2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題08冪函數(shù)與二次函數(shù)

專題08冪函數(shù)與二次函數(shù)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、冪函數(shù)的定義一般地，（為有理數(shù)）的函數(shù)，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù)．2、冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù)．（3）冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、常見(jiàn)的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)4、二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對(duì)稱軸方程．（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．5、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）單調(diào)性與最值=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，；．（2）與軸相交的弦長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，．6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處．對(duì)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則．【方法技巧與總結(jié)】1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出．2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個(gè)不等正根（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為3、一元二次方程的根的分布問(wèn)題一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)．設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示．根的分布圖像限定條件在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根4、有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵是利用圖像．（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問(wèn)題——?jiǎng)虞S定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸．即注意對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側(cè)；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側(cè)；=3\*GB3③軸穿過(guò)區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論．（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)．【典型例題】例1．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若且，則它的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由且，得，所以函數(shù)是二次函數(shù)，圖象開口向上，排除A，C；又，所以排除B；只有D符合.故選：D.例2．（2024·高三·河南·開學(xué)考試）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D例3．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【解析】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，因此，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的值是.故選：C例4．（2024·高三·北京·階段練習(xí)）若函數(shù)有最小值，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，，有最小值.當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，若在上有最小值，則對(duì)稱軸，解得.故選：A例5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)滿足對(duì)于任意的，，且.若，則的最大值與最小值之和是（

）A． B． C．4 D．【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?，令，得，故，所以，令，得，故，即，又，即，故，，所以，由，得，設(shè)，，即，，則，所以的最大值與最小值之和為，故選：C例6．（2024·高三·全國(guó)·期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是直線，由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，解得，故選：D．例7．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，在定義域R上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，的圖象的對(duì)稱軸為直線，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以且，解得．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：D例8．（2024·高一·浙江·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，解得，故選：B例9．（2024·高三·上海靜安·期末）下列冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的是（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）．①；

②；

③；

④．【答案】②【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，故④不滿足題意,因?yàn)樵搩绾瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋詧D象不關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故①不滿足題意；因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，故②滿足題意；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，故③不滿足題意.故答案為：②.例10．（2024·高一·重慶·期末）已知冪函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的值可以是．【答案】（答案不唯一）【解析】舉例，則，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)知其為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足題意.故答案為：（答案不唯一）.例11．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且的圖像恒過(guò)定點(diǎn)P，且P在冪函數(shù)的圖像上，則．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，的值與無(wú)關(guān)，且，故，設(shè)將代入，解得，故故答案為：例12．（2024·高三·上海普陀·期中）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則此冪函數(shù)的表達(dá)式為.【答案】【解析】設(shè)此冪函數(shù)的表達(dá)式為，依題意可得，，即，解得，所以此冪函數(shù)的表達(dá)式為.故答案為：.例13．（2024·高一·吉林長(zhǎng)春·期末）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則．【答案】【解析】由冪函數(shù)的定義知，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意，所以.故答案為：例14．（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則函數(shù)解析式為．【答案】或【解析】是冪函數(shù)，也是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，且為偶數(shù)，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：或例15．（2024·江蘇南京·二模）冪函數(shù)滿足：任意有，且，請(qǐng)寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【解析】取，則定義域?yàn)镽，且，，，滿足.故答案為：.例16．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的非常值函數(shù).①在上恒成立；②是偶函數(shù)；③.【答案】（答案不唯一，形如均可）【解析】由②知，函數(shù)可以是奇函數(shù)，由①知，函數(shù)在上可以是減函數(shù)，由③結(jié)合①②，令，顯然，滿足①；是偶函數(shù)，滿足②；，滿足③，所以.故答案為：例17．（多選題）（2024·高三·海南?？凇ら_學(xué)考試）如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，圖像過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為，給出下面四個(gè)結(jié)論正確的為（

）

A． B． C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)閳D像與軸交于兩點(diǎn)，所以，即，故A正確；對(duì)稱軸為，即，所以，故B錯(cuò)誤；結(jié)合圖像，當(dāng)時(shí)，，即，故C錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸為知，，根據(jù)拋物線開口向下，知，所以，即，故D正確.故選：AD例18．（多選題）（2024·高二·山東濱州·階段練習(xí)）對(duì)數(shù)函數(shù)（且）與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A，B中，由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象得，則二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)，其對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為0，，選項(xiàng)A中，由圖象得，從而，選項(xiàng)A可能；選項(xiàng)B中，由圖象得，與相矛盾，選項(xiàng)B不可能．選項(xiàng)C，D中，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象得，則，二次函數(shù)圖象開口向下，D不可能；選項(xiàng)C中，由圖象與x軸的交點(diǎn)的位置得，與相矛盾，選項(xiàng)C不可能．故選：BCD．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·遼寧·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則在上單調(diào)遞增.因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：，解得4.故選：2．（2024·高三·安徽·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)是上的偶函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，合乎題意.所以，，則，其對(duì)稱軸方程為，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得.故選：B．3．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則＝（）A． B．2 C．4 D．【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，所以.故選：C4．（2024·高一·黑龍江雙鴨山·期中）是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．4 D．2或【答案】A【解析】由于是冪函數(shù)，所以，解得或，由于在上是減函數(shù)，所以，故，因此，故選：A5．（2024·高一·云南曲靖·期中）已知冪函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞減，則的取值是（

）A．1 B．-3 C．1或-3 D．2【答案】A【解析】∵為冪函數(shù)，∴或；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不滿足題意.綜上可知：.故選：A.6．（2024·四川成都·一模）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得.故選：C.7．（2024·高一·廣東深圳·期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該冪函數(shù)在第一象限的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，所以，所以，因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，且增加的速度越來(lái)越緩慢，故該冪函數(shù)在第一象限的大致圖象是B選項(xiàng).故選：B.8．（2024·高一·陜西安康·期末）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為由冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，解得，其定義域?yàn)?，且是增函?shù)，當(dāng)時(shí)，其圖象在直線的上方，故C滿足題意.故選：C9．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，所以或，對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；故只有B選項(xiàng)“在上單調(diào)遞減”符合這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)．故選：B10．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然不符合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：函數(shù)的定義域?yàn)椋譃槠婧瘮?shù)，又在上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：函數(shù)的定義域?yàn)?，又為奇函?shù)，且在上函數(shù)是上凸遞增，故D正確.故選：D二、多選題11．（2024·高三·黑龍江齊齊哈爾·期末）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由且，，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故取不到，所以，A錯(cuò)，B對(duì)；，且，所以，C對(duì)，D錯(cuò).故選：BC12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)滿足對(duì)于任意的且．若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】設(shè)二次函數(shù)，因?yàn)椋?，可得，故，所以，令，得，故，即；又因?yàn)椋?，解得，所以，由，可得，設(shè)，即，從而，故A錯(cuò)誤，B正確；又由，所以C錯(cuò)誤、D正確．故選：BD．13．（2024·高三·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則以下正確的是（

）A．， B．，C．， D．【答案】BCD【解析】因?yàn)椋鋱D象為開口向上的拋物線，，即無(wú)實(shí)數(shù)根，故，，即，故B正確，A錯(cuò)誤；C：由B正確可知：，故C正確；D：因?yàn)?，故，所以，故D正確．故選：BCD14．（2024·高三·山西晉中·階段練習(xí)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)C.故選：AC.15．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，且恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【解析】不妨設(shè)，則，根據(jù)題意，可得恒成立，即恒成立，令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使在上單調(diào)遞減，則解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：AB16．（2024·高一·福建福州·期中）已知函數(shù)，則（

）A． B．C．的最小值為1 D．的圖象與軸有1個(gè)交點(diǎn)【答案】ACD【解析】令，得，則，得，故，，，A正確，B錯(cuò)誤.，所以在上單調(diào)遞增，，的圖象與軸只有1個(gè)交點(diǎn)，C正確，D正確.故選：ACD17．（2024·高一·貴州·階段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)冪函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)可能成立的是（

）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】AB【解析】對(duì)于冪函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，若的圖象在的上方，則，若的圖象在的下方，則，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，指數(shù)越大，圖象越高，所以，綜上，，AB選項(xiàng)正確.故選：AB18．（2024·高三·云南·階段練習(xí)）若，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】需要，不能滿足，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，有，B選項(xiàng)正確；由冪函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，有，即，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC19．（2024·高一·山東·階段練習(xí)）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，故，對(duì)選項(xiàng)A：，同時(shí)除以得到，正確；對(duì)選項(xiàng)B：取，，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，，故，正確；故選：ACD20．（2024·高三·河北滄州·階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由題意知，則，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，所以的大致圖象不可能為C，而當(dāng)為其他值時(shí)，A，B，D均有可能出現(xiàn)，不妨設(shè)，定義域?yàn)?，此時(shí)A選項(xiàng)符合要求；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，且，故函?shù)為奇函數(shù)，所以B選項(xiàng)符合要求，當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，且，故函?shù)為偶函數(shù)，所以D選項(xiàng)符合要求.故選：ABD三、填空題21．（2024·高三·上?！ｎ}練習(xí)）請(qǐng)寫出一個(gè)函數(shù)使之同時(shí)具有如下性質(zhì)：（1）函數(shù)為偶函數(shù)；（2）的值域?yàn)椋敬鸢浮浚ù鸢覆晃ㄒ唬窘馕觥扛鶕?jù)題意，要求函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，而的值域?yàn)?，可以為二次函?shù)，如，故答案為：（答案不唯一）．22．（2024·高三·全國(guó)·專題