第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(2)教學(xué)教案

例1關(guān)鍵:將其它類型未定式化為或型未定式。步驟:例2步驟:步驟:例3對(duì)數(shù)恒等式例5解：洛必達(dá)法則

第三節(jié)泰勒(Taylor)公式不足:

問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì)。分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同1.若在

點(diǎn)相交n次泰勒多項(xiàng)式n階泰勒公式拉格朗日型余項(xiàng)說明:

麥克勞林(Maclaurin)公式如下：此時(shí)泰勒公式稱為麥克勞林公式.拉格朗日型余項(xiàng)佩亞諾型余項(xiàng)解：近似公式誤差其誤差解：

常用函數(shù)的麥克勞林公式解：解：解：求極限的一種方法－利用泰勒展開式求極限例6解：第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與

曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性觀察與思考：函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么關(guān)系？函數(shù)單調(diào)增加時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)減少時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零。函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系觀察結(jié)果：函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)單調(diào)增加定理證：應(yīng)用拉格朗日定理,得例1解：例2解：例3

解：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:注意:

區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,

y

-2

O

2

-4

-2

2

4

x

y=x3駐點(diǎn)例4

解：例4

解：也可用列表的方式，例5證：利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式即原式成立。例6證：由零點(diǎn)定理知，利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根。例7證：小結(jié)

單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.問題:如何研究曲線的彎曲方向?二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)

NABM觀察與思考：函數(shù)曲線除了有上升和下降外，還有什么特點(diǎn)？如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是（向上）凹的；曲線凹向的定義如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是（向上）凸的。凹的凸的圖形上任意弧段位于所張弦的上方：凸的圖形上任意弧段位于所張弦的下方：凹的定義觀察與思考：

曲線的凹向與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？拐點(diǎn)凹的凸的當(dāng)曲線是凹的時(shí)，f

(x)單調(diào)增加。當(dāng)曲線是凸的時(shí)，f

(x)單調(diào)減少。曲線凹向的判定曲線凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。定理例8

解：x

yO例9

解：凹凸凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)例10解：拐點(diǎn)的求法：1.找出二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；2.若它兩邊的二階導(dǎo)數(shù)值異號(hào),則為拐點(diǎn),若同號(hào)則不是拐點(diǎn).例11解：利用函數(shù)圖形的凹凸性,證明不等式

例5證：課后作業(yè)：P145習(xí)題3-33，5，7P152習(xí)題3-43(1)(4)(5)(7)，5(1)(4)