2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題23復(fù)數(shù)經(jīng)典問題

專題23復(fù)數(shù)經(jīng)典問題【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】一.基本概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時(shí)，.（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作.=1\*GB3①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）。兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).=2\*GB3②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，顯然，.二.基本性質(zhì)1、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù).（3）.實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù).2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù).（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.【典型例題】例1．（2024·河北唐山·一模）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則=（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】,所以，，.故選：D例2．（2024·陜西西安·二模）復(fù)數(shù)，（，是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由，故有，解得.故選：C.例3．（2024·寧夏石嘴山·一模）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以且，解得，又，，，，則.故選：A．例4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的是（

）.A．復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù) B．C．復(fù)數(shù)為純虛數(shù) D．【答案】A【解析】，故，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤.故選：A.例5．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)的實(shí)部大于0，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，代入，得，解得：，所以.故選：D.例6．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】設(shè)，則，則有，即，化簡(jiǎn)可得，故.故選：D.例7．（2024·高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知的兩共軛虛根為，，且，則．【答案】3【解析】由題設(shè)，可令，且，所以，所以.故答案為：3例8．（2024·高三·上海靜安·期末）已知，是虛數(shù)單位，的虛部為.【答案】【解析】由題，所以的虛部為.故答案為：例9．（2024·高三·廣東·專題練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的虛軸上，則實(shí)數(shù)【答案】【解析】由，結(jié)合題意，則，解得.故答案為：.例10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為實(shí)數(shù)，且，虛數(shù)為方程的一個(gè)根，則的值為.【答案】1【解析】由題意可知虛數(shù)為方程的一個(gè)根，也為方程的一個(gè)根，所以，設(shè)，則，，所以，故答案為：.例11．（2024·高三·上海·階段練習(xí)）關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程和有四個(gè)不同的根，若這四個(gè)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)共圓，則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)榈慕鉃?，設(shè)所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)分別為，則，，設(shè)的解所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)分別為，，記為,,，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，且，，關(guān)于軸對(duì)稱，顯然四點(diǎn)共圓；當(dāng)，即或時(shí)，此時(shí),,，且，故此圓的圓心為，半徑，又圓心到的距離，解得，綜上：,故答案為：.例12．（2024·天津南開·一模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為【答案】【解析】.所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C．3 D．0【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以?fù)數(shù)的虛部.故選：A2．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?故選：C.3．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，故選：B4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方法一：，.方法二：.故選：B.5．（2024·高三·江西·階段練習(xí)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，將向量繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到向量，點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，設(shè)其與實(shí)軸正半軸夾角為，則，故可設(shè)，設(shè)與實(shí)軸正半軸夾角為，則，故，故，則，，.故選：C6．（2024·陜西西安·一模）i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，所以.故選：A7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，則.故選：D.8．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B.9．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知復(fù)數(shù)，滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】設(shè)則所以，，即，則故選：B.10．（2024·全國(guó)·二模）若復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以的共軛?fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為位于第四象限.故選：D11．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝（a2－1）＋（a＋1）i為純虛數(shù)，則＝（）A．1 B．0 C．1＋i D．1－i【答案】D【解析】解析：若z＝（a2－1）＋（a＋1）i為純虛數(shù)，則a2－1＝0，a＋1≠0，則a＝1，則＝＝＝1－i.12．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B．0 C． D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，則，故選：D.13．（2024·遼寧葫蘆島·一模）設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則且C．若，則D．若，且，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上【答案】D【解析】設(shè)、，、、、，對(duì)A：若，則有，即且，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：取、，亦有，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：取，，則有，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：設(shè)，、，若，則有，即有，整理得，由，故與不能同時(shí)成立，故在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，故D正確.故選：D.14．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．0【答案】B【解析】，所以,所以的虛部為.故選:B.二、多選題15．（2024·福建漳州·一模）若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由題意可得：，則，解得，可得，故BCD正確，A錯(cuò)誤.故選：BCD.16．（2024·云南·一模）已知、都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．【答案】BD【解析】對(duì)于A：令、，則，顯然不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C：令、，則，，所以，但是，故C錯(cuò)誤；設(shè)，，所以，則，又，所以，故B正確；，又，所以，故D正確.故選：BD17．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）設(shè)，是關(guān)于的方程的兩根，其中，.若為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因?yàn)椋顷P(guān)于的方程的兩根，其中，且，所以，所以，所以，，所以，則，故A錯(cuò)誤，B正確，C正確；，故D正確.故選：BCD18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（

）A．的虛部為 B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．是方程的一個(gè)根【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以，則的虛部為，故A錯(cuò)誤；由于，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故B正確；由于，故C錯(cuò)誤；方程可化為，方程的根為，故D正確．故選:BD．19．（2024·遼寧大連·一模）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由可得，所以，即A正確；可得，即B正確；，，顯然錯(cuò)誤，即C錯(cuò)誤；，而，所以D錯(cuò)誤.故選：AB20．（2024·吉林白山·二模）已知為復(fù)數(shù)，則（

）A．若，則為實(shí)數(shù)B．C．若，則D．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上【答案】ABD【解析】設(shè)，故為實(shí)數(shù)，故A正確；，故B正確；令，故，但，故C錯(cuò)誤；若，則，故，即或，故D正確.故選：ABD21．（2024·高三·貴州·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，滿足，，且，則（

）A． B．C．若，則 D．【答案】ACD【解析】由題意知復(fù)數(shù)，滿足，，且，則，故，即，得，故，D正確；，得，A正確；由于，故，B錯(cuò)誤；由以上D的分析可知，若，則，故，C正確；故選：ACD22．（2024·山東棗莊·一模）已知，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【解析】設(shè)，則.對(duì)于A：若，且，可得，所以，正確；對(duì)于B：若，則，即，得或，所以，正確；選項(xiàng)C：令、，則，，所以，但是，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，，所以，正確.故選：ABD23．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）若（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，則，所以，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，所以，故D正確.故選：ACD.24．（2024·廣東江門·一模）下列說法正確的是（

）A．，B．C．若，，則的最小值為1D．若是關(guān)于x的方程的根，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，設(shè)復(fù)數(shù)，則，，故，A正確；對(duì)于B，由于，故，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，設(shè)，由于，則，故，由，得，則，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，C正確；對(duì)于D，是關(guān)于x的方程的根，故，即，故，D正確，故選：ACD25．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則下列命題一定成立的有（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】AC【解析】設(shè)，則.對(duì)于A：，若，則，所以，即，故A一定成立；對(duì)于B：，若，則①，，同理，若，則需滿足且，與①式不同，故B不一定成立；選項(xiàng)C：，，所以，故C一定成立；選項(xiàng)D：②，，與②式不同，故D不一定成立.故選：AC26．（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若是非零復(fù)數(shù)，且，則 D．若是非零復(fù)數(shù)，則【答案】BC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，若，，顯然滿足，但，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，則，，故而，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由可得：，因是非零復(fù)數(shù)，故，即，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是非零復(fù)數(shù)，但，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.27．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)z1＝2－2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P1，復(fù)數(shù)z2滿足|z2－i|＝1，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，－2）B．z1＝2＋2iC．|z2－z1|的最大值為＋1D．|z2－z1|的最小值為2【答案】ABC【解析】解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z1＝2－2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P1，所以點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，－2），故A正確；因?yàn)閦1＝2－2i，所以z1＝2＋2i，故B正確；設(shè)z2＝x＋yi（x，y∈R），在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P（x，y），設(shè)A（0，1），因?yàn)閨z2－i|＝1，所以點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A的距離為1，因此點(diǎn)P（x，y）的軌跡是以A（0，1）為圓心，1為半徑的圓，|z2－z1|表示圓A上的點(diǎn)到點(diǎn)P1的距離，因此|z2－z1|max＝AP1＋1＝＋1＝＋1，|z2－z1|min＝AP1－1＝－1＝－1，故C正確，D不正確．故選ABC.【考查意圖】復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，只需確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部即可．28．（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）已知復(fù)數(shù)滿足：(其中為虛數(shù)單位)，則下列說法正確的有(

)A． B．C．的最小值為 D．的最大值為【答案】BC【解析】設(shè)，則，即，它表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓；設(shè)，則由，得，即，它表示一條直線；對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C和D：表示圓上點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線段的長(zhǎng)度，該距離最小為圓心到直線距離減去圓的半徑，即為；該距離無最大值（直線上的點(diǎn)可離圓上的點(diǎn)無窮遠(yuǎn)）；故選：BC．29．（2024·貴州畢節(jié)·二模）若復(fù)數(shù)滿足，，則（

）A．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的向量與對(duì)應(yīng)的向量所成角的正切值為2B．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C．的虛部為2D．的實(shí)部為【答案】CD【解析】設(shè)，、，由，即有，即，由，即有，即，即，對(duì)A：設(shè)對(duì)應(yīng)的向量與對(duì)應(yīng)的向量所成角為，則，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限，故B錯(cuò)誤；對(duì)C、D：的虛部為2，實(shí)部為，故C、D正確.故選：CD.30．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）若、為復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，取，，則，，所以，，，所以，，所以，，，故，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，，則，，，，則，所以，