備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第三章-§3-3-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

§3.3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的

極值、最值第三章

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件.2.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的方法.4.會用導(dǎo)數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.函數(shù)的極值條件f′(x0)＝0在點x＝x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0在點x＝x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0圖象

極值f(x0)為_______f(x0)為_______極值點x0為_________x0為_________極大值極大值點極小值極小值點2.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的

；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與

比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.連續(xù)不斷極值端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有.(

)(2)函數(shù)的極小值一定小于函數(shù)的極大值.(

)(3)函數(shù)的極小值一定是函數(shù)的最小值.(

)(4)函數(shù)的極大值一定不是函數(shù)的最小值.(

)√××√1.如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數(shù)為由題意知，只有在x＝－1處，f′(－1)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號為左負(fù)右正，故f(x)的極小值點只有1個.A.1B.2C.3D.4√2.函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋2x－1有極值，則實數(shù)a的取值范圍是_________________________.f′(x)＝3x2－2ax＋2，由題意知f′(x)有變號零點，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，3.若函數(shù)f(x)＝

－4x＋m在[0,3]上的最大值為4，則m＝_____.f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，當(dāng)x∈[0,2)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(2,3]時，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上單調(diào)遞減，在(2,3]上單調(diào)遞增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.4探究核心題型第二部分命題點1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值題型一利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值問題例1

如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是A.f(x)在(－2，－1)上單調(diào)遞增B.當(dāng)x＝3時，f(x)取得最小值C.當(dāng)x＝－1時，f(x)取得極大值D.f(x)在(－1,2)上單調(diào)遞增，在(2,4)上單調(diào)遞減√根據(jù)圖象知，當(dāng)x∈(－2，－1)，x∈(2,4)時，f′(x)<0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增.所以y＝f(x)在(－2，－1)和(2,4)上單調(diào)遞減，在(－1,2)和(4，＋∞)上單調(diào)遞增，故選項A不正確，選項D正確；當(dāng)x＝－1時，f(x)取得極小值，故選項C不正確；當(dāng)x＝3時，f(x)不取得最小值，故選項B不正確.命題點2求已知函數(shù)的極值例2

(2022·西南大學(xué)附中模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，討論函數(shù)f(x)的極值.因為f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x，所以f(x)的定義域為(0，＋∞)，若a>0，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0恒成立，故函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值.命題點3已知極值(點)求參數(shù)例3

(1)(2023·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極小值，則c的值為A.2B.4C.6D.2或6√由題意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，則f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.若c＝2，則f′(x)＝(x－2)(3x－2)，當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在x＝2處有極小值，滿足題意；若c＝6，則f′(x)＝(x－6)(3x－6)，當(dāng)x∈(－∞，2)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2,6)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(6，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在x＝2處有極大值，不符合題意.綜上，c＝2.(2)(2023·威海模擬)若函數(shù)f(x)＝ex－ax2－2ax有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為√由f(x)＝ex－ax2－2ax，得f′(x)＝ex－2ax－2a.因為函數(shù)f(x)＝ex－ax2－2ax有兩個極值點，所以f′(x)＝ex－2ax－2a有兩個變號零點，當(dāng)x>0時，g′(x)<0；當(dāng)x<0時，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)驗證：求解后驗證根的合理性.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1處取得極大值10，則a＋b的值為A.－1或3 B.1或－3C.3 D.－1√因為f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因為函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，

②聯(lián)立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.當(dāng)a＝－6，b＝9時，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，故f(x)在x＝1處取得極大值10，符合題意.綜上可得，a＝－6，b＝9.則a＋b＝3.(2)(2022·哈師大附中模擬)已知函數(shù)f(x)＝

＋2klnx－kx，若

x＝2是函數(shù)f(x)的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是

√∴φ(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x→＋∞時，φ(x)→＋∞，題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值命題點1不含參函數(shù)的最值例4

(2022·全國乙卷)函數(shù)f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在區(qū)間[0,2π]的最小值、最大值分別為√f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，x∈[0,2π]，則f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)·cosx＝(x＋1)cosx，x∈[0,2π].又f(0)＝cos0＋(0＋1)sin0＋1＝2，f(2π)＝cos2π＋(2π＋1)sin2π＋1＝2，命題點2含參函數(shù)的最值例5

知函數(shù)f(x)＝

－lnx(a∈R)，(1)討論f(x)的單調(diào)性；①若a≤0，則f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；②若a>0，則當(dāng)x>a時，f′(x)<0；當(dāng)0<x<a時，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，＋∞)上單調(diào)遞減.所以f(x)max＝f(a)＝－lna；求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2021·新高考全國Ⅰ)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為_____.1函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的定義域為(0，＋∞).當(dāng)x>1時，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln1＝1；＝ln4>lne＝1.綜上，f(x)min＝1.(2)已知函數(shù)h(x)＝x－alnx＋

(a∈R)在區(qū)間[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范圍.①當(dāng)a＋1≤0，即a≤－1時，h′(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則h(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，故h(x)min＝h(1)＝2＋a<0，解得a<－2；②當(dāng)a＋1>0，即a>－1時，在(0，a＋1)上，h′(x)<0，在(a＋1，＋∞)上，h′(x)>0，所以h(x)在(0，a＋1)上單調(diào)遞減，在(a＋1，＋∞)上單調(diào)遞增，若a＋1≤1，求得h(x)min>1，不合題意；若1<a＋1<e，即0<a<e－1，則h(x)在(1，a＋1)上單調(diào)遞減，在(a＋1，e)上單調(diào)遞增，故h(x)min＝h(a＋1)＝2＋a[1－ln(a＋1)]>2，不合題意；若a＋1≥e，即a≥e－1，則h(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，課時精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則下列命題正確的是A.x＝－2是函數(shù)y＝f(x)的極大值點B.x＝1是函數(shù)y＝f(x)的極值點C.y＝f(x)的圖象在x＝0處的切線的斜率小于零D.函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2,2)上單調(diào)遞增√1234567891011121314對于A，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知，－2是導(dǎo)函數(shù)的零點，且－2的左側(cè)導(dǎo)函數(shù)值小于0，右側(cè)導(dǎo)函數(shù)值大于0，故x＝－2是f(x)的極小值點，故A錯誤；對于B，x＝1不是極值點，因為1的左、右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值的符號一致，故B錯誤；對于C，x＝0處的導(dǎo)函數(shù)值即為此點處的切線斜率，顯然為正值，故C錯誤；對于D，導(dǎo)函數(shù)值在(－2,2)上恒大于等于零，故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－2,2)上單調(diào)遞增，故D正確.12345678910111213141234567891011121314√12345678910111213141234567891011121314√由函數(shù)f(x)＝2lnx＋ax2－3x，1234567891011121314因為x＝2是f(x)的極值點，可得f′(2)＝1＋4a－3＝0，當(dāng)1<x<2時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)2<x≤3時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，1234567891011121314所以f(1)<f(3)，12345678910111213144.(2022·全國甲卷)當(dāng)x＝1時，函數(shù)f(x)＝alnx＋

取得最大值－2，則f′(2)等于√因為函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，1234567891011121314因此函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)x＝1時取最大值，滿足題意.12345678910111213145.已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋lnx有兩個不同的極值點x1，x2，則實數(shù)a的取值范圍為1234567891011121314√由f(x)＝ax2－2x＋lnx(x>0)，若函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋lnx有兩個不同的極值點x1，x2，則方程2ax2－2x＋1＝0有兩個不相等的正實根，123456789101112131412345678910111213146.已知函數(shù)f(x)＝

，則下列說法錯誤的是A.曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x－1B.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)C.f(x)的極大值為D.方程f(x)＝－1有兩個不同的解√對于A，f(1)＝0，f′(1)＝1，則曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x－1，所以A正確；對于B，令f′(x)<0，得x>e，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)，所以B正確；對于C，令f′(x)>0，得0<x<e，所以f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，又f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)的極大值為f(e)＝

，所以C正確；1234567891011121314對于D，當(dāng)x>1時，f(x)>0，當(dāng)0<x<1時，f(x)<0，畫出f(x)的大致圖象，如圖，方程f(x)＝－1解的個數(shù)即y＝f(x)的圖象與y＝－1的交點個數(shù)，由圖知方程f(x)＝－1只有一個解，所以D錯誤.123456789101112131412345678910111213147.(2023·濰坊模擬)寫出一個存在極值的奇函數(shù)f(x)＝________________.正弦函數(shù)f(x)＝sinx為奇函數(shù)，且存在極值.sinx(答案不唯一)12345678910111213148.甲、乙兩地相距240km，汽車從甲地以速度v(km/h)勻速行駛到乙地.已知汽車每小時的運輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為160元，可變成本為

元.為使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以____km/h的速度行駛.80設(shè)全程運輸成本為y元，1234567891011121314令y′＝0，得v＝80.當(dāng)v>80時，y′>0；當(dāng)0<v<80時，y′<0.1234567891011121314所以當(dāng)v＝80時，全程運輸成本最小.(1)討論f(x)的單調(diào)性；12345678910111213141234567891011121314∵a>0，(2)若y＝f(x)的圖象與x軸沒有公共點，求a的取值范圍.1234567891011121314∵y＝f(x)的圖象與x軸沒有公共點，∴1－lna>0，∴0<a<e.∴a的取值范圍為(0，e).123456789101112131410.(2023·張家口質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ex＋e－x－ax2－2.(1)當(dāng)a＝1時，證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＝1時，f(x)＝ex＋e－x－x2－2，f′(x)＝ex－e－x－2x.令φ(x)＝ex－e－x－2x，當(dāng)x>0時，φ′(x)＝ex＋e－x－2>0，所以函數(shù)f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f′(x)>f′(0)＝0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增.1234567891011121314(2)若g(x)＝f(x)－e－x，討論函數(shù)g(x)的極值點的個數(shù).由題意知，g(x)＝ex－ax2－2，當(dāng)a＝0時，g(x)＝ex－2單調(diào)遞增，無極值點，當(dāng)a≠0時，g′(x)＝ex－2ax，由g′(0)＝1，得x＝0不是極值點.1234567891011121314當(dāng)x<0時，h(x)<0，且h′(x)<0，故函數(shù)g(x)存在一個極值點；當(dāng)0<x<1時，h′(x)<0，當(dāng)x>1時，h′(x)>0，故函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，h(1)＝e為函數(shù)h(x)的極小值，1234567891011121314故函數(shù)g(x)無極值點.綜上，當(dāng)a<0時，函數(shù)g(x)存在一個極值點，12345678910111213141234567891011121314123456789101112131411.(2021·全國乙卷)設(shè)a≠0，若x＝a為函數(shù)f(x)＝a(x－a)2(x－b)的極大值點，則A.a<b

B.a>bC.ab<a2

D.ab>a2√綜合提升練當(dāng)a>0時，根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖1所示，觀察可知b>a.當(dāng)a<0時，根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖2所示，觀察可知a>b.綜上，可知必有ab>a2成立.圖1

圖212345678910111213141234567891011121314√1234567891011121314h(2)＝2ln2－2×22＋1＝2ln2－7，1234567891011121314則h(x)min＝h(2)＝2ln2－7，即a的最小值為2ln2－7.1234567891011121314123456789101112131413.如圖所示，已知