2024-2025學(xué)年河北省衡水市冀州區(qū)高三復(fù)習(xí)班上學(xué)期第二次調(diào)研數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河北省衡水市冀州區(qū)高三復(fù)習(xí)班上學(xué)期第二次調(diào)研數(shù)學(xué)檢測試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意求集合，集合交集運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，所以.故選：D.2.求值：（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【詳解】，故選：A3.若，且，則的最小值為（）A.20 B.12 C.16 D.25【正確答案】D【分析】利用，結(jié)合基本不等式可求和的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：D.4.已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（）A B. C.1 D.【正確答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算可得結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義，.故選：C.5.已知方程，的根分別為，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】得到，，構(gòu)造，故，求導(dǎo)得到其單調(diào)遞增，故，求出.【詳解】由題意得，，令，則，又恒成立，故在R上單調(diào)遞增，故，所以.故選：B6.若，則點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正確答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性可判斷的符號；利用商數(shù)關(guān)系，將正切化為正弦和余弦，結(jié)合，的符號即可判斷的符號.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即；因?yàn)?，又因?yàn)闀r，，，，所以，即.所以點(diǎn)位于第三象限.故選：C.7.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式組，由此求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恒為遞增函數(shù)，所以若要在上單調(diào)遞增，則，解得，故選.8.已知，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先求導(dǎo)得，再分與a>0研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增，不恒成立；當(dāng)時，將恒成立問題通過單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值大于等于1，進(jìn)而得到的不等關(guān)系，由此利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解的范圍即可.【詳解】由題意，，，當(dāng)時，f′x>0恒成立，則當(dāng)時，，故不恒成立；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，f′x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，f′x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，則，設(shè)，，令，解得，當(dāng)時，，函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增；，，且當(dāng)時，.故選：D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的有（）A.若，，其中，，，，且，，則B.若（）為純虛數(shù)，則C.若關(guān)于的方程，，的一個虛根為，則D.若，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限【正確答案】BD【分析】對于A：根據(jù)復(fù)數(shù)不能比較大小即可判斷；對于B：根據(jù)純虛數(shù)的概念列式求解；對于C：可知另一個虛根為，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解；對于D：可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可知，不可能均為?shí)數(shù)，故不能比較大小，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：若（）純虛數(shù)，則，解得，故B正確；對于選項(xiàng)C：若關(guān)于的方程，，的一個虛根為，則另一個虛根為，可得，所以，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：若，，則，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限，故D正確；故選：BD.10.已知，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則的最大值為D.，，使得【正確答案】ABC【分析】利用二倍角公式與和差角的三角函數(shù)公式化簡、分析、計算即可一一判斷.【詳解】，（*），對于A，若，則，化簡得，則，故A正確；對于B，因，由（*）可得，，，故B正確；對于C，若，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故C正確；對于D，，假設(shè)，則，，又，，則得，即，該方程無解，故D錯誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)0,2是曲線y=fxB.當(dāng)時，函數(shù)有3個零點(diǎn)C.若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則D.過坐標(biāo)原點(diǎn)可以作曲線y=fx【正確答案】AC【分析】根據(jù)即可判斷A；對求導(dǎo)得到的單調(diào)性，判斷的極值點(diǎn)個數(shù)判斷B；要使有且僅有2個零點(diǎn)，由單調(diào)性可得，故，求解判斷C；過點(diǎn)可以作曲線切線條數(shù)可轉(zhuǎn)化為根的個數(shù)可判斷D．【詳解】對于A，對任意的，，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故A對；對于B，當(dāng)時，，，由，可得，由，可得或，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以函數(shù)的極大值為，極小值為，又因?yàn)?，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)有一個零點(diǎn)，故B錯；對于C，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，至多一個零點(diǎn)，不符合要求，當(dāng)，所以，令解得或，令解得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，由于，要使有兩個零點(diǎn)，則，解得時，故C正確；對于D,，設(shè)切點(diǎn)為，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得，，即過點(diǎn)可以作曲線的1條切線，故D錯誤；故選：AC難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)是選項(xiàng)C的判斷，解答時要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，結(jié)合零點(diǎn)個數(shù)列式求解.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，第14題第—個空2分，第二個空3分）12.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則________.【正確答案】【分析】利用三角函數(shù)的定義先計算，再利用二倍角公式計算即可.【詳解】由題意可知，所以，故13.已知函數(shù)(為常數(shù))為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【正確答案】【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)計算出的值，再利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式即可計算出實(shí)數(shù)的取值【詳解】因?yàn)?為常數(shù))為奇函數(shù)且定義域?yàn)?所以，為為增函數(shù)等價于恒成立即令（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）故14.已知函數(shù).若，則的零點(diǎn)為___________；若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則的最小值為__________.【正確答案】①.6②.60【分析】（1）求解即可；（2）作出的圖象，結(jié)合題意可得，再根據(jù)基本不等式求解最小值即可.【詳解】（1），解得，故零點(diǎn)為；（2）由題意有兩個零點(diǎn)，作出的圖象可得，且，故，即.故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故6；60四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知.（1）求的值；（2）若，是方程的兩個根，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，即可得解；（2）利用韋達(dá)定理得到，從而得到，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得；【小?詳解】因?yàn)?，是方程的兩個根，所以，∴，又，∴．16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.【正確答案】（1）（2）最小值為，最大值為【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）先利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解即可.【小問1詳解】由，得，所以，又，所以函數(shù)在處的切線方程為：，即.【小問2詳解】由，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，最小，且最小值為，因?yàn)?，，故最大值?17.已知，，，，（1）求值（2）求角的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡，再利用商數(shù)關(guān)系化為關(guān)于的式子，再由二倍解公式，同角關(guān)系式對已知條件變形求得，代入計算可得；（2）確定的范圍，求得，然后利用，結(jié)合兩角差的正弦公式求得，結(jié)合角的范圍得出角的大?。拘?詳解】由又因?yàn)?，所以，可得，解得或，由于，所?原式【小問2詳解】又由知，因，則，由，又因，故.18.已知函數(shù)（1）若在處取得極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為0,1；（2）【分析】（1）求導(dǎo)，由求出，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性和求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，得到，，令，，則，求導(dǎo)得到在0,+∞上單調(diào)遞增，故，即，有兩個零點(diǎn)，等價于有兩個根，令，，求導(dǎo)得到的單調(diào)性和最值，得到，得到答案.【小問1詳解】，由題意得，解得，故，定義域?yàn)?,+∞，為單調(diào)遞增函數(shù)，又，故當(dāng)時，f′x>0，當(dāng)時，f′故的單調(diào)遞增區(qū)間為1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為0,1；【小問2詳解】的定義域?yàn)?,+∞，，即，變形為，，令，，則，在0,+∞恒成立，故在0,+∞上單調(diào)遞增，故，即，有兩個零點(diǎn)，等價于有兩個根，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，，又趨向于0時，?x趨向于，當(dāng)趨向于時，?x趨向于，故要想有兩個根，則，解得.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：，即，同構(gòu)變形為，，構(gòu)造，，則，再此基礎(chǔ)上再進(jìn)行求解.19.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求a的取值范圍．【正確答案】（1）極小值1，無極大值（2）答案見解析（3）或【分析】（1），第一步求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，第二步求極值點(diǎn)，分析零點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，求得極小值；（2），，函數(shù)的定義域是0,+∞，所以討論和0的大小關(guān)系，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）根據(jù)（2）將問題轉(zhuǎn)化為，使?x<0，討論極值點(diǎn)與定義域的關(guān)系，分三種情況討論函數(shù)的最小值，令，求實(shí)數(shù).【小問1詳解】的定義域?yàn)椋?dāng)時，，，在處取得極小值1，無極大值．【小問2詳解】，．①當(dāng)，即時，在上，在上，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，在上，函數(shù)在上單調(diào)遞增．【小問3詳解】在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得，即函數(shù)在上的最