廣東省清遠(yuǎn)市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

清遠(yuǎn)市2023～2024學(xué)年第二學(xué)期高中期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡的相應(yīng)位置．3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無(wú)效．4．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．5．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.為了調(diào)查某地三所學(xué)校未成年人的視力情況，計(jì)劃采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該地的，，三所中學(xué)抽取130名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知，，三所學(xué)校中分別400，560，340名學(xué)生，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.34 B.40 C.56 D.682.要得到函數(shù)，的圖象，只需將函數(shù)，的圖象（）A.橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變C.橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變D.橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變3.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.一個(gè)多面體至少有4個(gè)面C.有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間部分是棱臺(tái)4.將一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的表面積為（）A B. C. D.5.彈簧掛著的小球作上下運(yùn)動(dòng)，它在秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度厘米的關(guān)系可用函數(shù)（，）來(lái)確定，其圖象如圖所示，則的值是（）A. B. C. D.6.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，，，，則（）A.0 B.8 C. D.7.設(shè)為復(fù)數(shù)，若，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知正方體棱長(zhǎng)為為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，過(guò)點(diǎn)的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)不大于2”，“點(diǎn)數(shù)為1”．則下列結(jié)論正確的是（）A.，為對(duì)立事件 B.，為互斥不對(duì)立事件C.，不是互斥事件 D.，是互斥事件10.甲、乙兩名同學(xué)近五次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)分別為：甲6871727282乙6670727879則（）A.甲組數(shù)據(jù)的極差大于乙組數(shù)據(jù)的極差B.甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)C.甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差D.甲乙兩組數(shù)據(jù)混合后的方差大于乙組數(shù)據(jù)的方差11.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.角的最大值為C. D.若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復(fù)數(shù)，則的虛部為______．13.在三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則______．14.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，且點(diǎn)滿足，已知，，，則到平面的距離為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)，求當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)；（1）為實(shí)數(shù)；（2）為純虛數(shù)；（3）為虛數(shù)．16.某高校承辦了某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的眾數(shù)；（2）求，的值；（3）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的第80百分位數(shù)．17.中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若．（1）求；（2）若且的面積為，求邊長(zhǎng)．18.如圖，在四棱錐中，為邊上的中點(diǎn)，為邊上的中點(diǎn)，平面平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求證：；（3）若直線與底面所成角的余弦值為，求二面角的正切值.19.將連續(xù)正整數(shù)（）從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)．例如：當(dāng)時(shí)，此數(shù)為123456789101112，共有15個(gè)數(shù)字，則．現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到0的概率．（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求表達(dá)式；（3）令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)的最大值．清遠(yuǎn)市2023～2024學(xué)年第二學(xué)期高中期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡的相應(yīng)位置．3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無(wú)效．4．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．5．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.為了調(diào)查某地三所學(xué)校未成年人的視力情況，計(jì)劃采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該地的，，三所中學(xué)抽取130名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知，，三所學(xué)校中分別400，560，340名學(xué)生，則從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.34 B.40 C.56 D.68【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的抽樣方法可得.【詳解】由題意抽樣比為，所以從學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為，故選：A2.要得到函數(shù)，的圖象，只需將函數(shù)，的圖象（）A.橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變C.橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變D.橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，得的圖象.故選：C.3.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.一個(gè)多面體至少有4個(gè)面C.有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單幾何體的定義以及結(jié)構(gòu)特征去判斷即可.【詳解】正棱錐底面是正多邊形，還需要滿足頂點(diǎn)到底面射影落在底面正多邊形的中心，A錯(cuò)誤；多面體中面數(shù)最少為三棱錐，四個(gè)面，B正確，；有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體不一定是棱柱，還需要滿足各個(gè)側(cè)面的交線互相平行，C錯(cuò)誤；用一個(gè)平面去截棱錐，必須是平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺(tái)，D錯(cuò)誤.故選：B.4.將一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正方體的棱長(zhǎng)求得正方體內(nèi)切球的半徑，代入球的表面積公式求解．【詳解】正方體的棱長(zhǎng)為1，要使制作成球體零件最大，則球內(nèi)切于正方體，則球的直徑為1，半徑為，可能制作的最大零件的表面積為.故選：B.5.彈簧掛著的小球作上下運(yùn)動(dòng)，它在秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度厘米的關(guān)系可用函數(shù)（，）來(lái)確定，其圖象如圖所示，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)圖象得到周期，利用公式可求的值.【詳解】函數(shù)（，），由圖象可知，最小正周期，則有.故選：C6.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，，，，則（）A.0 B.8 C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意表示出的坐標(biāo)，從而可求出，進(jìn)而可求出其模.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，，，所以，所以.故選：D7.設(shè)為復(fù)數(shù)，若，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意求出的關(guān)系，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式即可得解.【詳解】設(shè)，由，得，所以，由，解得，則，所以當(dāng)時(shí)，.故選：A.8.已知正方體的棱長(zhǎng)為為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，過(guò)點(diǎn)的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中點(diǎn)，由證得，再由平面證得，從而得到平面，同理證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，得到平面截正方體的截面為，進(jìn)而求得截面的面積.【詳解】取的中點(diǎn)，分別連接在正方形中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，可得，所以，因?yàn)椋?，所以，即，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，即平面截正方體的截面為，由正方體的棱長(zhǎng)為4，在直角中，可得，在直角中，可得，直角中，可得，所以，所以截面的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定所求截面為，從而得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)不大于2”，“點(diǎn)數(shù)為1”．則下列結(jié)論正確的是（）A.，為對(duì)立事件 B.，為互斥不對(duì)立事件C.，不互斥事件 D.，是互斥事件【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件的概念及事件之間的關(guān)系，可得答案.【詳解】點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，所以E，F(xiàn)對(duì)立事件，選項(xiàng)A正確；點(diǎn)數(shù)大于2與點(diǎn)數(shù)不大于2不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，G，H為互斥且對(duì)立事件，選項(xiàng)B不正確；點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與點(diǎn)數(shù)大于2可能同時(shí)發(fā)生，E，G不互斥，選項(xiàng)C正確；點(diǎn)數(shù)大于2與點(diǎn)數(shù)為1不可能同時(shí)發(fā)生，G，R為互斥事件，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10.甲、乙兩名同學(xué)近五次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)分別為：甲6871727282乙6670727879則（）A.甲組數(shù)據(jù)的極差大于乙組數(shù)據(jù)的極差B.甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)C.甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差D.甲乙兩組數(shù)據(jù)混合后的方差大于乙組數(shù)據(jù)的方差【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出甲與乙的極差、平均數(shù)、方差、甲乙兩組數(shù)據(jù)混合后的方差，進(jìn)行比較，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，由已知可得，甲組數(shù)據(jù)的極差為，乙組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對(duì)于B，由已知可得，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，由已知可得，甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)的方差為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D，由前面可知甲乙兩組數(shù)據(jù)混合后，方差為，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.角的最大值為C. D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】由向量數(shù)量積運(yùn)算得，可判斷選項(xiàng)A；結(jié)合余弦定理及基本不等式，可求得的最大值判斷選項(xiàng)B；可舉反例判斷選項(xiàng)C；結(jié)合條件可得，，計(jì)算即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由可知，整理可知，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，的最大值為，故B正確；由特例，滿足，可知C錯(cuò)誤；由可得，解得，又，從而可得，，為最大邊，，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：先利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)得，根據(jù)各選項(xiàng)的內(nèi)容，利用正余弦定理和基本不等式，通過(guò)計(jì)算對(duì)選項(xiàng)中的結(jié)論進(jìn)行判斷.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復(fù)數(shù)，則的虛部為______．【答案】##-2.2【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)虛部的定義得解.【詳解】復(fù)數(shù)，則，此復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：13.在三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則______．【答案】5【解析】【分析】利用余弦定理，將，，，代入計(jì)算可得到.【詳解】在中，已知，，，由余弦定理得，得，即，解得或，而，所以.故答案為：5.14.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，且點(diǎn)滿足，已知，，，則到平面的距離為______．【答案】##【解析】【分析】到平面距離，即三棱錐的高，由，利用等體積法求解.【詳解】取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，底面是矩形，，，，，則，且，又底面，底面，，，而，平面，所以平面，平面，即為三棱錐的高，，在中，，，在中，，中，，，在中，，則，，在中，，在中，，在中，，，，由余弦定理，則，設(shè)到平面的距離為，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)到平面的距離，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)棱錐的高，利用等體積法求解，由圖形中的垂直關(guān)系，利用勾股定理和余弦定理計(jì)算需要的邊長(zhǎng)和面積.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)，求當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)；（1）為實(shí)數(shù)；（2）為純虛數(shù)；（3）為虛數(shù)．【答案】（1）（2）或（3）且【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件，列方程和不等式組m的值；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件，列方程和不等式求m的值；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)為虛數(shù)的條件，列不等式組求m的值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，解得，所以時(shí)，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)且且時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，解得或，所以或時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)為虛數(shù)，解得且，所以且時(shí)，復(fù)數(shù)為虛數(shù).16.某高校承辦了某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的眾數(shù)；（2）求，的值；（3）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的第80百分位數(shù)．【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】【分析】（1）可利用頻率分布直方圖來(lái)估計(jì)眾數(shù)，即取頻率最大的那組中點(diǎn)值；（2）可利用頻率分布直方圖來(lái)計(jì)算概率和為1，再聯(lián)立方程組求解即可；（3）利用頻率分布直方圖中的面積和為0.8來(lái)計(jì)算第80百分位數(shù)．【小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知，第三組數(shù)據(jù)頻率最大，取中點(diǎn)值為，所以估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的眾數(shù)為；【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖中的頻率和為1可得，，化簡(jiǎn)得：，又由第三、四、五組的頻率之和為0.7，則，化簡(jiǎn)得：，所以；【小問(wèn)3詳解】第一組頻率為，第二組頻率為，第三組頻率為，，第四組頻率為，所以可設(shè)這100名候選者面試成績(jī)的第80百分位數(shù)估計(jì)為，則，解得：，即可估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的第80百分位數(shù)為．17.中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若．（1）求；（2）若且的面積為，求邊長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合兩角和的正弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)進(jìn)行求解即可；（2）由正弦定理得，，代入面積公式求邊長(zhǎng)．小問(wèn)1詳解】中，，由正弦定理得，又，所以，由于，，有，所以，又，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1），而，由正弦定理有，從而，，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.18.如圖，在四棱錐中，為邊上的中點(diǎn)，為邊上的中點(diǎn)，平面平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求證：；（3）若直線與底面所成角的余弦值為，求二面角的正切值.【答案】（1）證明見詳解（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）如圖，連接，可得，則得平面；（2）由已知，可得都是等腰直角三角形，則，又得平面，則得，則平面，得；（3）由已知和（2）可得，為直線與底面所成的角，進(jìn)而證得即為二面角的平面角，再利用三角形相似求得，從而得解.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，因?yàn)闉檫吷系闹悬c(diǎn)，為邊上的中點(diǎn)，所以，又平面，又平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】在四邊形中，，，，則，所以，則，所以都是等腰直角三角形，則，又平面平面，，即，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，又平面，所以平面，又平面，所以.【小問(wèn)3詳解】已知，直線與底面