2023年高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練專題13 數(shù)列的綜合應(yīng)用試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)真題與模擬訓(xùn)練專題13數(shù)列的綜合應(yīng)用

第一部分真題分類

1.如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為"。2，…，C112.S1<i<j<k<12.^k-j=3Ky-i=4,

則為,%,以為原位大三和弦；若上-/=4且j-i=3,則稱%,的為原位小三和弦.用這12個(gè)

鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為()

A.5B.8C.10D.15

2.幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解

數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,

4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,...?其中第一項(xiàng)是2。，接下來的兩項(xiàng)是2。，21,再接下來的三項(xiàng)

是2。，21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)MN>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)

鼎，那么該款軟件的激活碼是()

A.440B.330C.220D.110

3.設(shè)｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，｛4｝是公比為夕的等比數(shù)列.已知數(shù)列｛Q“+%｝的前〃項(xiàng)和%=九2一

n+2n-l(nG/V*),則d+q的值是.

4.記外為等差數(shù)列｛冊(cè))的前〃項(xiàng)和，已知Sg=-a5.

(1)若=4,求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若4>0,求使得Sn>%,的〃的取值范圍.

5.已知｛%｝為等差數(shù)列，前八項(xiàng)和為S,5WN*),仍工是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0,b2+

力3=12,壇=。4-2%,Su=11瓦.

(I)求Sn｝和｛匕｝的通項(xiàng)公式；

(H)求數(shù)列(%A｝的前〃項(xiàng)和(nGN*).

6.設(shè)等差數(shù)列但“｝的前〃項(xiàng)和為Sn,。3=4,。4=53.數(shù)列｛b｝滿足：對(duì)每個(gè)nwN*,Sn+bn,Sn+i+

bn,Sn+2+匕成等比數(shù)列?

(I)求數(shù)列｛%?｝，｛%｝的通項(xiàng)公式;

(II)記勿=/景，nWN",證明：C1+C2+…+O<2代，nEN\

7.已知數(shù)列｛斯｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)的和為64.數(shù)列｛5｝是公北大于0的等比數(shù)列，瓦=4,

63-。2=48.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記。=b+—,nWN*.

2nDn

(i)證明:｛。-。2九｝是等比數(shù)列;

(ii)證明：￡匕［卷*2師€4).

8.定義%數(shù)列｛%J：對(duì)PER，滿足：

①的4-p>0,g+P=0：@VnWN*，a4n-i<。4n；@Vm,nWN*,am+ne｛am+an+

P>Qm+%+P+1｝。

(1)對(duì)前4項(xiàng)2,-2,0,1的數(shù)列，可以是&數(shù)列嗎？說明理由；

(2)若｛%｝是品數(shù)列，求劭的值；

(3)是否存在pER,使得存在勺數(shù)列(在卜對(duì)任意/EN*，滿足%NS］。？若存在，求出所有這樣的

P；若不存在，說明理由.

9.9知等比數(shù)列｛an｝的公比q>1,且出+圖+=28,。4+2是。3，的的等差中項(xiàng).數(shù)列｛%｝滿足

瓦=1,數(shù)列｛(%+1-夙)即｝的前〃項(xiàng)和為2彥+n.

(I)求夕的值；

(H)求數(shù)列初“｝的通項(xiàng)公式.

10.已知｛aj為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為Sn(riWN?)，｛九｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，旦公比大于0,b2+

力3=12,力3=。4—2aJ,S】i=11■瓦.

(I)求｛得｝和｛以｝的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)列｛a2nb2時(shí)1｝的前〃項(xiàng)和(nEN)

第二部分模擬訓(xùn)練

1.某企業(yè)年初在一個(gè)項(xiàng)目上投資2千萬元，據(jù)市場調(diào)查，每年獲得的利潤為投資的50%,為了企業(yè)長遠(yuǎn)

發(fā)展，每年底需要從利潤中取出500萬元進(jìn)行科研、技術(shù)改造，其余繼續(xù)投入該項(xiàng)目.設(shè)經(jīng)過

年后，該項(xiàng)目的資金為％萬元.

(1)求證：數(shù)列｛4-1000｝為等比數(shù)列；

(2)若該項(xiàng)目的資金達(dá)到翻一番，至少經(jīng)過幾年？(lg3k0.5,lg2?0.3)

2.已知數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等匕數(shù)歹U.數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和為

Sn,且滿足S3=。4，。3+%=2+%

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛qj前2k項(xiàng)和S2ki

(3)在數(shù)列｛q｝中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)向,40+2,按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有

滿足條件的正整數(shù)次的值；若不存在，說明理由.

3.設(shè)數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，5”二電胃2(4國￡凡4工0均。1)

(1)求證：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

⑵若qeN’,是否存在q的某些取值，使數(shù)列｛為｝中某一項(xiàng)能表示為另外三項(xiàng)之和？若能求出q的

全部取值集合，若不能說明理由.

(3)若qwR,是否存在qe[3,+8),使數(shù)列｛4｝中，某一項(xiàng)可以表示為另外三項(xiàng)之和？若存在指出q

的一個(gè)取值，若不存在，說明理由.

4.已知數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足叼=4,且構(gòu)成等差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝滿足

a二1。82凡+1。82凡…

(1)求數(shù)列｛q｝，也｝的通項(xiàng)公式;

2

(2)若數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為S”，數(shù)列若“｝滿足G,求數(shù)列｛?！保那啊?xiàng)和7；.

5.已知函數(shù)，g(x)=(a-x)cosx.

⑴當(dāng)xNO時(shí)，/(x)之g(x)恒成立，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若數(shù)列｛4｝滿足：%=等，%瀉機(jī)口忑(n=0,12.)，證明："券.

6.已知等差數(shù)列｛所｝和等比數(shù)列｛悅｝均不是常數(shù)列，若ai=b1=L且山，2a2,4a4成等比數(shù)列,4b2,

2b3,b4成等差數(shù)列.

(1)求｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)m,n是正整數(shù)，若存在正整數(shù)I,j,k(iVjVk),使得ambj,amaM,anbk成等差數(shù)列，求m+

n的最小值；

(3)令孰=*"，記｛g｝的前n項(xiàng)和為Tn,｛—｝的前n項(xiàng)和為An.若數(shù)歹J｛pn｝滿足pl=cl,且對(duì)

T-1

Vn>2,nGN*,都有pn=」----l-Ac.設(shè)｛pn｝的前n項(xiàng)和為Sn,求證：Sn<4+41nn.

nnn

7.已知數(shù)列｛4｝中，4=1,4=〃，且〃的=女(4+4田)對(duì)任意正整數(shù)〃都成立，數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)

和為S”.

(1)若攵=；,且S[8=171,求。；

(2)是否存在實(shí)數(shù)%,使數(shù)列｛4｝是公比為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)冊(cè),外”,冊(cè)+2按某順序排列

后成等差數(shù)列，若存在，求出所有女的值：若不存在，請(qǐng)說明理由：

(3)若Z=求S”.(用4〃表示).

8.己知數(shù)列｛(｝中，4=3,前〃項(xiàng)和S”滿足〃向=25”+3(weN*).

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵記2=(〃_]),求數(shù)列出｝的前“項(xiàng)和小

⑶是否存在整數(shù)對(duì)(m〃)(其中mcZ,〃wN*)滿足片一(m+2)4,+7m+5=。？若存在，求出所

有的滿足題意的整數(shù)對(duì)(利,〃)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

專題13數(shù)列的綜合應(yīng)用

第一部分真題分類

11.如圖,將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為由，&，???，<i<i<k<12.^k-j=3K;-i=4,

Ma,,5,a〃為原位大三和弦；若k-/=4且j-i=3,則稱3%,為原位小三和弦.用這12個(gè)

鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為()

【答案】C

【解析】解：若k_j=3且J一i=4,則a”a”以為原位大三和弦，

即有i=l，;=5,k=8；i=2,j=6,k=9；i=3,j=7,k=10；i=4?/=8,k=11；i=5,

j=9,k=12,共5個(gè)；

若k-J=4且/一i=3,則%,%,Qk為原位小三和弦，

可得i=l,y=4,k=8；i=2,;=5,k=9；i=3,j=6,k=10；i=4,j=7,k=11：i=5,

;=8,k=12,共5個(gè)，

總計(jì)10個(gè).

故選：C.

12.幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解

數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：己知數(shù)列1,1,2,1,2,

4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是2。，接下來的兩項(xiàng)是2°,2、再接下來的三項(xiàng)

牯2。，21，22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)MN>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)

慕，那么該款軟件的激活碼是()

A.440B.330C.220D.110

【答案】A

【解析】解：由題意可知，數(shù)列可看作：第一項(xiàng)2°,第二項(xiàng)：2°,2】，第三項(xiàng)：2°,2\22,第〃項(xiàng)：

2°,21,22,...,2時(shí)1,

根據(jù)等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：21-1,22-1,23-1,...?2n-l,

每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1,2,3,…，71,

總共的項(xiàng)數(shù)為N=1+2+3+???+〃=劍署，

所有項(xiàng)數(shù)的和為&=21-1+22-1+23-1+???+2n-1

=(21+22+234--+2n)-n=2n+1—2—n,

由題意可知：2"i為2的整數(shù)箱，只需將-2-n消去即可，

則(5)1+2+(—2—71)=0,解得：n=1,

總共有生詈+2=3,不滿足N>100,

@l+2+4+(-2-n)=0,解得：n=5,

總共有空譽(yù)+3=18,不滿足N>100,

③1+2+4+8+(-2—九)=0,解得：n=13,

總共芍(i+i；)xi3+4=95,不滿足N>100,

④1+2+4+8+16+(—2—/)=0,解得：九=29,

總共有處等2+5=440,滿足N>100,

該款軟件的激活碼是440.

故選A.

13.設(shè)｛%｝是公差為4的等差數(shù)列，｛%｝是公比為g的等比數(shù)列.已知數(shù)列｛%+%｝的前〃項(xiàng)和%=n2.

n+2n-l(ne/V*),則d+q的值是.

【答案】4

【解析】解：因?yàn)椋?5｝的前〃項(xiàng)和Sn=n2—"+2n—l(neN*),

因?yàn)椋梗枪顬閐的等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為由；｛%｝是公比為4的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為瓦，

所以｛即｝的通項(xiàng)公式加=%+(九一1)乙所以其前〃項(xiàng)和：咽及產(chǎn)幽=療+(的_凱,

｛4｝中，當(dāng)公比q=l時(shí)，其前〃項(xiàng)和匕=九打，

所以｛即+匕｝的前〃項(xiàng)和Sn="2+(Q]一凱+曲=n2—n+271—l(n€N*),顯然沒有出現(xiàn)2n,所

以q于1,

則｛bn｝的前n項(xiàng)和為：~

所以S=-n2+(a--)n+—---—=n2-n4-2n—l(nGN*),

n2x2fl-1Q-1

吃

由兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等可得：1%-2=-1解得：d=2,cii=0,q=2,瓦=1,

q=2

且~=1

1q-l

所以d+q=4,

故答案為：4.

14.記％為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，已知$9=-。5.

(1)若=4,求｛On｝的通項(xiàng)公式;

(2)若％〉。，求使得及之缺的〃的取值范圍.

【答案】解：(1)根據(jù)題意，等差數(shù)列｛%｝中，設(shè)其公差為d,

若S9=-a5,則S9=，i+；9)x9_90s=-a5,

可得=0,即%+4d=0?

若。3=4,則4=%/=一2,

則0n=a3+(n-3)d=-2n4-10；

(2)若配>則九為+>ai+(n-l)d,

當(dāng)n=l時(shí)，不等式成立，

當(dāng)nN2時(shí)，有?Nd-%,變形可得(九一2)八一2%，

又由(1)得%+4d=0,即4=一半，

則有。-2)子之一2%,

又由的>0,則有nW10,

則有2<n<10,

綜合可得：1工兀310且〃WN*.

15.已知｛%｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為Sn("WN*),｛5｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0,b2+

&=12,Z)3=。4—2。］,Su=11?瓦.

(I)求(即｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)歹式取門匕｝的前〃項(xiàng)和5WN)

【答案】解：(I)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為止等比數(shù)列出"的公比為q.

由已知82+63=12，得bi(q+q2)=12,

而瓦=2,所以q2+q-6=0.

又因?yàn)閝>0,解得q=2.

所以砥=2n.

由匕3=04-2%,可得3d—%=8,

由Si二=llb4,可得%+5d=16,

聯(lián)立解得%=1,d=3,

所以an=3n-2.

所以｛。力｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=3n-2,｛%｝的通項(xiàng)公式為%=2n；

(H)設(shè)數(shù)歹(1｛。2八41｝的前〃項(xiàng)和為及，

由(1)可得。2注=6n—2,

所以兀=4X2+10X2?+16X23+…+(6n-2)x2n,27^=4X22+10X23+16X24+…+(6n-

8)x2n+(6n-2)x2n+1,

上述兩式相減，得

23nn+1n+1

-7；=4x2+6x2+6x2+-4-6x2-(6n-2)x2=”'二,)_4_(6n-2)x2=

-(3n-4)2n+2-16,

所以”=(3?1—4)222+16.

所以數(shù)列｛?nb｝的前〃項(xiàng)和為(3九-4)2"2+16.

16.設(shè)等差數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為Sn，a3=4,Q4=S3,數(shù)列｛九｝滿足：對(duì)每個(gè)nWAT,Sn+bn,Sn+1+

bn,Sn+2+%成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛5｝,｛九｝的通項(xiàng)公式；

(H)記j=nwN*,證明：C]++…+Qv2低，neN*,

【答案】解：(1)設(shè)數(shù)列｛。n｝的公差為4

由題意得，煞荒明,

呵+3d=3al+3d

解得=0,d=2,

???an=2n—2,nWN*.

2

5n=n—n>neN”,

?.數(shù)?列｛%｝滿足:對(duì)每個(gè)neAT,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+匕成等比數(shù)列.

???(Sn.i+bn)2=(Sn4-bn)(Sn+2+bn),

解得瓦=；(S工i-SnSn+2)，

解得bn=M+n,neN\

證明：===禹'ne-

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)九=1時(shí)，q=0<2,不等式成立；

②假設(shè)〃=k,(kWN，)時(shí)不等式成立，即J++…+qV24，

則當(dāng)n=k+1時(shí),

…+…+Ck+CzV2④+卜事^<24+

V24+￡+在=2瓜+2(A/FTT-4)=2vm;

即71=1+1時(shí)，不等式也成立.

由(1^②得q+。2+…+。V2y/n,tftEN”.

17.已知數(shù)列｛Qn｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)的和為64.數(shù)列｛兒｝是公立大于o的等比數(shù)列，瓦=4,

b3—b2=48.

(1)求數(shù)列｛On｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記J=b2n+AnWN*.

⑴證明：｛以一C2n｝是等比數(shù)列；

(ii)證明：2￡=i＜2注(nWN*).

【答案】證明；(1)由數(shù)列(aj是公差d為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)的和為64,

可得8。1+；x8x7d=64,解得%=1,

所以%=1+2(n-1)=2n-1：

由數(shù)列｛bn｝是公比4大于0的等比數(shù)列，瓦=4,b3-b2=48t

可得4q2-4q=48,解得q=4(-3舍去)，

所以限=4%

n

(2)(i)證明：因?yàn)椋?2n-l,bn=4,

所以cn=b2n+^=4"+*，

則埒—c2n=(42"+*)2_(44〃+專)=42汽+2-4+9_4m一表=2-4%

又藍(lán)一”=(424-;)2-(44+^)=8,

所以數(shù)列｛W—C2n｝是以8為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；

(”)證明：設(shè)氏=糜=憚聲=唇＜底=&臉,

考慮qn=/，則Pn＜V2(7n，

所以送=速="￡+.?.+京，

則就hiq%=表+套+…+17，

兩式相減可得，扛%僅=[+曰+…+.一肅=)：尸)一鼎=1一普，

2

所以比=1在=2-翳＜2,

則求iJSh魚比=速＜2g

故求】后＜2互

18.定義時(shí)數(shù)列｛a”｝：對(duì)pWR,滿足：

①4+pN0，劭+P=0；②VnWN*，a4n-iV?4n；③Vm，九6N*,am+nG｛am+an+

p,am+an+p+l}.

(1)對(duì)前4項(xiàng)2,-2,0,1的數(shù)列，可以是出數(shù)列嗎？說明理由；

(2)若{%}是品數(shù)列，求的的值；

(3)是否存在pER,使得存在距數(shù)列{的}，對(duì)任意neN*,滿足SnNSio?若存在，求出所有這樣的

P；若不存在，說明理由.

【答案】解：(1)由性質(zhì)③，結(jié)合題意可得0=。3€{。1+。2+2,4+。2+2+1}={2,3},矛盾，

故前4項(xiàng)2,-2,0,1的數(shù)列，不可能是取數(shù)列；

(2)性質(zhì)①,%>0,a2=0；

由性質(zhì)③0m+2W{Qm,am+l}，因此。3=或。3=+1，=0或=1，

若。4=0，由性質(zhì)②可得。3<。4，即<0或%+1<O,矛盾；

若。4=1，。3=。1+1，由。3<。4，則Q1+1V1,矛盾，

因此只能是。4=1，。3=，

又因?yàn)閳D=%+a或。4=%+的+1，所以即=2或的=0.

若則a2=%+1W{%+%+0，%+%+0+1}={2%,2%+1}={1,2},不滿足。2=。，舍去;

當(dāng)?shù)?。則{%}的前四項(xiàng)為O0,0,1,

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明Q4n+i==12，3),a4n+4=n+l(ne/V),

當(dāng)n=0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)命題成立；

假設(shè)”<k(k>0)時(shí)命題成立.

當(dāng)n=k+1時(shí)，

若i=1,則。4(火+1)+1=a4k+5=a/+(4k+5-?,

利用性質(zhì)③：{Qj+a4fc+5-/l；eN*,1<j<4k+4]=[kfk+1],此時(shí)可得a4k+$=k+1,

否則a儻+s=k,取k=0可得的=0,而由性質(zhì)②可得=%+。4W{1,2},與%=0矛盾.

同理可得，{a；+a4k+6_j\je/V*,1<;<4/c+5)=+1},此時(shí)可得a狄+6=2+1，

{a；+a4k+8-j\jG/V*,2</<4/c+6]={fc+1,/c4-2},此時(shí)可得a4k+8=k+2,

{ttj+a4k+7.j\jeN*,1<;<4fc+6}={fc4-1},又因?yàn)閍狄+7<a4k+Qf此時(shí)可得a4k+7=k+1,

即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立.

練上可得，。5=“4X1+1=1：

(3)令=每+P，由性質(zhì)③可知，Vm,nWN*,bm+n=am+n4-pe{amp+an+p,am+p+an+

p+1}=[bm+bn,bm+bn+1)?

b

由于瓦=a1+p>Q,匕2=。2+P=0，4n-l=Q471-I+P<a4n+P=^4n?

因此數(shù)列{5}為Ro數(shù)列，

由(2)可知，若VnWN*,a4n+i=n-p(i=1,2,3),a4n+i=n+1-p；

S11—S10==014x2+3=2—p>0,

S9-$io=_aio=一。4乂2+2=—(2—p)>0,

因此p=2,此時(shí)%,。2，…，a10<0,aj>0(/>11),滿足題意.

19.已知等比數(shù)列｛%｝的公比q>1，且。3+。4+。5=28,。4+2是。3,。5的等差中項(xiàng).數(shù)列｛%｝滿足

瓦=1，數(shù)列｛(bn+1-bn)Qn｝的前〃項(xiàng)和為21+九.

(I)求夕的值；

(II)求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式.

【答案】解：(1)等比數(shù)列｛冊(cè)｝的公比q>l,

且。3+。4+=28,。4+2是。3，的等差中項(xiàng)，

可得2a4+4=03+的=28-。4，

解得。4=8,

由：+8+8q=28,可得q=2或q=式舍去)，

則4的值為2；

(2)由q=2及。3+。4+。5=28可得%(q2+q3+Q4)=28,

解得的=1,故=1x2n-1=2「T,

設(shè)cn=(%+]-%)%=(bn+1-32f

可得兀=1時(shí)，Ci=2+1=3,

n>2時(shí)，可得q=2n2+n—2(n—l)2-(n—1)=4n-1,

上式對(duì)n=1也成立，

則(%+i.4i)0n=4n-l,

即有力n+1-bn=(4n—l)?(：￥-】，

可得力n=瓦+(g-瓦)+(b3-b2)+…+(bn-bn_i)

=1+3xG)。+7x抖…+(4n-5).(*,

2n1

^n=1+3x1+7x(l)+...+(4n-5)(1)-,

相減可得?n=：+4g+GA+…+6)吁2]_(4n_5)?

=j+4-^p^-(4n-5).(1r-1,

化簡可得%=15-(4n+3)?2

20.已知｛aj為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為Sn(nWN*),｛夙｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0,b2+

63=12,=Q4-2d],S】i—11瓦.

(I)求｛<｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式;

(n)求數(shù)列｛a2nb2n-】｝的前n項(xiàng)和5eN?).

【答案】解:(I)設(shè)等差數(shù)列｛每｝的公差為d，等比數(shù)列｛4｝的公比為“，

由已知匕2+壇=12，得bi(q+q2)=12,而瓦=2,所以q+q2-6=0,

又因?yàn)閝>0,解得q=2,所以以=2%

由力3=。4-2%,可得3d-%=8①，

由a1=坨駕=11",可得a1+5d=16②，

聯(lián)立①②，解得%=1,d=3,由此可得％,=3〃-2；

所以，數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為“=3n-2,數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為以=2n.

(n)設(shè)數(shù)列｛a2nb2n.l｝的前〃項(xiàng)和為7；,

x4n

由Q2n=6幾一2,b2n-i=1?有2n-1=(3n-1)4、

故7；=2x4+5x424-8x43+?-?4-(3n-l)4n,

47；=2x42+5x43+8x44+-+(3n-l)4n+1,

上述兩式相減，得

23nn+1

-3Tn=2x4+3x4+3x4+???+3x4-(3n-l)4

12x(1-4n)4

=——---4-(3n-l)4n+1

=-(3n-2)4n+1-8,

得"=等乂4*】+,

所以數(shù)列｛a2nb的前〃項(xiàng)和為1=^X4n+1+*

第二部分模擬訓(xùn)練

1.某企業(yè)年初在一個(gè)項(xiàng)目上投資2千萬元，據(jù)市場調(diào)查，每年獲得的利潤為投資的50%,為了企業(yè)長遠(yuǎn)

發(fā)展，每年底需要從利潤中取出500萬元進(jìn)行科研、技術(shù)改造，其余繼續(xù)投入該項(xiàng)目.設(shè)經(jīng)過

年后，該項(xiàng)目的資金為勺萬元.

(1)求證：數(shù)列｛與-1000｝為等比數(shù)列；

(2)若該項(xiàng)目的資金達(dá)到翻一番，至少經(jīng)過幾年？(1g3Ho.5,lg2?0.3)

【答案】(1)證明見解析；(2)3年.

【解析】⑴證明：由題意知《,=(1+50%)4T—500(心2).

33

即4=2%—500,所以%-1000=-(aZJ_,-1000)(/1>2).

22

由題意知4=2000(1+50%)—500=2500,

所以數(shù)列｛4-1000｝的首項(xiàng)為q—1000=1500,

所以｛q-1000｝是首項(xiàng)為1500,公比為|■的等比數(shù)列.

(2)由(1)知數(shù)列｛《,—1000｝的首項(xiàng)為《—1000=1500,公比為

/3Y-'<3Y"，

所以與-1000=1504引，所以為二150011+1000.

當(dāng)4之4000,得(?)>2.

/、3愴20.33

兩邊取常用對(duì)數(shù)得(〃-1)愴5之lg2,所以:所以〃N2.5,

乙J乙U?JU?J4

因?yàn)椤╳N'，所以〃之3.

即至少經(jīng)過3年，該項(xiàng)目的資金達(dá)到翻一番.

2.已知數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等匕數(shù)列.數(shù)列｛/｝前〃項(xiàng)和為

S“，且滿足S3=。4,4+。5=2+4

(1)求數(shù)列應(yīng)｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛〃〃｝前蹤項(xiàng)和$2小

(3)在數(shù)列｛4｝中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)。田2,按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有

滿足條件的正整數(shù)加的值；若不存在，說明理由.

n,n=2k-l

【答案】⑴?！?｛?，2wN'；(2)5”=公一1+3人；(3)在數(shù)列｛《7｝中，僅存在連續(xù)的

2-32,n=2k

三項(xiàng)%,%，%，按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)加的值為1.

【解析】(1)顯然要分奇偶求解，用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；(2)同(1)

要按奇偶分別求和，即求的也就是分奇偶后的前n項(xiàng)和：(3)先假設(shè)存在這樣的連續(xù)三項(xiàng)按原來的順序

成等差數(shù)列，即假設(shè)冊(cè)=生人，則品+%+2=26向，然后代入通項(xiàng)公式得4,3i=2K-l，顯然不成

立；再假設(shè)4”=4口，則《”+勺.2=2。"，然后代入通項(xiàng)公式得上=3宣，解此方程要構(gòu)造新的方程，

即令1=貪=1，羅一聲=y<o,故…，只有工=1,則僅存在連續(xù)的三

項(xiàng)4M2,〃3合題意.

試題解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為4,等比數(shù)列的公比為9，

則4=1,%=2,%=1+乩。4=21,6=1+2d,

?/S3=a4,1+2(1+J)=2q,即4+d=2q,

又。3+“5=2+4，(1+d)(1+22)=2+%,即3。=24,解得d=2,q=3,

工對(duì)于k￡N：有a2bl=1+(左一1).2=24-1,=2?3;"|,

n,n=2k-\

故〃“二{J,keN”.

2.32,n=2k

(1+201)32(1—力二/j卜3人

21-

(3)在數(shù)列｛4｝中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)4M2，/，按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)陽的值為1,

下面說明理由.

若％=%k，則由4+4+2=2%1，得2?31+2?3太=2(22+1),

化簡得4.3~】=24-1，此式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立.

若4，則由q”+冊(cè)+2=2a,”+［，得(22—1)+(2左+l)=2?20i,

化簡得左=3"T.

令『擊，小川)，貝丹祟一擊=崇<0?

因此，1=工>(>4>…，故只有工=1,此時(shí)左=l,m=2xl-l=l.

綜上，在數(shù)列｛4｝中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)4M2,4,按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)機(jī)的值為1

3.設(shè)數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S,,S“=5m2(%國ER?。0過工1)

(1)求證：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；

⑵若qwN”,是否存在q的某些取值，使數(shù)列｛《,｝中某一項(xiàng)能表示為另外三項(xiàng)之和？若能求出q的

全部取值集合，若不能說明理由.

(3)若qwR,是否存在夕￡[3,+8),使數(shù)列｛4｝中，某一項(xiàng)可以表示為另外三項(xiàng)之和？若存在指出q

的一個(gè)取值，若不存在，說明理由.

【答案】解：(1)見詳解；(2)不存在；(3)不存在

【解析】（l）n=l時(shí)，q=S[=。，

〃“山勺='-幻=舌"-尸）=時(shí)（n=l也符合）

:q=WnwN+）,..甘=q,即數(shù)列｛q｝是等比數(shù)歹人

(2)若+〃〃2+41則/〃=4"'+4小+q%(qeN,q22)

個(gè)一醫(yī)一

可設(shè)拉4>%>%>小，兩邊同除以?！暗茫簈，h~n'-qq"2f—j

因?yàn)樽筮吥鼙籷整除，右邊不能被q整除，因此滿足條件的q不存在.

（3）若勺，=。小+〃叱+4“則=4%+4小+d'（qwN,q之八

n,y2n〃

可設(shè)%>%>公>%，'qi3,q%=q.q"4T>39")>3<?>q'+q"+q'，,qan?3+n“2+a?nl

不成立.

4.已知數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足%=4,且％3a"6構(gòu)成等差數(shù)列，數(shù)列也｝滿足

么=噫％+1嗎3

（1）求數(shù)列｛《,｝,｛<｝的通項(xiàng)公式;

2

（2）若數(shù)列出｝的前“項(xiàng)和為S"，數(shù)列｛qj滿足G=I-,求數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和小

nl

【答案】（1）an=2；hn=2n-\（2）T”二"

n+i

【解析】解：（1）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4（4>0）,由題意，得

+4=6%nq+/=6解得q=2或4=一3(舍)

又6=4nq=1所以q=〃/一=2”T

bn=log2an+log2an+l=n-\+n=2n-\

帥+包)_〃(1+(2〃-1)]_“2

⑵SL1-1-n?

22

22-L-J-

C"~n(n+l)\nn+\

.“=2」+」+.?2n

"I223nn+\n+\

5.已知函數(shù)=-af-cos/)Jz,^(x)=(a-x)cosx.

(1)當(dāng)xNO時(shí)，/(x)Ng(M恒成立，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若數(shù)列｛q｝滿足：a。4,a向?yàn)a=…),證明：、年.

【答案】(1)(-oo,0];(2)見解析

【解析】(1)依題意=-gor2-sinx,

f(x)>g(x)恒成立，即gd一;??一5加之(。-x)cosx恒成立,

2

亦即;V-3加_sii1V一一x)cosxNO恒成立.

令F(x)=-x3-^ar2-sinx-(a-x)cosx,(x>0),

則F"(x)=x2-dx-cosx4-cosx+(tz-x)sinx=(x-6z)(x-sinr),

4,h(x)-x-sinx(x>0),則7ir(x)=l-cosx>0,

.,.〃(》)在R上單調(diào)遞增，在［0,48)上也單調(diào)遞增，

當(dāng)xNO時(shí)，7z(x)=x-sinx>/z(0)=0,

F\x)>0(x>0),尸(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增,

尸(x)之尸(0)=一恒成立,

當(dāng)。>0時(shí)，/(x)在(0,以)上單調(diào)遞減，在(。,十2)上單調(diào)遞增，

而產(chǎn)(0)=一。<0,所以/(力之0在9+oo)不恒成立，

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(YO,0］；

71

若見二sin壺，則.I.4

=sin尹

%=$而券(〃=0,1,2,)

由(1)知，//(x)=x-sinx在恨+oo)上單調(diào)遞增，K/i(x)=x-sinr>/i(0)=0,

即當(dāng)x>0時(shí)，x>sinx，

???4，=$出券V券5=0,1,2,).

6.已知等差數(shù)列｛叫｝和等比數(shù)列｛bj均不是常數(shù)列，若即=也=1,且句,2a2,4a4成等比數(shù)列，4b2,

2b3,b4成等差數(shù)列.

(1)求｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)m,n是正整數(shù)，若存在正整數(shù)i,j,k(iVjVk),使得ambj,amaM,a』k成等差數(shù)列，求m+

n的最小值；

(3)令?=，■,記｛品｝的前n項(xiàng)和為Tn,｛/｝的前n項(xiàng)和為An.若數(shù)歹J｛pn｝滿足pl=cl,且對(duì)

T-1

Vn>2,nEN*,都有pn=」一+Ancn,設(shè)｛pj的前n項(xiàng)和為Sn,求證：Sn<4+41nn.

n

.(tn=4f/w=3

【答案】⑴4=〃也=2'I⑵｛c或《、(3)見解析

n=21〃=3

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d(d#)),等比數(shù)列在公比為q(q/1),由題意得:

2

4a2=例%'=[(q+]J=q(q+3d),

2

4b3=4b2+b4[4b】q=4"q+

解得d=l,q=2,

所以a“=〃,2=2”，

(2)由ambj,amanbi,anbk成等差數(shù)列，

有2%。也=。也+《仇,

即力wr2'T=底2川+221，

由于且為正整數(shù)，所以/一，21,左一，22,

所以2/nn=m-2/_,+n-2k~'>2m+4〃，

21

可得加之加+2〃，即一+—VI,

mn

21

①當(dāng)理n￡2時(shí)，不等式一十—VI不成立;

mn

_〃z=4Izn=3

②當(dāng)｛3或《)時(shí)2加九?2"=出NH+M"-成立;

n=2n=3

12

③當(dāng)〃24時(shí)，一＞0,一＜1,即團(tuán)＞2,則有m+〃＞6；

nm

所以僧+〃的最小值為6,

tn=4〃？=3

當(dāng)且僅當(dāng)/一》=1,攵-7=2且〃二2或C時(shí)取得.

n=3

⑶由題意得：=y+1+—

P2I2

c.+C,

(23尸

S〃=Pl+〃2+“3++凡

=(1+弱+…+：)億+。2+。3+…+%)

(.111V

=1+彳+W++一北

123n)

7；,=c,+c2+c3+-+cn(1)

"=(2)

乙4L乙

(1)—(2)得一T=\-\—+—F-+,,+--：----

2“2482"T2"

求得Tn=4—(〃+2)［耳<4'

(111、

所以S”<4l+7+q+…+—；,

(23n)

設(shè)f(x)=lnx+，_l(X>1),則r(x)=!--y=^y!->0,

XXXX

所以在(L+oo)上單調(diào)遞增,有/(x)>/(l)=0，

可得lnx>1--.

x

當(dāng)上之2,且左￡N*時(shí)，—^―>1,

k-\

有In---->1------=-9

k-\kk

所以,vln2,1v

2132nn-\

1111II2.3.n..

可得1+—+—F...+—<1+In—I-In—F...+In---=1+In/?,

23n12n-\

所以5“<41+］+5+4—"）<4（l+ln〃）.

7.已知數(shù)列｛4｝中，6=1,%=%且4向=%（4+%+］）對(duì)任意正整數(shù)〃都成立，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)

和為S”.

（1）若攵=；，且S|8=171,求。；

（2）是否存在實(shí)數(shù)女，使數(shù)列｛4｝是公比為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)金，《用，4/2按某順序排列

后成等差數(shù)列，若存在，求出所有女的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若左二-g,求S”.（用〃，"表示）.

1-早（4+1）,〃是奇數(shù)

2

【答案】（1）。=2；（2）k=~；（3）Sn=｛2

5名。+1）,〃是偶數(shù)

【解析】（1）%=］時(shí)，4川=］（%+3+2），（+2一%+1=%+1一%，

所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

此時(shí)首項(xiàng)4=1,公差d=a2-a｛=a-\t

數(shù)列加”｝的前〃項(xiàng)和是S”=〃+^〃（〃一1）（。一1）；

故171=18+gxl8xl7（a-l）,得〃=2；

（2）設(shè)數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，則它的公比夕="=。，所以金+1=""，4+2=。'田，

a\

①〃"為等差中項(xiàng)，則2限=am+J，

即2d"=amX+/用，解得。=1，不合題意；

②4為等差中項(xiàng)，則24,=4+|+4/2，

即2"1=""+?！毙?，化簡得：。2+〃一2=0,解得。=一2或。=1（舍去）；

③若%+2為等差中項(xiàng)，貝iJ2%+2=4向+勺，

即2"川=々'"+4:-|，化簡得：2儲(chǔ)一。一1=0,解得〃=-1；

2

k二4+1二罐二。二2

4+*產(chǎn)5x1+/5，

綜上可得，滿足要求的實(shí)數(shù)々有且僅有一個(gè)，A:=-1：

（3）k=--f則a“+i=一萬,"+4+2），

4+2+4川=一（見+1+a〃）M-二一（〃42+4用）=4用+4.

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，50=4+&+&+q+-+〃,1+4=（4+/）+（%+/）"一+（凡」+凡）

=女《+出）=女。+1），

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)'5a=4+%+4+/++4-1+/=4+（%+4）+（44+%）+'+（《1+凡）

=4+—3+4）=4+9"［_（4+七）］=1——（。+1），（"之2）,

n-1也適合上式，

1-一（a+1）,〃是奇數(shù)

綜上可得，S?=\2^

］（。+1）,〃是偶數(shù)

8.己知數(shù)列｛/｝中，q=3,前幾項(xiàng)和S”滿足％=2S“+3"eN*）.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵記〃,=（〃_［）；：_］）,求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和7；；

⑶是否存在整數(shù)對(duì)（根,〃）（其中AWWZ,〃eN*）滿足。；一（m+2）%+7加+5=0?若存在，求出所

有的滿足題意的整數(shù)對(duì)（根,〃）；若不存在，請(qǐng)說明理由.

I/11A

【答案】（1）q=3"；（2）7；=3匕一；^^；（3）（-2,1）,（34,2）,（