2025年冀教初中數(shù)學(xué)八上《1軸對(duì)稱》教案 4

PAGEPAGE1第十二章軸對(duì)稱12.1軸對(duì)稱12.2作軸對(duì)稱圖形一、知識(shí)點(diǎn)1、軸對(duì)稱:把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另外一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也稱軸對(duì)稱。2、關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。3、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。4、兩個(gè)圖形關(guān)于某一直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段（或延長線）相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。5、如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。（1）軸對(duì)稱包含兩層含義：一是有兩個(gè)圖形，能夠完全重合，即形狀、大小完全相同。二是對(duì)重合的方式有限制，也就是它們的位置關(guān)系必段滿足一個(gè)條件，把它們沿某一條下線對(duì)折能夠重合。（2）全等的圖形不一定是軸對(duì)稱的。兩軸對(duì)稱的圖形一定是全等的。（3）軸對(duì)稱逆定理的作用是判定兩個(gè)圖形是否關(guān)于某一直線對(duì)稱，它是作對(duì)稱圖形的主要依據(jù)。6、軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這直線線是它的對(duì)稱軸。7、軸對(duì)稱的定義：（1）、有兩個(gè)圖形，能夠完全重合，即形都狀大小都相同。（2）、對(duì)重合的方式有限制，也就是它們的位置關(guān)系必須滿足一個(gè)條件：把它們沿某一直線對(duì)折后，能夠重合，全等的圖形不一定是軸對(duì)稱的，而軸對(duì)稱的圖形一定是全等的。8、如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，它是作對(duì)稱圖形的主要依據(jù)。9、軸對(duì)稱和對(duì)稱軸圖形的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別：（1）軸對(duì)稱是說兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是說一個(gè)特殊形狀的圖形。（2）、軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形說的。聯(lián)系：（1）定義中都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合。（2）如果把軸對(duì)稱圖形沿著對(duì)稱軸分成兩部分，那么這兩個(gè)圖形就是關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，經(jīng)常遇到的軸對(duì)稱圖形有：等腰三角形、線段、角、正方形、等腰梯形等。12.1軸對(duì)稱練習(xí)：1、如圖所示：AB＞AC,∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，自點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,求證：BE=CF A E G C B F D2、如圖：在四邊形ABCD中，AC、BD交于O，且AB=AD,BC=DC，試問：AC、BD有何關(guān)系？為什么?A解：AC垂直平分BD。 B O D C3、糧食部門要修建一個(gè)儲(chǔ)運(yùn)倉庫，如圖所示，按照設(shè)計(jì)要求：儲(chǔ)運(yùn)倉庫到兩城市A、B的距離必須相等，且到兩條高速公路a和b的距離相等，儲(chǔ)運(yùn)倉庫P應(yīng)修在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置。 a o ·B ·A b12.2作軸對(duì)稱圖形1、作軸對(duì)稱圖形概述給出一個(gè)圖形和一條直線，即可作出這個(gè)圖形關(guān)于這條直線的軸對(duì)稱圖形，由所給出的直線（對(duì)稱軸）位置的不同，得到的軸對(duì)稱圖形的位置也不同，在作圖時(shí)，始終要注意：任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被對(duì)稱軸垂直平分。2、作一個(gè)圖形關(guān)于某一直線的對(duì)稱圖形的方法。由于幾何圖形都可以看成由若干個(gè)點(diǎn)組成的，所以只要做出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，再連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形，因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以對(duì)于直線形（如三角形、四邊形等），只要作出圖形中的一個(gè)特殊點(diǎn)（一般情況下取頂點(diǎn)或線段的端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形。3、平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的物征在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)與它關(guān)于X軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)為相反數(shù)。點(diǎn)P(x,y)與它關(guān)于Y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)為相反數(shù)。作軸對(duì)稱圖形的練習(xí)1、如圖所示：已知在?ABC中，AB=AC==10,DE垂直平分AB，垂足為E，DE交AC于D，若?DBC的周長為16，求BC的長及?ABC的周長。 分析：DB=AD,所以DB+AD=AC,所以 A E D BC2、下列圖形中不是對(duì)稱圖形的是（D）A、線段B、相交直線C、有公共端點(diǎn)D、有公共端點(diǎn)的兩條不相等線段3、全等和對(duì)稱的關(guān)系是(B)A、全等必對(duì)稱B、對(duì)稱必全等C、全等一定不對(duì)稱D、對(duì)稱不定全等。4、不重合兩點(diǎn)的對(duì)稱軸是（）。5、如圖：某同學(xué)打臺(tái)球時(shí)想通過擊黑球A，使其撞擊桌邊MN后反彈，來擊中白球B，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)明，黑球撞在MN上哪一點(diǎn)才達(dá)到目的？（以球心A、B來代表兩球）·A B· M N分析:作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接BA’與MN交于P，連接PA，則點(diǎn)P就是要求的點(diǎn)。則經(jīng)AP撞擊MN，必沿PB反彈擊中白球B。一變：如圖：在∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)p，如何在OA和OB上各取一點(diǎn)Q、R，使?PRQ的周長最小。B·p O A分析：作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，P’，作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P’’,連接P’P’’,交OA于點(diǎn)R，交OB于點(diǎn)Q，PR、PQ，則?PRQ的周長最小。二變：某班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成兩直列，如圖中的AO、BO,AO桌面上擺滿了糖果，BO桌面上擺滿了桔子，坐在C處的學(xué)生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到坐位上，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？ A O· B分析：因?yàn)檫@兩列桌子的交角沒有明確，所以應(yīng)分兩種情況：一種是交角小于90度時(shí)，如圖: OA·PB以O(shè)A為軸作點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)P’，以BC為軸作P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)p’’點(diǎn)，連接p’p’’點(diǎn)，交OA、OB于，M、N，連接PMN所以由P—M—N—P最短。如果OA、OB交于直角，則直接到O取完再回到P點(diǎn)就可以了。變?nèi)涸僖粭l大河流中，有一形如三角形的小島，如圖所示，岸與小島有一橋相連，現(xiàn)在準(zhǔn)備在小島的各設(shè)立一個(gè)水質(zhì)取樣點(diǎn)，水利部門在岸邊設(shè)立一個(gè)觀測站，每天有專人從觀測站步行去三個(gè)取樣點(diǎn)取樣，然后帶回去化驗(yàn)，請(qǐng)問：三個(gè)取樣點(diǎn)分別設(shè)在什么位置，才能使得每天取樣所用的時(shí)間最短？ A 小島 B D C 觀測站 E分析：設(shè)觀測點(diǎn)為E,橋與小島相連點(diǎn)為D，小島的三邊分別為：AB、AC、BC，作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D’，作D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)C’’,連接C’C’’，與AB、AC交于M、N，則：D、M、N為所求。12.3等腰三角形1、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底，兩腰所夾的角叫頂角，底邊與腰的夾角叫底角。2、三角形的角平分線、中線、和高3、三形全等的判定和性質(zhì)4、三角形內(nèi)角和及三邊關(guān)系定理5、等腰三角形性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等。6、等腰三角形的性質(zhì)定理：推論一：等腰三角形的頂角平分線平分底邊并且垂直于義邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。推論二：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度。推論的作用：可證明角相等、線段相等或垂直。7、等腰三角形三線合一：等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高相等相互重合。只要知道其中一個(gè)結(jié)論，就可以得出其他兩個(gè)結(jié)論。8、等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且都等于45度。9、等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角，或直角，但頂角可為鈍角或直角。10、等腰三角形三邊之間的關(guān)系：設(shè)腰長為a度長為b，則b211、等腰三角形三角之間的關(guān)系:設(shè)頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180-2∠B12、等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形兩個(gè)底角相等，那么它所對(duì)的邊也相等。（簡寫成等角對(duì)等邊）A、該定理的作用：是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)。B、注意：該定理不能敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等，因?yàn)樵跊]有判定出它是等腰三角形之前，不能用底角、和腰的名詞。只有等腰三角形才有底角、腰的概念。13、等腰三角形判定定理的推論：推論一：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論二：有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形。推論三：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。14、等邊三角形的判定方法A、運(yùn)用定義：三條邊相等B、三個(gè)角相等C、有一個(gè)角是60度的等腰三角形。等腰三角形練習(xí)：（解讀）如圖所示：在?ABC中，AB=AC,D在BC上，且，AD=BD，AC=CD求∠BA B D C設(shè)：∠B為X度。5X=180，所以∠B=36等腰三角形的周長是30，一邊長是12，求另兩邊長。分兩種情況討論3、如圖，AB=AC，BD=CD,AD的延長線交BC于點(diǎn)E，求證：AE⊥BC。D ADD B E CO4、如圖所示，O為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠OCB=∠OBC,求∠BOCO B C5、探究題F在三角形ABC中，AD為BC的中線，E為AC上的一點(diǎn)，BE與AD交于F，若AE=EF，求證：AC=BFF A BDC 分析：證AC=BF，可利用三角形全等，而它們所在的三角形，不全等，故想到可將它們移到一個(gè)三角形中，利用等角對(duì)對(duì)邊來求證。延長AD至M，使DM=AD，連接BM，就可以證出。6、辯析題：D是等腰三角形ABC底邊上的一點(diǎn)，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE和DF，如圖：當(dāng)D在什么位置時(shí)，DE=DF？并說明理由。D AD E F B C 分析：要使DE=DF需使三角形BFD和三角形DFC全等。所以應(yīng)在BC的中點(diǎn)即可。7、難題:在?ABC中，AB=AC，∠BAC=80度，P為?ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若∠PBC=10度，∠PCB=30度，求∠PAB的度數(shù)。 A E B CP AAPPB CP分析：以BC為邊做一等邊三角形，連接AE、則BE=EC=BC，E在BC的中垂線上，所以∠AEB=∠AEC=30度。求出?ABE??PBC則角PAB=70度。單元梳理與能力整合軸對(duì)稱的應(yīng)用在中考命題中，此類問題只是一道選擇題，只要求判斷是不是軸對(duì)稱圖形和有幾條對(duì)稱軸。如l圓、正方形、三角形、平行四邊形、圖標(biāo)、文字，符號(hào)等。線段的垂直平分線如圖：是三角形ABC中∠BAC的平分線，AD的垂直平分線EF交BC的延長線于F，試說明：∠BAF=∠AFC的理由。 A E B D C F分析：因?yàn)镋F是AD的垂直平分線，所以∠DAF=∠ADF,而∠ADF=∠B+∠BAD,而∠DAF=∠DAC+∠CAF結(jié)論可證。等腰三角形的熱點(diǎn)問題如圖所示：AD是三角形ABC的角平分線，BE⊥AD交AD的延長線與E，EF∥AC,交AB與F，求證：AF=FB A F B D C E等腰三角型的綜合應(yīng)用如圖：在三角形ABC中，AB=AC，AE⊥AB于E，在BC上截取CD=CA，連接AD，若AD=BD，則∠DAE的度數(shù)是多少？ A B C DE 分析：5∠B=180度，所以∠B=36度，又因?yàn)椋骸螦DC=∠DAC，所以∠ADC=∠DAC=72度，所以∠DAE=90-72=18度。運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)與判定解題如圖：AB=AC，DE垂直平分AB交AB與D,交AC與E，若三角形ABC的周長為28，BC=8,求三角形的周長。 A D E B C6、與軸對(duì)稱有關(guān)的作圖如圖：已知∠AOB與線段CD，求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)p到CD的兩端點(diǎn)距離相等且到∠AOB兩邊的距離也相等。B C D OA分析：這個(gè)點(diǎn)一定在CD的垂直平分線與∠BOA的角分線的交點(diǎn)上。構(gòu)造直角坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。如圖：在直角坐標(biāo)系中作A關(guān)于X軸、Y軸的對(duì)稱點(diǎn)A’,A’’，連接OA,OA’,OA’’,則X軸為AA’的的垂直平分線。OA=OA’，且∠AOX=XOA’同理OA=OA＇＇∠ＹＯA＝∠ＹＯＡ＇＇，所以∠AOX＋XOA’＋∠ＹＯA＋∠ＹＯＡ＇＇＝180度，所以Ａ＇＇、O、Ａ＇在同一直線上。所以∠ＹＯA+∠AOX=90度。所以∠A’’AA’=90度。所以可證。 y A’A O x A’’與坐標(biāo)有關(guān)的對(duì)稱問題如圖：三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,5),B(-4,2),C(-2,1),作出與三角形ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱的三角形A’B’C’.轉(zhuǎn)化思想如圖：在三角形ABC中BA=BC，∠B=120度，AB的垂直平分線交AC于D，求證：AD=12 A C D分析：連接DF，則∠DFC=90度，又因?yàn)椤螩=30度，所以可證.10、如圖：在三角形ABC中，AB=AC,E為AC上的一點(diǎn)，ED⊥BC于D,交BA的延長線于F,求證：AE=AF.F A E B C分析：∠F+∠B=90度，∠C+∠A