2024-2025學(xué)年山東省泰安市新泰市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省泰安市新泰市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題一、選擇題1.不等式的解集為（）A. B.C D.【正確答案】D【分析】當(dāng)時(shí)直接得解，當(dāng)時(shí)原不等式等價(jià)于，再解分式不等式即可.【詳解】不等式，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，則原不等式等價(jià)于，等價(jià)于，解得或，綜上可得原不等式的解集為.故選：D2.設(shè)a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（）A. B.C. D.與的大小與的取值有關(guān)【正確答案】A【分析】根據(jù)題意通過(guò)作差比較大小，得出的大小關(guān)系，從而判斷出正確答案.【詳解】由，且，即，可得，即，故選：A.3.若集合有6個(gè)非空真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得.【詳解】由集合有6個(gè)非空真子集，得集合中有3個(gè)元素，為，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A4.設(shè)，，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由冪函數(shù)的單調(diào)性可得A錯(cuò)誤；由的單調(diào)性可得B錯(cuò)誤；作差可得C正確，取可得D錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于A，由在上是增函數(shù)可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由在上是減函數(shù)可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：C.5.命題“對(duì)任意，都有”的否定是A.對(duì)任意，都有 B.對(duì)任意，都有C.存在，使得 D.存在，使得【正確答案】D【分析】根據(jù)全稱命題的直接得到其否定命題.【詳解】解：命題“對(duì)任意，都有”的否定是存在，使得.故選：D.本題考查全稱命題的否定，是基礎(chǔ)題.6.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由一元二次不等式解出集合，再求交集即可；【詳解】因?yàn)?，所以．故選：D．7.若函數(shù)y=fx的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋瑒t函數(shù)y=fx的圖像可能是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象分析函數(shù)定義域和值域即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A，定義域符合、值域也相符，故A正確；選項(xiàng)B，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，不滿足定義域和值域，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，不滿足定義域，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，根據(jù)函數(shù)定義知，對(duì)于每一個(gè)都有唯一確定的對(duì)應(yīng)，故D中圖象不是函數(shù)的圖象，故D錯(cuò)誤．故選：A．8.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)值等于（）A. B. C.1 D.3【正確答案】A【分析】首先求得的值，然后分類討論確定實(shí)數(shù)a的值即可，需要注意自變量的取值范圍.【詳解】，據(jù)此結(jié)合題意分類討論：當(dāng)時(shí)，，由得，解得，舍去；當(dāng)時(shí)，，由得，解得，滿足題意.故選：A．二、多項(xiàng)選擇題9.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】利用同向不等式的可加性和同向正數(shù)不等式的可乘性來(lái)推理，即可得到判斷.【詳解】由，利用同向不等式的可加性得：，故A對(duì)，B錯(cuò)；再由，平方可得：，再利用同向正數(shù)不等式的可乘性得：，故C對(duì)；又由，可得：，再利用同向正數(shù)不等式的可乘性得：，兩邊同除以正數(shù)得：，故D對(duì)，故選：ACD.10.下列式子中，能使成立的充分條件有（）A. B. C. D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)，逐個(gè)判斷即可得解.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，所以，故A正確，對(duì)B，，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得：，故B正確對(duì)C，由于，所以，故C錯(cuò)誤，對(duì)D，由于，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得：，根D正確，故選：ABD.本題考查了充分條件的判斷，考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.11.已知正數(shù)滿足，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A. B.C. D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值【正確答案】ABD【分析】將變形，根據(jù)基本不等式可求得的最值以及等號(hào)取得條件，由此判斷A,D;再將變形為，利用基本不等式求得其最小值，由此判斷B,C.【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，等號(hào)成立,所以的最小值為9，故項(xiàng)正確；因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故B項(xiàng)正確，C項(xiàng)不正確，故選：ABD三、填空題12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】利用基本不等式求最小值．【詳解】由題意可得，故，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故．13.滿足關(guān)系的集合有____________個(gè).【正確答案】4【分析】由題意可得集合為的子集，且中必包含元素，寫出滿足條件的集合，即可得答案.【詳解】即集合為的子集，且中必包含元素，又因?yàn)榈暮氐淖蛹癁椋?共4個(gè).故4.四、雙空題14.真子集:如果________但________，就說(shuō)是的真子集，記作，讀作“________”.【正確答案】①.②.③.真包含于【分析】略【詳解】略故A?B；；真包含于五、解答題15.（1）已知實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍；（2）已知，，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）分析】（1）由，，結(jié)合可加性求解；（2）由，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以的取值范圍是．?）設(shè)則，∴，∴∵，，∴，∴即.16.如圖，動(dòng)物園要以墻體為背面，用鋼筋網(wǎng)圍成四間具有相同面積的矩形虎籠．（1）現(xiàn)有可圍長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠的面積最大？（2）若每間虎籠的面積為，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最?。俊菊_答案】（1）長(zhǎng)為，寬為（2）長(zhǎng)為，寬為【分析】（1）設(shè)每間老虎籠的長(zhǎng)為，寬為，則每間老虎籠的面積為，可得出，利用基本不等式可求得的最大值，利用等號(hào)成立的條件求出、的值，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每間老虎籠的長(zhǎng)為，寬為，則，利用基本不等式可求得鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)的最小值，利用等號(hào)成立的條件求出、的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)每間老虎籠的長(zhǎng)為，寬為，則每間老虎籠的面積為，由已知可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，每間虎籠的長(zhǎng)為，寬為時(shí)，可使得每間虎籠的面積最大.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)每間老虎籠的長(zhǎng)為，寬為，則，鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，每間虎籠的長(zhǎng)為，寬為時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小.17.（1）設(shè)，證明：的充要條件為．（2）設(shè)，求證：至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）分別證明充分性和必要性即可.（2）方法一：采用反證法，先假設(shè)，對(duì)兩邊平方并整理，根據(jù)假設(shè)的的范圍分析得到與題干矛盾的結(jié)論，從而假設(shè)錯(cuò)誤，結(jié)論得證.方法二：采用反證法，先假設(shè)，根據(jù)可得，從而得到，相加得到，與題干條件矛盾，從而假設(shè)錯(cuò)誤，結(jié)論得證.詳解】（1）充分性：若，則，，，，．必要性：若，則，，，．（2）方法一：假設(shè)，，，，，，，與矛盾，至少有一個(gè)負(fù)數(shù)．方法二：假設(shè)，，，，，與矛盾，至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)．18.已知函數(shù)．（1）若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若對(duì)任意滿足的x，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）對(duì)不等式進(jìn)行參變量分離，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】依題意可得：，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【小問(wèn)2詳解】對(duì)任意滿足的x，都有，即，又．所以對(duì)恒成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．19.（1）設(shè)，求證：，（2）設(shè)，求證：，【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）方法一：由，利用，對(duì)進(jìn)行放縮，即可證明；方法二：由，利用，對(duì)進(jìn)行放縮，即可證明；方法三：由，利用，即可證明；方法四：幾何法，構(gòu)造符合題意的幾何圖形；方法五：構(gòu)造一次函數(shù)，證明對(duì)于，都有即可；（2）方法一：由，利用，即可證明；方法二：由，利用，即可證明；方法三：幾何法，構(gòu)造符合題意的幾何圖形；方法四：構(gòu)造一次函數(shù)，，證明對(duì)，都有即可.【詳解】（1）方法一：，，，．方法二：，．方法三：，，，即．方法四：幾何法如圖，做邊長(zhǎng)為的正方形，分別在邊上分別取點(diǎn)，使得，過(guò)做交于，交于，過(guò)做交于，交于，直線與交于點(diǎn)，則長(zhǎng)方形的面積，長(zhǎng)方形的面積，正方形的面積，由圖可知，所以．方法五：設(shè)．將看做0