福建省南平市小松中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

福建省南平市小松中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)若方程f(x)－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(1,3)B．(0,3)

C．(0,2)

D．(0,1)參考答案：【知識點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法B1【答案解析】D解析：解：畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，觀察圖象可知，若方程f(x)－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a有3個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)需滿足0＜a＜1，故選D.

【思路點(diǎn)撥】結(jié)合方程f（x）=a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷問題，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象即可獲得解答．2.已知函數(shù)，則（

）A．

0

B．1

C．

D．2參考答案：B3.設(shè)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則的最小值是（

）A.

B.

C.

D.3參考答案：C4.指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2，－1)，則此指數(shù)函數(shù)為A． B． C． D．參考答案：A略5.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（）A． B． C． D．參考答案：B略6.函數(shù)在處有極值10，則的值為

（

▲

）A

.

B.

C.

D.以上都不正確參考答案：D略7.已知命題；命題，則下列命題中為真命題的是A.

B.

C.

D.參考答案：C8.已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)M，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)N，且點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】原題等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即方程有解，即有解，令，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的值域，即可求得答案【詳解】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則原題等價(jià)于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即方程有解，即有解，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故，由，，故當(dāng)時(shí)，故的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圖象的對稱性，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值的求解，在利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間的過程中，要注意定義域的范圍．9.已知函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.已知等差數(shù)列、的公差分別為2、3，且，則數(shù)列是（A）等差數(shù)列且公差為6

（B）等差數(shù)列且公差為5（C）等比數(shù)列且公比為8

（D）等比數(shù)列且公比為9參考答案：答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)a＞0，若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為80，則a=．參考答案：2【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】求出展開式的通項(xiàng)公式，利用常數(shù)項(xiàng)為80，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：二項(xiàng)式的展開式中的通項(xiàng)公式為Tk+1=C5k?ak?x10﹣2.5k，∵二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為80，∴當(dāng)10﹣2.5k=0時(shí)，得k=4，此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為C54?a4=80，即5a4=80，解得a=2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，根據(jù)二項(xiàng)展開式的定理，求出展開式的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．12.設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（f（））=

，方程f（f（x））=1的解集

．參考答案：,{1，ee}【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】直接利用分段函數(shù)化簡求解第一問；利用分段函數(shù)判斷函數(shù)的值域范圍列出方程求解即可．【解答】解：∵f（）=ln＜0，∴f（f（））=f（ln）==．x＜0時(shí)，0＜ex＜1，x=0時(shí)，ex=1，方程f（f（x））=1，可得f（x）=0，lnx=0，解得x=1．f（x）＞0時(shí)，方程f（f（x））=1，可得ln[f（x）]=1，f（x）=e，即：lnx=e，解得x=ee．故答案為：第一問：；第二問：{1，ee}．13.若橢圓的方程為+=1，且此橢圓的焦距為4，則實(shí)數(shù)a=

．參考答案：4或8【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】首先分兩種情況：①焦點(diǎn)在x軸上．②焦點(diǎn)在y軸上，分別求出a的值即可．解：①焦點(diǎn)在x軸上時(shí)：10﹣a﹣（a﹣2）=4解得：a=4．②焦點(diǎn)在y軸上時(shí)a﹣2﹣（10﹣a）=4解得：a=8故答案為：4或8．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：橢圓方程的兩種情況：焦點(diǎn)在x軸或y軸上，考察a、b、c的關(guān)系式，及相關(guān)的運(yùn)算問題．14.雙曲線C：x2–y2=a2的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A、B兩點(diǎn)，，則雙曲線C的方程為__________．參考答案：拋物線的準(zhǔn)線方程為，當(dāng)時(shí)，。由得，,所以，解得，所以雙曲線C的方程為。15.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“勾股圈方圖”巧妙的證明了勾股定理，成就了我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，后人稱之為“趙爽弦圖”．他是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形中較小的銳角記為θ，大正方形的面積為25，小正方形的面積為1，則=．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【分析】根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形θ對應(yīng)的邊為x，另一邊為y．可得2xy+1=25，x2+y2=25，從而解得x，y的值，sinθ=【解答】解：由題意，設(shè)直角三角形θ對應(yīng)的邊為x，另一邊為y．可得2xy+1=25，x2+y2=25，解得x=3，y=4，則sinθ==，∵銳角記為θ，那么：令=M＞0．則1+sinθ=M2，∴M2=，∴M=，即=故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查三角恒等變換及化簡求值，半角公式的靈活運(yùn)用，是中檔題．16.已知，則=

參考答案：17.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上，若，則橢圓的離心率為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知三點(diǎn)，，，則________.參考答案：5【分析】由向量運(yùn)算可知，根據(jù)模長的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：本題正確結(jié)果：5【點(diǎn)睛】本題考查向量模長的運(yùn)算，涉及到向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題.19.某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區(qū)間如下：組號第一組第二組第三組第四組第五組分組（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分；（3）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生，將該樣本看成一個(gè)總體，從中隨機(jī)抽取2名，求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率？參考答案：（1）（2）（3）試題解析：（1）由題意得：，即．．．．．．．．．．．4分（2）數(shù)學(xué)成績的平均分為：．．．．．．．．．．．8分（3）第3、4、5組中共有學(xué)生人數(shù)分別為30、20、10人，用分層抽樣法抽6人，即在第3、4、5組中各抽取3、2、1人，設(shè)6名學(xué)生為．隨機(jī)抽2人，共有共15個(gè)基本事件，其中恰有1人分?jǐn)?shù)不低于90分的基本事件有5個(gè)，記其中恰有1人分?jǐn)?shù)不低于90分為事件，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考點(diǎn)：頻率分布直方圖，古典概型概率【方法點(diǎn)睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.20.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知BC＝1，∠BCC1＝，AB＝CC1＝2．

（1）求證：C1B⊥平面ABC；（2）設(shè)E是CC1的中點(diǎn)，求AE和平面ABC1所成角正弦值的大小．參考答案：略21.設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）在x=e處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，2﹣e）．（1）求a的值；（2）函數(shù)f（x）能否在x=1處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請說明理由．（3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，試比較與大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算化簡即可得到a=2；（2）函數(shù)f（x）不能在x=1處取得極值．求出導(dǎo)數(shù)，討論x＞1，0＜x＜1函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論；（3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，＞﹣．運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a，依題設(shè)得=f′（e），即e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e，解得a=2；（2）函數(shù)f（x）不能在x=1處取得極值．因?yàn)閒′（x）=lnx+﹣1，記g（x）=lnx+﹣1，則g′（x）=．①當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是減函數(shù)，所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0．由①②得f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以x=1不是函數(shù)f（x）極值點(diǎn)．（3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，＞﹣．證明如下：由（2）得f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，所以當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0．即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以＜．①因?yàn)?＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1，＞1，所以＜=，即﹣＜．②①+②得﹣＜+=．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和極值，同時(shí)考查不等式的大小比較，注意運(yùn)用單調(diào)性和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.已知點(diǎn)是長軸長為的橢圓：上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且直線與的斜率之積恒為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是，