得行1?旎=0

D.麻j+亞可的最小值為1

答案D

解析本題考查橢圓的離心率、定義和基本不等式的應(yīng)用.

由題意可得2a=4,所以q=2.

由點(diǎn)尸（啦，1）在橢圓內(nèi)部可得Z+kV1,

可得2＜岳＜4,即2＜4—＜?2＜4,所以0＜（y也.

對于A,由e=5，得0＜處等，故A錯誤；

對于B,當(dāng)e=乎時(shí)，c=李，B露，（）），

連接則|QR|+|QP|=%一|QF2|+lQP|W2〃+|PF2|=2a+乎，當(dāng)且僅當(dāng)P,尸2,Q三點(diǎn)

共線且點(diǎn)尸2在點(diǎn)P,。之間時(shí)等號成立，故B錯誤；

對于C,當(dāng)。為短軸端點(diǎn)時(shí)，NBQB最大，此時(shí)IQFi|=IQBI=a

九2-擊

則cosZF\QFi-—宏一=1—2/,

由,得0<COSNQQ&<1,則0。vC〈90'，

所以不存在點(diǎn)Q使得@包?0月=0,故C錯誤：

為干n]|一I_IQFI|+|QE_4、4二4二

科丁口，10尸尸|。尸2廠IQRI?|。川―IQQI?I。尸2廠（IQA|+IQBI『一4一L

當(dāng)且僅當(dāng)|QR|=|QB|,即。為短軸端點(diǎn)時(shí)，等號成立，故D正確.故選D.

題組層級快練（五十三）

1.直線產(chǎn)hT+1與橢圓卷+?=1的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

答案A

2.（2021.遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）己知3分別為橢圓卷+號=1的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)為的

直線交橢圓于A,8兩點(diǎn).若|/M|+|BB|=12,則|A8|=（）

A.6B.7

C.5D.8

答案D

解析本題考查橢圓焦點(diǎn)三角形的周長.由橢圓方程可知〃=5,由題意可得|AQ|+H&I=

|8Fi|+0&|=2a,所以△<8&的周長為4a=20.若匹川+舊8|=12,則|人身=20-12=8.故選

D.

2

3.過橢圓,+]=1的右焦點(diǎn)尸2作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，則△048的面積為（）

4八5

A-3B3

-5r10

C,4DT

答案B

14/+5）2=20,

解析由題知直線方程為,，=2（工一1）,聯(lián)立；、解方程組得交點(diǎn)40,-2）,

[y=2（x-l）,

-'-SAOAH=2?|0尸2|["一),2|=弓.

4.過橢圓C：S+￡=1（＜7＞〃＞。）右焦點(diǎn)尸的直線/：1一），一蟲=0交。于4,B兩點(diǎn),尸為

A3的中點(diǎn)，且。尸的斜率為一；（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓C的方程為（）

A「+與=1B料曰=1

C方+亍=16='

答案A

解析直線/：x—y—巾=0中，令y=0,可得工=小，所以右焦點(diǎn)八小，0）,設(shè)A（xi,），i）,

B（X2,）'2）,

則A,B的中點(diǎn)心愛,

x-y—y[3=0.

聯(lián)立|整理得(a2+b2)y2+25扶y+3b2—crb2=0,

叱i2小。262小?

所以"+”=一〃+/尸制+不=>1+”+2Q3=〃2+h2，

A+>'2_尤_1

所以koP=

X\+X2a22,

所以儲=2尻，又以==+妙,c2=3,

所以岸=6,從=3,

所以橢圓的方程為言+=1.故選A.

5.（2022.長沙市模擬題）已知拋物線r=2〃），（〃＞0）的焦點(diǎn)F是橢圓%+方=1（。＞比＞0）的-個焦

點(diǎn)，且該拋物線的準(zhǔn)線與橢I員I相交于A,8兩點(diǎn)，若△E4B是正三角形，則橢圓的離心率為

()

IB當(dāng)

A.2

C近

13灣

答案C

解析如圖，由尸坐△朋B是正三角形，得乎X*=2c,化簡可得（24一3加）（2〃+

。2）=0,所以2/—3〃=o,所以所以橢圓的離心率6=亍=\/1一。=乎.故選C.

（4JC4\Iv＜J

6.設(shè)用分別是橢圓：+y2=l的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P,使（漆+繇2卜沛2

=0（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△人尸”2的面積是（）

A.4B.3

C.2D.1

答案D

解析因?yàn)椋Q+麗）?麗=（5>+而7）?麗=幣.即2=0,所以PF」PF2,NQPB=90。.

設(shè)|PFi|=〃?，\PF2\=nf則〃?+〃=%而+〃2=]2,2〃皿=4,所以S"i%=*〃=1.故選

D.

7.（2021?成都七中期末）已知橢圓C：$+￡=13?>0），焦點(diǎn)”-2,0）,尸2（2,0）.過八（一

2,0）作傾斜角為60°的直線/交橢圓上半部分于點(diǎn)A,以QA,廣。（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鄰邊

作平行四邊形OBA4點(diǎn)3恰好也在橢圓上，則力2=（）

A.小B.2小

C.4小D.12

答案B

解析依題意可知，c=2,設(shè)A*[，3?|）?成0然），

因?yàn)樗倪呅蜲RAB為平行四邊形，所以川二”.

尸尸正xr.yr_*總

又加+〃-1'〃2+/—1，所以也一一孫

又F\A〃OB,且直線QA的傾斜角為60°,

所以由=照=小，

工1十2X2

=

因?yàn)椤?）%X2=-xi,所以xi=—1,X2=1,yiy2=y3f

所以4—1,巾），將其代入5+方=1,得/+a=1①，又c=2,所以序一岳=/=4②,

聯(lián)立①②解得標(biāo)=4+2#,〃=2小.故選B.

8.（2022?海南高三模擬）設(shè)橢圓方+]=1的右焦點(diǎn)為R宜線），=〃1（0<〃]<4）與橢圓交于人,

B兩點(diǎn)，則下列說法不正確的是（）

A.HQ+IBFI為定值

B.△八8尸的周長的取值范圍是[6,12]

C.當(dāng)機(jī)=坐時(shí)，△A8”為直角三角形

D.當(dāng)〃?=1時(shí)，ZSAB尸的面積為加

答案B

解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為尸，連接人尸，則HF'|=|BQ,

.?.HQ+|8F|=HQ+總尸|=2。=6為定值，A正確：

AABF的周長為依陽+以同+舊門，

?「HQ+lbQ為定值6,|A5|的取值范圍是（0,6）,

「?△AB/7的周長的取值范圍是（6,12）,B錯誤；

將1），=坐與橢圓方程聯(lián)立，可得3=普，不妨設(shè)A,8的坐標(biāo)分別為（一歲，吟，（歲,

罵

2人

又,:F（y[6,0）,.\AF,BF=（y[6+邛3（加一+（乎戶=0,

二.△AB/為直角三角形，C正確；

將），=1與橢圓方程聯(lián)立，得工=力體，不妨設(shè)A,8的坐標(biāo)分別為（一#,1）,（加,1）.

ASAABF=1X2V6X|=V6,D正確，故選B.

9.橢圓〃*+町2=]（機(jī)>o,〃>0）與直線y=l-x交于M,N兩點(diǎn)，若原點(diǎn)O與線段MN

的中點(diǎn)尸連線的斜率為坐，則低的值是.

答案坐

產(chǎn)1—X,

解析由，加+〃產(chǎn)]消"

得（加+〃）小一2幾丫+〃-1=0.

d=4〃2-4(6+〃)(〃-l)=4/"+4〃-4〃?〃,

則MN的中點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（W：

,點(diǎn)尸在橢圓內(nèi)部，.二川?+〃（〃%〃）VI，又陽>0,?>0,

機(jī)A/2

.?.，〃〃<〃，+〃，此時(shí)J>0.??^OP=~=2~-

10.已知橢圓與+）2=1與直線尸x+〃？交于A,B兩點(diǎn)，且|相|=牛，則實(shí)數(shù)/〃的值為

答案±1

22

ii.已知橢圓c：g=im>/?o）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,尸2,點(diǎn)P在橢圓上,且函

=0,|PB|=g,m=y,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：若過點(diǎn)M（一|，1）的直線/與橢圓

。交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A,8關(guān)于點(diǎn)M對稱，則/的方程為.

答案,+；=1ZL3），+6=0

解析本題考查橢圓的定義、幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系.記橢圓的半焦

414

距為c,根據(jù)橢圓的定義可得，2a=|PR|+|0后|=]+y=6,則a=3.

又際??百A=0,則PH_LRB,所以|Fi=NlPBFTPR|2=d與一竽=2鄧=2c,則c

=小,所以加=#一。2=4,因此橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+，=l.

由題意直線/的斜率存在，設(shè)&汨，巾），8（X2,力），因?yàn)辄c(diǎn)A,8關(guān)于點(diǎn)從一|,1）對稱，

A|十42=-3,

所以,

y\-ry2=2.

（江+支=],,,,,

9

由題意可得42t兩式作差可得北薩+專區(qū)=o,

I9十4f

,4X]+x24、/3、2

則nil-=總_必=-5?^=-9Xl-2>?

所以直線A3的方程為丁一1=孤十號=|^十1,

即2r-3y+6=0.

12.橢圓八，+1=13泌>0）的左、右焦點(diǎn)分別為川，乃，焦距為2c.若直線產(chǎn)?。═+C）

與橢圓廠的一個交點(diǎn)M滿足NMQF2=2NMF2~，則該橢圓的離心率等于.

答案小一I

解析由直線y=<5（x+c）知其傾斜角為60°,

由題意知/MF|F2=60",則NMF2產(chǎn)i=30°,NBMB=90°.

故|MQ|=c,|MF2|=45C

又附居|+|例尸2|=2〃，，（、石+l）c=2a

即,=備丁小-1.

13.已知橢圓C的對稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為Q和/2,且IQBI

=2,點(diǎn)（1,|）在該橢圓上.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(diǎn)R的直線/與橢圓。相交于A,B兩點(diǎn),若戶28的面積為嚀但，求以尸2為圓心

且與直線/相切的圓的方程.

答案(后+與=1(2)(L+產(chǎn)2

解析⑴設(shè)橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+￡=1m*o).

V|FIF2|=2,...2C=2,即C=1.

又???點(diǎn)(i,D在橢圓上，

4+N=I

4b2'解得〃=2,b=4

02=〃+1,

/y2

...橢圓C?的方程為5+5=1.

(2)設(shè)直線I的方程為x=ty—\.

聯(lián)立:二"一:消去x,得(4+3產(chǎn)))2—6)—9=0.

3廠+4儼=12,

,.,4>0恒成立,設(shè)A(xi,yi),8(及,力)，

.p+”=舟’

"=息，

._______________]2,,2+]

??加一W=4⑶+t)2_4)，]迫=4,3產(chǎn)?

：.SAAF2B=^?|F|F2|?|)L)'2l=1解得尸=1.

?.?圓B的半徑/■=8

.??以&為圓心且與直線/相切的圓的方程為(X-1)2+)2=2.

14.已知橢圓C：5+昌1(4>/?0)的右焦點(diǎn)為?(小，0),長半軸與短半軸的比值為2.

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A(l,0)的直線/與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,M若點(diǎn)B(0,1)在以線段MN

為直徑的圓上，求直線/的方程.

答案⑴?+產(chǎn)=J(2)工+)，-1=0或3A—5y-3=0

解析(1)由題可知。=小，|=2,*=按+/,

，a=2,〃=1.，橢圓C的方程為亍+尸=1.

(2)由題意知直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線/的方程為x=〃?y+l,M3,yi),Ngy*.

x=〃?y+1,

聯(lián)立，金+產(chǎn)=］消去工可得(4+〃,?2+2〃少-3=0.

—,ffi—3

4=16〃0+48>0,巾+竺=^7^，>'U2=^p.

???點(diǎn)B在以MN為直徑的圓上，

.?血?麗=0.

BM,BN=(〃?yi+1,y\—1)??；?1,j2-l)=(/n2+1)yi)'2+(??-1)(yi+j2)+2=0,

—3—2m

2

，('m+1)4-+-M^+'(in-1)，?4:+〃二?一2+2=0,

整理得3〃P—2〃z—5=0,解得m=—1或/〃=￡.

，直線/的方程為x+y—1=0或3x—5y—3=0.

圄|重點(diǎn)班-選做題

15.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)連線所組

成的四邊形為正方形.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線/過點(diǎn)尸(0,2)且與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)面積取得最大值時(shí)，求直線/

的方程.

答案(1有+)2=1(2)±7Rr-2y+4=0

解析本題考查橢圓的定義和幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.

(1)設(shè)橢圓方程為今+本=13>/?0),

由已知得，人2!，解得L1

{cr=b1+c1,\tr=\,

???所求橢圓的方程為曰+)2=1.

(2)由題意知直線/的斜率存在且不為零，設(shè)直線/的方程為>，=區(qū)+2,A(xi,巾)，伏刈，”)，

。=履+2,

由"，，消去y得(1+2^^+8依+6=0,

5+戶1

由直線/與橢圓相交于A,8兩點(diǎn)，

3

得J>0=>64^-24(1+2/)>0,解得k2>~

?8k

汨+L7T

又由根與系數(shù)的關(guān)系可得

6

汨?*2=1+26

___________________________、/]+.2_______

方法一：\AB\=W—X2|=N1+^W（Xl+X2）2—4NX2=：_|_.直\/16左2—24.

1I乙K

2

原點(diǎn)。到直線/的距離d=

qi+廬

[16汰2—24?12&2-3

則△408的面積S=%AB|?d=

1+2R=1+2/

令m=山=一3（心0）,則2&2=m2+3,

.j2p〃i_2小

――標(biāo)十廠,4

/〃+—

m

4\[7

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=而即〃1=2時(shí)，Sirax=?

此時(shí)&=±、?,滿足/>0,直線/的方程為±\Z'Rx—2y+4=0.

方法二：設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)為。（一菅，（）），

r,_81

3加+治一1+2公，

由乃>^且〈

z6

/'**2=1+2^

416公一24

S^AOB=^OD\?|）M-yi\=2j?I依l+2-Lt2-2|=|X|-X2|=q（工|+12）2-4X1X2=

1+222

2&?、/2k2—3

1+2好

下同方法一.

2也?炮好—3

方法三:=

SAAOB=SAPOB-S^POA2X2X|卜2|—kl||=,2—X\\—1+2&2

下同方法一.

題組層級快練（五十四）

1.雙曲線36二加一5=1（0<加<3）的焦距為（）

A.6B.12

C.36D.2弋36-2而

答案B

解析?；。2=36—〃戶+〃產(chǎn)=36,.,.c=6.雙曲線的焦距為12.

2.已知雙曲線C：/一￡=1（〃>0,">0）的離心率為2,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±\[5xB.

C.尸斗D.y=±2x

答案A

解析本題考查雙曲線的幾何性質(zhì).

?.?雙曲線C：a一￡=l（a〉0,5>0）的離心率為2,

，￡=2,即Q=4標(biāo).

a

2222

7^=?4-^,：.b=3af即（=小，

.二雙曲線C：a一冬=1（?>0,h>0）的漸近線方程為y=4近工故選A.

3.已知雙曲線，一:=1（心0,歷>0）的兩條漸近線互相垂直，焦距為6VL則該雙