2024-2025學年浙江省杭州市高一上學期期中考試數學檢測試題（含解析）

2024-2025學年浙江省杭州市高一上學期期中考試數學檢測試題本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由交集的概念即可得解.【詳解】由題意集合，則.故選：A.2.已知函數，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】通過換元法求得的解析式，代入即可.【詳解】因為，令，，即，所以.故選：B3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【正確答案】A【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】，或，所以，“”“”，但“”“”，所以，“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】直接由求解的取值集合得答案．【詳解】∵函數的定義域為，則由，解得∴函數的定義域為故選：D．5.若函數是R上的偶函數，且在區(qū)間上是增函數，則下列關系成立的是（）A.B.C.D.【正確答案】B【分析】利用函數的奇偶性和單調性，比較函數值的大小即可.【詳解】∵，且在區(qū)間上是增函數，∴．故選：B.6.若不等式在上有解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由已知可得在區(qū)間上有解，求出在區(qū)間上的最小值，即可得出實數的取值范圍．【詳解】因為關于的不等式在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，設，，其中在區(qū)間上單調遞減，所以有最小值為，所以實數的取值范圍是．故選：C．7.已知，，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】構造函數，，由其單調性結合圖象得出大小關系.【詳解】構造函數，，，，易知函數，為增函數.函數，與函數的圖象，如下圖所示：由圖可知，.又，，所以.綜上，.故選：B8.設函數的定義域為，對于任意，若所有點構成一個正方形區(qū)域，則實數的值為（）A.-1 B.-2 C.-3 D.-4【正確答案】D【分析】先求出.進而根據在的單調性，得出函數在處取得最大值.根據已知即可列出關系式，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，.因為，所以，解得，所以.因為在上單調遞減，在上單調遞增，所以，處取得最小值，所以，在處取得最大值，所以，函數在處取得最大值.因為，所有點構成一個正方形區(qū)域，所以，所以.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知，都為正數，且，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為【正確答案】ABD【分析】利用基本不等式一一判斷即可.【詳解】對于A：，，，，當且僅當2x=y，即，時，等號成立，即的最大值為，故A正確，對于B：，，，，由A可知，，，當且僅當，時，等號成立，即的最小值為，故B正確，對于C：，，，，當且僅當，即，時，等號成立，顯然不成立，所以的最大值取不到，故C錯誤，對于D，，，，，當且僅當，即，時，等號成立，即的最小值為，故D正確，故選：ABD．10.已知，函數的圖象可能是（）A. B.C. D.【正確答案】ABC【分析】根據給定的函數，按分類探討，結合函數的單調性及函數增長速度的大小判斷作答.【詳解】當時，函數在上單調遞增，函數在上單調遞減，因此函數在上單調遞增，而，函數圖象為曲線，A可能；當時，函數在上的圖象是不含端點的射線，B可能；當時，取，有，即函數圖象與x軸有兩個公共點，又，隨著的無限增大，函數呈爆炸式增長，其增長速度比的大，因此存在正數，當時，恒成立，即，C可能，D不可能.故選：ABC11.設函數，若表示不超過的最大整數，則的函數值可能是（）A.0 B. C.1 D.2【正確答案】AB【分析】先得到函數的值域，從而得到的范圍，結合條件即可求解.【詳解】因為，則，所以函數的值域是，則的范圍是，于是的函數值可能是或，故選.12.著名數學家華羅庚曾說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，事實上，很多代數問題都可以轉化為幾何問題加以解決，如：對于形如的代數式，可以轉化為平面上點與的距離加以考慮.結合綜上觀點，對于函數，下列說法正確的是（）A.的圖象是軸對稱圖形 B.的值域是C.先減小后增大 D.方程有且僅有一個解【正確答案】AC【分析】由題得，設，，，則，作出圖形，由點在軸的移動得出的性質，從而判斷各選項．【詳解】由已知，設，，，則，如圖，由圖形可得點關于對稱時，的值相等，因此的圖象是軸對稱圖形，它關于直線對稱，A正確；顯然軸，當時，，即，又，而不可能共線，即，所以，B錯；設在軸上，且在右側，在點右側，與交于點，則，，∴，∴，在軸上點的右側，，∴，即這說明點從向右移動時，遞增，同理在軸從左側向點移動時，減小，C正確；，，設，則的解是和，有一個解，而有兩個解，因此有三個解，D錯．故選：AC．本題考查數形結合思想，題中函數轉化為軸上點到兩定點距離差的絕對值，然后通過點的移動確定函數的性質，使得較為復雜的函數問題得到解決，解題關鍵是數與形的結合，如兩點間距離公式，直線的斜率公式等等．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數是冪函數，則實數的值為______________．【正確答案】或【詳解】由題意，解得m=2或-114.已知在R上單調遞減，則實數a的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】利用函數的單調性的性質，求得的范圍，即得所求．【詳解】若函數在上是單調減函數，則，解得，即，故．15.，的最大值為______．【正確答案】【分析】利用對數運算法則化簡，利用換元法，可將問題轉化為二次函數最大值的求解，根據可求得最大值.【詳解】，令，，；設，當時，，當時，取得最大值故答案為.思路點睛：本題考查與二次函數有關的復合函數值域的求解問題，處理此類問題的思路是能夠利用換元法將函數化為二次函數的形式，利用二次函數值域的求解方法求得結果.16.已知函數，記集合，，若，則實數的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】由題意設的兩個根為（設），應用韋達定理得參數關系，寫出集合，解不等式得集合，由兩個集合相等得出，不大于的最小值，消去參數可得出的范圍．【詳解】因為，所以，設的兩個根為（設），，，由得，即，由于，則，且(二次函數最小值)，，因此有，所以，代入得，此式恒成立，代入得，解得．故．關鍵點點睛：通過不等式的解集形式得出，然后利用集合相等得出間的關系（相等及不等關系）從而求得參數范圍．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設集合，，.（1）若，求實數的值；（2）若且，求實數的值.【正確答案】（1）5（2）【分析】（1）由題意得出，再利用韋達定理求得參數值；（2）由題意得出，求得值后，再代入檢驗．【小問1詳解】由題可得，由，得.從而2，3是方程的兩個根，即，解得.【小問2詳解】因為，.因為，又，所以，即，，解得或.當時，，則，不符合題意；當時，，則且，故符合題意，綜上，實數的值為.18計算：（1）；（2）.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用根式與分數指數冪的互化與運算法則即可得解；（1）利用對數的運算法則，結合換底公式即可得解.【小問1詳解】.【小問2詳解】.19.已知函數.（1）用定義法證明：在上單調遞增；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）設，利用作差法證明；（2）判斷函數是奇函數，然后利用奇函數性變形不等式，再由單調性化簡轉化為恒成立求最值．【小問1詳解】證明：設任意兩個實數，滿足，則，∵，∴，，∴，即，所以在R上為單調遞增；【小問2詳解】原不等式化為，∵，∴是奇函數，∴不等式化為，又在R上是增函數，所以，∴問題轉化為，恒成立，即，∴.20.已知函數是偶函數.（1）求的值；（2）若方程有解，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出.根據偶函數的性質推得恒成立，即可得出；（2）由（1）知，根據對數運算性質，即可得出.換元，根據基本不等式即可得出，即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，.因為為R上的偶函數，所以，即，即恒成立，所以，，解得.【小問2詳解】由（1）知，.令，則，當且僅當時等號成立，所以，，即，所以.因為方程有解，即有解，所以.21.“智能”是本屆杭州亞運會的辦賽理念之一.在亞運村里，時常能看到一輛極具科技感的小巴車出現在主干道上，車內沒有司機，也沒有方向盤，這就是無人駕駛AR智能巴士.某地在亞運會后也采購了一批無人駕駛巴士作為公交車，公交車發(fā)車時間間隔（單位：分鐘）滿足，，經測算，該路無人駕駛公交車載客量與發(fā)車時間間隔滿足：，其中.（1）求，并說明的實際意義；（2）若該路公交車每分鐘的凈收益（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該路公交車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.【正確答案】（1）35；發(fā)車時間間隔為5分鐘時，載客量為35（2）6分鐘，38元【分析】（1）根據題意求得，從而說明其實際意義；（2）根據題意，分類討論的取值范圍，利用基本不等式與反比例函數的單調性即可得解.【小問1詳解】因為，所以，實際意義為：發(fā)車時間間隔為5分鐘時，載客量為35.【小問2詳解】因為，所以當時，，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，取得最大值38；當時，，該函數在區(qū)間上單調遞減，則當時，取得最大值28.4；綜上所述，當發(fā)車時間間隔為6分鐘時，該路公交車每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為38元.22.已知函數，其中常數.（1）若函數分別在區(qū)間，上單調，求的取值范圍；（2）當時，是否存在實數和，使得函數在區(qū)間上單調，且此時的取值范圍是.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）存在，．【分析】（1）結合勾形函數的性質、絕對值的定義只要在上的最小值不小于0即可得；（2）作出函數的圖象得4個單調區(qū)間，首先確定，以及區(qū)間的兩個端點都不在區(qū)間上，在時有，，再由求出的范圍，然后再分四個區(qū)間討論確定范圍．【小問1詳解】設，∵，∴函數?x分別在區(qū)間0,2，上單調且，要使函數分別在區(qū)間0,2，上單調，則只需；【小問2詳解】如圖，可知，在0,1、、、均單調函數，顯然，，若，則，，則，若，則，令，，因此，（Ⅰ）當時，在上單調遞減，則兩式相除整理得，∵∴上式不成立即，無解，無取值.（Ⅱ）當時，在上單調