IIRDF的設(shè)計方法課件

IIRDF的設(shè)計方法第一節(jié)

引言一、濾波器的設(shè)計方法因為，DF是一種具有頻率選擇性的離散線性系統(tǒng)。它是在確定信號與隨機(jī)信號的數(shù)字處理中有著廣泛的應(yīng)用。所以，數(shù)字濾波器的設(shè)計是確定其系統(tǒng)函數(shù)並實現(xiàn)的過程。二、濾波器設(shè)計的步驟1.根據(jù)任務(wù)，確定性能指標(biāo)。2.用因果系統(tǒng)的線性時不變系統(tǒng)函數(shù)去逼近。3.用有限精度演算法實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。（包括選擇運算結(jié)構(gòu)、選擇合適的字長、有效數(shù)字處理方法。）4.用適當(dāng)?shù)能?、硬體技術(shù)實現(xiàn)包括採用：通用電腦軟體、數(shù)字濾波器硬體、或者二者結(jié)合。三、性能指標(biāo)我們在進(jìn)行濾波器設(shè)計時，需要確定其性能指標(biāo)。因為理想濾波器物理不可實現(xiàn)的。（由於從一個頻帶到另一個頻帶之間的突變）要物理可實現(xiàn)：應(yīng)從一個帶到另一個帶之間設(shè)置一個過渡帶且在通帶和止帶內(nèi)也不應(yīng)該嚴(yán)格為1或零。應(yīng)給以較小容限。1、低通濾波器的性能指標(biāo)fswsfpwpδ21-δ11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)δ1:通帶的容限δ2：阻帶容限通帶截止頻率：fp(wp)又稱為通帶上限頻率。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：fp(ws)又稱阻帶下限截止頻率。阻帶衰減：As2、高通濾波器的性能指標(biāo)fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：fp(wp)又稱為通帶下限頻率。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：fp(ws)又稱阻帶上限截止頻率。阻帶衰減：As3、帶通濾波器的性能指標(biāo)fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws24、帶阻濾波器的性能指標(biāo)fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws25、通常具體技術(shù)指標(biāo)四、H(z)如何推導(dǎo)出（1）根據(jù)提出對濾波器的性能要求、頻率特性（低、高、帶通、帶阻）來設(shè)計系統(tǒng)H(z).(2)根據(jù)時域波形提出要求來設(shè)計-->單位沖激回應(yīng)h(n)或g(n)的形狀。（3）有時也直接給出H(z).(但要求因果穩(wěn)定).五、確定DF的採用的結(jié)構(gòu)及運算結(jié)構(gòu)的好壞確定DF的採用的結(jié)構(gòu)將會影響DF的精度、穩(wěn)定性、經(jīng)濟(jì)性及運算速度等很多重要性質(zhì)。1.計算複雜性一個運算結(jié)構(gòu)應(yīng)含有最少的乘法器和最少的延時器。乘法器最費時間，乘法器少，運算速度快，延時器最費存儲單元，延時器少，記憶體用的少，計算少。2.有限記憶體的長度的影響與運算結(jié)構(gòu)有關(guān)。即有時會希望使用一種運算結(jié)構(gòu)，雖然它的乘法器和延時器並不是最少的，但它對記憶體的有限字長效應(yīng)是最不敏感的。六、本章主要內(nèi)容1.設(shè)計IIRDF兩種變換法（模擬頻率變換法，數(shù)字頻率變換法）。2.利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器的兩種方法（沖激不變法、雙線性變換法）。3.（電腦輔助設(shè)計）最優(yōu)化技術(shù)設(shè)計（最小均方誤差法、最小誤差設(shè)計法）第二節(jié)

IIRDF設(shè)計方法一、IIRDF系統(tǒng)函數(shù)IIRDF是一個遞歸型系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)：二、IIRDF頻率特性它是由三個參量來表徵：1.幅度平方回應(yīng)2.相位回應(yīng)3.群延時1.幅度平方回應(yīng)2.相位回應(yīng)3.群延時它是濾波器平均延遲的一個度量，定義為相頻特性對角頻率w的一階導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。即：三、IIRDF的設(shè)計方法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)有兩種方法：1、簡單濾波器的零、極點累試法2、間接方法3、直接方法1、簡單濾波器的零、極點累試法在z平面上直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器，即以所希望的濾波器回應(yīng)作為依據(jù)，直接在z平面上，通過多次選定極點和零點位置以逼近該回應(yīng)。即在單位園內(nèi)，在處設(shè)置一對共軛極點的話，那麼，頻響在w0處就有一峰值。當(dāng)r越近於1，即極點位置越接近單位園，則峰值就越尖銳。同理，若在單位園上，設(shè)置一對零點，則頻響就會在w1處出現(xiàn)各值，即可實現(xiàn)陷波。這樣如果，特性尚達(dá)不到要求，可再移動零、極點，這樣作二、三次調(diào)整後，就可以獲得一些簡單的要求DF.這種方法，可以設(shè)計一些簡單階數(shù)很低（1~2階)的DF。****Re[z]Im[z]2、間接方法由於模擬濾波器設(shè)計技術(shù)是非常成熟的，歸一化各種模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)已有表可查，利用成熟的設(shè)計技術(shù)，可得到一個間接設(shè)計IIRDF的方法，即間接設(shè)計方法。這種方法通常要先設(shè)計一中間濾波器，然後通過映射或頻率變換完成最終IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計。這種間接設(shè)計方法包括：(1)由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器(2)頻率變換法（分為模擬頻率變換法和數(shù)字頻率變換法）來設(shè)計數(shù)字濾波器3、直接方法直接方法(計算機(jī)輔助設(shè)計法)（1）在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器。（2）在時域直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器此法根據(jù)性能指標(biāo)和一定的逼近準(zhǔn)則，直接利用計算機(jī)完成設(shè)計。第三節(jié)

由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器的方法

一、由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器步驟用間接方法之一即由模擬濾波器設(shè)計IIRDF的系統(tǒng)函數(shù).這種方法設(shè)計，要經(jīng)過以下三步：1、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標(biāo)2、模擬濾波器設(shè)計3、映射實現(xiàn)：從模擬濾波器再轉(zhuǎn)換在數(shù)字濾波器1、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標(biāo)根據(jù)給定設(shè)計要求，把數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)變成模擬濾波器的性能指標(biāo)。2、模擬濾波器設(shè)計設(shè)計出符合要求的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)?？梢赃x擇多種類型的濾波器。如Butterworth,Chebyshev,Elliptic,Bessel等。

3、映射實現(xiàn)利用一定的映射方法，把模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字化，完成IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計。二、由模擬濾波器設(shè)計

數(shù)字濾波器條件完成由模擬變換到數(shù)字的映射必須滿足兩條基本要求：條件①為保持模擬濾波器的頻率軸的映射關(guān)系，S平面的虛軸jΩ必須映射到Z平面的單位圓上，即[S=jΩ,∞＜Ω＜∞]→[Z=,－π＜ω＜π]條件②為保持濾波器穩(wěn)定性，S平面的左半平面必須映射到Z平面的單位圓內(nèi)，即Re[s]<0→|z|<10ΩSωz-ππ0ΩSωz-ππ三、由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器這種方法的局限性用這方法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器存在一定的局限性：(1)這種方法只適於設(shè)計振幅響應(yīng)分段恒定的濾波器，不能解決多帶或任意幅度的濾波器的設(shè)計問題。(2)它只是一種可行的方法，而不是最優(yōu)的方法。四、映射實現(xiàn)的方法由模擬濾波器映射成數(shù)字濾波器的方法，也即，數(shù)字濾波器能模仿濾波器的特性。主要有以下幾種映射方法：沖激響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法（不講，同學(xué)們自已看）雙線性變換法第四節(jié)

常用模擬低通濾波器的設(shè)計一、為何要設(shè)計模擬低通濾波器由於模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器：必須先將數(shù)字濾波器的設(shè)計技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)，設(shè)計出模擬低通濾波器的原型，然後進(jìn)行映射。再此節(jié)我們先復(fù)習(xí)如何設(shè)計模擬低通濾波器。首先將要設(shè)計的數(shù)字濾波器的指標(biāo)，轉(zhuǎn)變成模擬低通原型濾波器的指標(biāo)(此節(jié)不講)後，我們就只設(shè)計“模擬低通原型”濾波器。模擬濾波器的設(shè)計(逼近)不屬於本課程的範(fàn)圍，但由於沒學(xué)過,在此介紹常用的二種模擬低通濾波器的設(shè)計。1、Butterworth巴特渥斯濾波器(最平幅度)2、Chebyshev切比雪夫濾波器(通帶或阻帶等波紋）二、模擬濾波器設(shè)計思想將一組規(guī)定的設(shè)計要求，轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)使其逼近某個理想濾波器的特性。(濾波器的特性包括有：幅度特性、相位特性/群時延特性)，模擬濾波器經(jīng)常借助其幅度平方函數(shù)特性來設(shè)計。三、根據(jù)幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)

1、求濾波器的幅度平方函數(shù)設(shè)計模擬濾波器經(jīng)常要借助其幅度平方函數(shù)其中:Ha(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。假設(shè)p1,z1為Ha(s)的一個零點和一個極點，則-p1,-z1必為Ha(-s)的一個零點和極點，Ha(s)、Ha(-s)的零極點成象限對稱分佈。所以必然有如下形式：＊＊-z1-p1z1p1＊＊2、根據(jù)幅度平方函數(shù)設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的步驟我們知道，實際濾波器都是穩(wěn)定的，因此其極點一定位於S平面左半平面，這樣可根據(jù)幅度平方函數(shù)通過如下步驟分配零、極點來設(shè)計出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。(1)由來確定象限對稱的S平面函數(shù)。(2)將因式分解，得到各零點和極點。(3)按照與Ha(s)的低頻特性或高頻特性的對比就可確定出增益常數(shù)。

(1)由來確定象限對稱的S平面函數(shù)。

將代入中即得到s平面函數(shù)。(2)將因式分解，得到各零點和極點。將左半平面的極點歸於Ha(s)。如無特殊要求，可取的對稱零點的任一半作為Ha(s)的零點。如要求是最小相位延時濾波器，則應(yīng)取左半平面零點作為Ha(s)的零點。且軸上的零點或極點都是偶次的，其中一半屬於Ha(s)

。

(3)按照與Ha(s)的低頻特性或高頻特性,確定出增益常數(shù)。由的條件，代入可求得增益常數(shù)。例子根據(jù)以下幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s).四、Butterworth巴特渥斯低通濾波器

1、幅度平方函數(shù)Butterworth低通濾波器具有通帶最大平坦的幅度特性，是一全極點型濾波器，且極點均勻分佈上Ωc的園上，並且與虛軸對稱。其特點：在通帶內(nèi)，幅頻特平坦，隨著頻率的升高而單調(diào)下降。其幅度平方函數(shù)為其中N為整數(shù)，表示濾波器的階次，Ωc定義為截止頻率，為振幅響應(yīng)衰減到-3dB處的頻率。2、Butterworth濾波器的極點分佈

由可知Butterworth的零點全部在S=∞處，它是全極點型濾波器，且分佈在半徑為Ωc的圓上,呈象限對稱分佈。為了得到穩(wěn)定的濾波器，s左半平面的極點必須分配給Ha(s)，s右半平面的極點分配給Ha(-s)。取其分佈在左平面的極點,設(shè)計出巴特沃斯低通濾波器.3、Butterworth的幅度回應(yīng)

及極點分佈其中左半平面構(gòu)成Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)極點不會落在S平面上的虛軸上4、Butterworth濾波器階數(shù)N與幅度回應(yīng)的關(guān)係當(dāng)N增大時，濾波器的特性曲線變得陡峭，則更接近理想矩形幅度特性。5、3dB帶寬6、Butterworth濾波器的特點(1)N階濾波器在Ω=0處幅度平方函數(shù)的前(N-1)階導(dǎo)數(shù)等於零。即在Ω=0處，最平坦，且隨著Ω的增加單調(diào)下降。(2)在止帶內(nèi)的逼近是單調(diào)變化的，不管N為多少，所有都經(jīng)過點（-3dB)處。(3)濾波器的特性完全由其階數(shù)N決定。N越大，則通帶內(nèi)在更大範(fàn)圍內(nèi)更接近於1，在止帶內(nèi)迅速地接近於零，因而振幅特性更接近於理想的矩形頻率特性。7、歸一化的Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)在一般設(shè)計中，都先把Ωc設(shè)為1rad/s，這樣使頻率得到歸一化。歸一化的Butterworth濾波器的極點分佈以及相應(yīng)係數(shù)都有現(xiàn)成表可查（P148）。即若令8、Butterworth濾波器設(shè)計步驟

(1)根據(jù)設(shè)計規(guī)定，確定Ωc和N。(2)由確定Ha(s)Ha(-s)的極點。(3)Sk

的前N個值(k=1,2,...,N)，即Re(Sk)<0部分的極點，構(gòu)成Ha(s).(4)常數(shù)K0

可由A(Ω)和Ha(s)的低頻或高頻特性對比確定。

9、例子導(dǎo)出Butterworth低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)Ωc=1rad/s，N=3。解：方法一：根據(jù)幅度平方函數(shù)：方法二方法二：由於Ωc=1rad/s,查表得10、Butterworth濾波器的階數(shù)N設(shè)計公式(1)已知Ωc、Ωs和As求ButterworthDF階數(shù)N（2）已知Ωc、Ωs和Ω=Ωp的衰減Ap求ButterworthDF階數(shù)N（3）已知Ωp、Ωs和Ω=Ωp的衰減Ap和As求ButterworthDF階數(shù)N例子試設(shè)計一個模擬低通Butterworth濾波器作業(yè)1.試設(shè)計一個模擬低通Butterworth（BW）型濾波器，要求截止頻率fp=5000Hz,通帶最大衰減Ap=3dB,阻帶超始頻率fs=10000Hz,阻帶衰減As=30dB五、切貝雪夫低通濾波器Chebyshev

1、引入原因Butterworth濾波器頻率特性，無論在通帶與阻帶都隨頻率而單調(diào)變化，因此如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定會有富裕量，也就是會超過指標(biāo)的要求，因而並不經(jīng)濟(jì)，所以更有效的方法是將指標(biāo)的精度要求均勻地分佈在通帶內(nèi)，或均勻分佈在阻帶內(nèi)，或同時均勻在通帶與阻帶內(nèi)，這時就可設(shè)計出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分佈的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來完成。2、Chebyshev濾波器的種類

在一個頻帶中，通帶或阻帶具有這種等紋特性可分為：（1）ChebyshevI型：在通帶中是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的；（2）ChebyshevII型：在通帶中是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的；由應(yīng)用的要求，決定採用哪種型式的Chebyshev濾波器（1）ChebyshevI型幅頻特性和零極點圖（N=3）N=3ChebyshevI型，下麵我們僅講此類型（2）ChebyshevII型幅頻特性和零極點圖（N=3）N=3ChebyshevII型，其設(shè)計思想同ChebyshevI型，在此課程中我們就不作介紹。3、ChebyshevI型幅度平方函數(shù)ChebyshevI型模擬濾波器的振幅平方函數(shù)為：4、CN(x):N階Chebyshev多項式

(1)函數(shù)Chebyshev多項式：（2）Chebyshev多項式圖形01-11-1xC4(x)C5(x)CN(x)5、通帶等波紋振盪6、確定通帶內(nèi)波紋值ε7、確定階數(shù)N

（1）N階特性階數(shù)N等於通帶內(nèi)最大和最小值個數(shù)的總和?？捎煞l特性中看出N階數(shù)。且當(dāng)：N=奇數(shù)，則Ω=0處有一最大值，N=偶數(shù)，則Ω=0處有一最小值。N=3和N=5N=4和N=6（2）N階公式8、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

(1)求極點--18、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

(1)求極點--28、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

(1)求極點--39、ChebyshevI型濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)10、ChebyshevDF設(shè)計步驟①首先要先確定ε，N和Ωc。②計算a，b。③確定Ha(s)Ha(-s)的極點。④取Re(Si)<0的極點，得到Ha(s)。

K可由A(Ω)和Ha(s)低頻或高頻特性對比確定。例1--1設(shè)N=4，確定ChebyshevI型，極點位置。解：N=4，則有8個極點，我們要求在S左半平面上為穩(wěn)定系統(tǒng)的四個極點。σjΩ例1--2看出：對於N=4，只須求出一點，即可求出其他共軛。畫極點：過小園交點畫垂直線；過大園交點畫水平線。例1--3由上圖可知，確定ChebyshevI型濾波器極點在橢園上的位置辦法：(1)先求出大園（半徑為bΩc)和小園半徑aΩc。(2)等間隔角均分，各點是虛軸對稱的，且一定不落在虛軸上，N為奇數(shù)時，有落在實軸上的點；N為偶數(shù)時，實軸上也沒有。(3)幅度平方函數(shù)的極點(在橢園上)的位置確定：其垂直座標(biāo)由落在大園上的各等間隔點規(guī)定；其水準(zhǔn)座標(biāo)由落在小園上的各等間隔點規(guī)定例2--1試導(dǎo)出2階ChebyshevI型DF系統(tǒng)函數(shù)(已知通帶波紋為,歸一化頻率為Ωc=1rad/s。例2--2例3--1設(shè)Chebyshev模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)例3--2例3--3例3--4作業(yè)設(shè)計一個Chebyshev(CB)型低通濾波器其指標(biāo)為：六、橢圓(Elliptic)

低通濾波器橢圓低通濾波器是一種零、極點型濾波器，它在有限頻率範(fàn)圍內(nèi)存在傳輸零點和極點。橢圓低通濾波器的通帶和阻帶都具有等波紋特性，因此通帶，阻帶逼近特性良好。對於同樣的性能要求，它比前兩種濾波器所需用的階數(shù)都低，而且它的過渡帶比較窄。1、幅度平方函數(shù)

其中

是雅可比(Jacobi)橢圓函數(shù)，ε為與通帶衰減有關(guān)的參數(shù)。2、幅度特性3、特點從上看出：橢圓濾波器即有極點也有零點，由於誤差均勻分佈在通帶和阻帶內(nèi)。與Butterworth和Chebyshev兩種濾波器相比，在同樣誤差指標(biāo)下，階數(shù)最小。即同樣階數(shù)N下，通帶到阻帶變化最陡峭，看出它是最優(yōu)秀濾波器。在給出同樣通點平滑度，瞬變帶寬和阻帶衰減指標(biāo)下，三種濾波器所需的階數(shù):Butterworth6階，Chebyshev4階橢園3階七、其他濾波器Butterworth和Chebyshev及橢園Elliptic都是從幅度回應(yīng)去逼近，並未考慮相位回應(yīng)(由於對信號實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏數(shù)闹匾獥l件：系統(tǒng)函數(shù)具有線性相位特性），為此往往在相位失真比較嚴(yán)重情況下，常常採取在原濾波器後面組聯(lián)上一個相移網(wǎng)路，即全通濾波器(幅頻等於常數(shù)，相頻是頻率的函數(shù)），在相位上給以均衡補(bǔ)償，使之接近無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件?？紤]最平時延(MFTD)逼近也即相位回應(yīng)，其主要特點：直流附近使群時延最平這類(最平時延)濾波器是以人名命名的有：貝塞爾(Bessel)濾波器(用到貝塞爾多項式).高斯（Gauss)濾波器(用到高斯特性）托馬森（Thomson)濾波器斯托奇（Storch)濾波器（由他提出方法而得名）第五節(jié)

模擬低通濾波器至其他類型(高通、帶通、帶阻）類型的變換一、各種模擬濾波器的理想幅頻特性w2Ω|H(ejΩ)|H(ejΩ)|H(ejΩ)|H(ejΩ)wcwcw1w2ΩΩΩw1（低通）（高通）（帶通）（帶阻）二、低通AF-->高通AF的變換--1即如何從歸一化模擬低通-->歸一化模擬高通。|Hal(p)||Hah(s)|二、低通AF-->高通AF的變換--2即用低通變成高通看出：高通系統(tǒng)函數(shù)的階次與低通系統(tǒng)函數(shù)階次相同。例子--1設(shè)計模擬高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。滿足如下條件：(a)3個極點(b)Butterworth回應(yīng)(c)3dB截止頻率=100Hz.例子--2三、低通-->帶通的變換--1即如何從歸一化模擬低通變換到歸一化模擬帶通。設(shè)p為低通L變換，s為帶通L變換。三、低通-->帶通的變換--2平移中心頻率至座標(biāo)原點0000|Hap(p)|平移至高端平移壓縮變成低通濾波器三、低通-->帶通的變換--3三、低通-->帶通的變換--4三、低通-->帶通的變換--5三、低通-->帶通的變換--6例子--1設(shè)計一模擬帶通濾波器具有如下特性：(a)4個極點(b)Butterworth回應(yīng)(c)3dB截止頻率=200Hz(d)幾何中心頻率=1kHz.例子--2四、低通-->帶阻變換--1即如何從歸一化模擬低通變換到歸一化模擬帶阻。設(shè)p為低通L變換，s為帶阻L變換。四、低通-->帶阻變換--200|Has(s)|平移壓縮平移壓縮|HaL(p)|四、低通-->帶阻變換--3例子--1設(shè)計一模擬帶阻濾波器具有如下特性：(a)4個極點(b)Butterworth回應(yīng)(c)3dB截止頻率=200Hz(d)幾何中心頻率=1kHz.例子--2第六節(jié)

沖激不變法

（脈沖響應(yīng)不變法）由雷道（Rader),戈爾德（Gold)提出一、沖激響應(yīng)不變法引入上節(jié)我們講到模擬濾波器設(shè)計方法，現(xiàn)在我們要講如何將設(shè)計好的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成我們所需的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。在此我們介紹兩種方法（沖激不變法，雙線性變換法）之一的沖激不變法。沖激響應(yīng)不變法由雷道（Rader),戈爾德（Gold)提出.一、變換原理

1、什麼是沖激不變法沖激響應(yīng)不變法是從時域出發(fā)，要求數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)對應(yīng)於模擬濾波器ha(t)的等間隔抽樣。h(n)=ha(nT)，其中T是抽樣周期。因此時域逼近良好。2、數(shù)字濾波器與模擬濾波器的頻率的回應(yīng)映射關(guān)係由於在時域抽樣，導(dǎo)致在頻域內(nèi)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejw)為模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓.存在多對一的映射關(guān)系。3、沖激回應(yīng)不變法的映射規(guī)則

沖激回應(yīng)不變法的映射規(guī)則為:z=esT(T為抽樣周期).這種映射並不是簡單的代數(shù)映射，故不能將其直接代入Ha(s)來得到H(z).4、映射規(guī)則的要點S平面上每一條寬為的橫帶部分，將重疊映射到z平面的整個平面上。每一橫條的左半邊映射到z平面單位園內(nèi)，每一橫條的右半邊映射到z平面單位園外。S平面的虛軸（j)軸映射到z平面單位園上，虛軸上每一段長為的線段都映射到z平面單位園上一周。數(shù)字濾波器的頻響並不是簡單地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的週期延拓。二、性能分析數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)為對應(yīng)模擬濾波器沖激響應(yīng)的抽樣，由抽樣定理可知其頻譜為模擬濾波器頻譜的周期延拓。只有模擬濾波器的頻譜限帶於折疊頻率內(nèi)時，即要滿足才能避免混疊失真。而實際的濾波器並非嚴(yán)格限帶，所以用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器不可避免地會產(chǎn)生混疊失真。所以此法只適於設(shè)計帶限濾波器。三、設(shè)計流程的公式推導(dǎo)

1、設(shè)計步驟沖激回應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器的思路為:(1)先根據(jù)要求，設(shè)計出中間模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù),(2)然後經(jīng)下列變換設(shè)計出H(z)：Ha(s)→ha(t)→h(n)→H(z)即：Ha(s)求ha(t)=L-1[Ha(s)]ha(t)抽樣，h(n)=ha(t)|t=nT=Ha(nT)(會導(dǎo)致頻譜中幅度變?。㏕h(n)=Tha(t)|t=nT（把幅度加大，讓它頻譜幅度一樣）H(z)=Z[Th(n)]可見整個過程很複雜。2、設(shè)計流程中注意點沖激響應(yīng)不變法是Ha(s)-->H(z).即:將S平面極點sk

映射-->到Z平面極點z=eskT因而只有極點有這種簡單映射關(guān)係，而零點不滿足這種簡單的對應(yīng)關(guān)係。將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)展開為並聯(lián)形式（即部分分式展開），且要求其分母的階次大於分子的階次。（因為只有這樣才是一個穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)）下麵通過推導(dǎo)變換關(guān)系完成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計。3、設(shè)計公式推導(dǎo)四、模擬濾波器與數(shù)字濾波器的變換關(guān)係五、數(shù)字濾波器的頻率回應(yīng)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：與抽樣周期T成反比，當(dāng)抽樣頻率很高時，將產(chǎn)生很高的增益，為穩(wěn)定增益，令h(n)=Tha(nT)

則六、用沖激不變法設(shè)計IIRDF的一般流程（總結(jié)）用沖激回應(yīng)不變法設(shè)計IIR濾波器的一般流程：1、根據(jù)設(shè)計要求，設(shè)定指標(biāo)。2、將數(shù)字濾波器性能指標(biāo)變換為中間模擬濾波器的性能指標(biāo)。3、設(shè)計出符合要求的中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。4、將Ha(s)展成部分分式的並聯(lián)形式，利用

式設(shè)計出H(z)。5、將H(z)乘以抽樣周期T，完成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的設(shè)計。七、沖激不變法設(shè)計IIRDF的優(yōu)缺點（1）沖激不變法使得數(shù)字濾波器的沖激回應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激回應(yīng)，也就是時域逼近良好。（2）模擬頻率Ω和數(shù)字頻率w之間呈線性關(guān)係：w=ΩT如：一個線性相位的模擬濾波器（例貝塞爾濾波器）可以映射成一個線性相位的數(shù)字濾波器。（3）缺點：由於有頻率混疊效應(yīng)，所以沖激回應(yīng)不變法只適用於限帶的模擬濾波器。八、沖激不變法應(yīng)用的局限性由於具有頻率的混疊效應(yīng)，所以高通和帶阻濾波器不宜採用沖激不變法。因為它們高頻部分不衰減，將完全混淆在低頻中，從而使整個頻響面目全非。若要對高通和帶阻實行沖激不變法，則必須先對高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高於折疊頻率以上的頻帶。它會增加設(shè)計的複雜性和濾波器的階數(shù)，因而只有在一定要追求頻率線性關(guān)係或保持網(wǎng)路瞬態(tài)回應(yīng)不變時才使用。對於帶通和低通濾波器，需充分限帶，若阻帶衰減越大，則混疊效應(yīng)越小。例子1|Ha(jΩ)|Ωw|H(ejw)|由於模擬濾波器不是充分限帶，所以數(shù)字濾波器產(chǎn)生很大的頻譜混疊失真。例子2--1設(shè)低通DF的3dB帶寬頻率wc=0.2π,止帶頻率ws=0.4π,在w=ws處的止帶衰減20lg|H(ejws)|=-15dB,試用脈衝回應(yīng)不變法（沖激不變法）設(shè)計一個Butterworth低通DF。解：設(shè)計分為4步。（1）將數(shù)字濾波器的設(shè)計指標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)槟M濾波器的設(shè)計指標(biāo)。採樣頻率由採樣定理決定，設(shè)為fs=20kHz,則採樣間隔為T=1/fs=1/20kHz例子2--2對於沖激不變法，頻率變換是線性的。例子2--3(2)設(shè)計Ha(s)將上述設(shè)計指標(biāo)代入求出N階數(shù)例子2--4例子2--5例子2--6例子2--7x(n)0.534-0.5331.2411.599y(n)0.5341.241-0.5331.0010.306y(n)x(n)並聯(lián)型級聯(lián)型例3--1設(shè)通帶範(fàn)圍為0≤w≤0.2π,在通帶邊緣wc=0.2π處幅頻特性的衰減大於-1dB，即通帶波紋在1dB內(nèi)；止帶範(fàn)圍為0.3π≤w≤π，在止帶起始頻率ws=0.3π處的幅頻特性衰減小於-15dB,設(shè)採樣週期T=1/（20＊103)s,試用脈衝回應(yīng)不變法（沖激不變法）設(shè)計一個Chebyshev低通DF。解：設(shè)計分為4步。（1）將數(shù)字濾波器的設(shè)計指標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)槟M濾波器的設(shè)計指標(biāo).例3--2例子3--3(2)設(shè)計Ha(s)將上述設(shè)計指標(biāo)代入求出N階數(shù).例子3--4例子3--5例子3--6-0.7133090.71321.37680.08290.0663y(n)x(n)級聯(lián)型第七節(jié)雙線性變換法沖激不變法（和階躍回應(yīng)）：是使數(shù)字濾波器在時域上模仿模擬濾波器，但它的缺點：產(chǎn)生頻率回應(yīng)的混疊失真。這是由於從S平面->Z平面是多值的映射關(guān)係所造成的。為了克服這一缺點，我們採用雙線性變換法一、變換原理

1、定義雙線性變換法：是從頻域出發(fā)，使DF的頻率回應(yīng)與AF的頻率回應(yīng)相似的一種變換法。2、雙線性變換法的映射關(guān)係實現(xiàn)S平面與Z平面一一對應(yīng)的關(guān)係。第一次變換：頻率壓縮第二次變換：數(shù)位化S平面S1平面Z平面3、雙線性變換法的映射規(guī)則

雙線性變換法的映射規(guī)則：

（1）頻率壓縮：把整個S平面壓縮變換到某一仲介的S1平面的一條橫帶裏。（2）數(shù)位化：將S1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)係變換到z平面。（1）頻率壓縮把整個S平面壓縮變換到某一仲介的S1平面的一條橫帶裏。（2）數(shù)位化將S1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)係變換到z平面。（3）變換常數(shù)C的選擇1調(diào)節(jié)C，可使AF與DF在不同頻率點處有對應(yīng)的關(guān)係。（a）使AF與DF在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)係。看出在低頻處，AF的低頻特性近似等於DF的低頻特性。（3）變換常數(shù)C的選擇2二、性能分析11.解決了沖激不變法的混疊失真問題。2.它是一種簡單的代數(shù)關(guān)係。只須將上述關(guān)係代入AF的Ha(s)中（對直接、級聯(lián)、並聯(lián)結(jié)構(gòu)都適用）即可求出DF的H(z),設(shè)計十分方便。3.由於雙線性變換中，即模擬角頻率與數(shù)字角頻率存在非線性關(guān)係。所以雙線性變換避免了混疊失真，卻又帶來了非線性的頻率失真。二、性能分析24.雙線性變換法不適用於設(shè)計：（1）設(shè)計線性相位的DF（2）它要求AF的幅頻回應(yīng)是分段常數(shù)型.(即幅度變換是線性的）。（一般低通，高通，帶通，帶阻型濾波器的頻率回應(yīng)特性都是分段常數(shù)）二、性能分析35.同時，看出雙線性變換：（1）在零頻附近，模擬角頻率與數(shù)字角頻率變換關(guān)係接近線性關(guān)係。（2）又要求AF的幅頻回應(yīng)是分段常數(shù)型，即幅度變換是線性的所以稱之為雙線性變換。頻率升高時，非線性失真嚴(yán)重。二、性能分析46.對於分段常數(shù)型AF濾波器，經(jīng)雙線性變換後，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的DF.但在各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生畸變，這種頻率的畸變，可通過頻率預(yù)畸變加以校正。例1一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換後得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位。如一個模擬微分器將不能通過雙線性變換成為數(shù)字微分器。模擬微分器數(shù)字例2--1對於分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換後，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣臨界頻率點產(chǎn)生了畸變。這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸變加以校正，也就是臨界頻率事先加以畸變，然後經(jīng)變換後正好映射到所需要的頻率。例2--2三、設(shè)計流程1.根據(jù)要求，設(shè)定指標(biāo)。2.將各分段頻率臨界點預(yù)畸變。3.將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為中間模擬濾波器的性能指標(biāo)。4.根據(jù)設(shè)計要求，選定雙線性變換常數(shù)C。5.設(shè)計中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s).6.將代入Ha(s)中，得到DF的H(z).例子1-1試用雙線性變換法設(shè)計Butterworth低通DF。已知低通DF的3dB帶寬頻率，止帶起始頻率，在處的止帶衰減解：（1）將DF的設(shè)計指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo)。對雙線性變換法根據(jù)3dB帶寬頻率求出:例子1-2例子1-3例子2試用雙線性變換法設(shè)計一個切比雪夫數(shù)字濾波器，使其逼近一個低通切比雪夫模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。第八節(jié)

數(shù)字頻帶變換法

-----將原型低通數(shù)字濾波器變換成其它數(shù)字濾波器

（z平面變換法）

一、變換函數(shù)如果已經(jīng)有一個低通數(shù)字濾波器的係數(shù)函數(shù)Hp(z),可以通過一個變換來設(shè)計其他各種不同類型的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z).這種變換是一種映射變換。1.變換關(guān)係函數(shù)表示式2.變換關(guān)係g(z-1)的形式--1要求：（1）變換以後的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)保持穩(wěn)定性不變。所以要求u的單位園內(nèi)部必須對應(yīng)z的單位園內(nèi)部。（2)兩個函數(shù)的頻響要滿足一定的變換要求。即z的單位園起碼要映射到u的單位園上。2.變換關(guān)係g(z-1)的形式--23.變換關(guān)係g(z-1)的特性--13.變換關(guān)係g(z-1)的特性--2二、低通---低通--1二、低通---低通--20原型低通另一指標(biāo)的低通二、低通---低通--3低通--低通變換特性三、低通--高通通過將單位圓旋轉(zhuǎn)180。，能使低通數(shù)字濾波器變到高通數(shù)字濾波器。例1--1試設(shè)計一個高通Chebyshev數(shù)字濾波器。其指標(biāo)是：通帶寬度為：例1--2三、低通--帶通--1三、低通--帶通--2低通濾波器帶通濾波器可以看出：根據(jù)全通函數(shù)的相位變化量為N的性質(zhì)，應(yīng)取N=2三、低通--帶通--3例1--1試由Butterworth低通濾波器，通過映射變換，設(shè)計一個帶通的數(shù)字濾波器。例1--2四、低通--帶阻--1四、低通--帶阻--2低通濾波器帶通濾波器可以看出：根據(jù)全通函數(shù)的相位變化量為N的性質(zhì)，應(yīng)取N=2四、低通--帶阻--3總結(jié)第八節(jié)

頻率變換法一、頻率變換法從上面幾節(jié)可以看出設(shè)計各類數(shù)字濾波器可以有以下兩種方法：（1）模擬頻率變換法（2）數(shù)字頻率變換法二、模擬頻率變換法

1、原理把一個歸一化原形模擬低通濾波器經(jīng)模擬頻帶變換成所需要類型（截止頻率為另一低通、或高通、帶通、帶阻）的模擬濾波器。然後再通過沖激回應(yīng)不變法或雙線性變換法數(shù)位化為所需的數(shù)字濾波器。2、模擬頻率變換法的原理框圖模擬歸一化低通原型模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻頻帶變換數(shù)位化先模擬頻率變換，再數(shù)位化雙線性變換法或沖激不變法3、注意點實際上把以上合成二步來實現(xiàn)。模擬歸一化低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式+與雙線性變換得到相應(yīng)數(shù)字濾波器的公式。將以上兩公式合併，就可直接從模擬低通歸一化原型通過一定的頻率變換的關(guān)係，一步完成各類數(shù)字濾波器的設(shè)計。這裏只談雙線性變換法，因為沖激回應(yīng)不變法有頻率混疊失真效應(yīng)，只對能嚴(yán)格限帶的數(shù)字低通、帶通濾波器的設(shè)計才能應(yīng)用。對於數(shù)字高通、帶阻濾波器，不能直接應(yīng)用。4、設(shè)計方案和步驟（1）頻率變換（2）去歸一化（模擬歸一化-->模擬濾波）（3）頻率預(yù)擴(kuò)展（4）數(shù)位化5、數(shù)字低通濾波器設(shè)計公式--1要設(shè)計數(shù)字低通濾波器無須頻率變換。5、數(shù)字低通濾波器設(shè)計公式--26、數(shù)字高通濾波器設(shè)計公式--16、數(shù)字高通濾波器設(shè)計公式--27、數(shù)字帶通濾波器設(shè)計公式--17、數(shù)字高通濾波器設(shè)計公式--28、數(shù)字帶阻濾波器設(shè)計公式--18、數(shù)字帶阻濾波器設(shè)計公式--2三、數(shù)字頻率變換法

1.原