第二十四章　一元二次方程 單元測(cè)試題

第二十四章一元二次方程一、選擇題(本大題有16個(gè)小題,1~10小題,各3分,11~16小題,各2分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列方程是一元二次方程的是()A.x+2y=1 B.x+y2 C.3x+1x=4 D.x2-2.若一元二次方程x2-(b-4)x+9=0的一次項(xiàng)系數(shù)為2,則b的值為()A.2B.4C.-2D.63.用配方法解方程x2-4x-7=0,可變形為()A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=11C.(x-2)2=11 D.(x-2)2=34.一元二次方程x2+2x-3=0的根是()A.x1=1,x2=-3 B.x1=-1,x2=-3C.x1=-1,x2=3 D.x1=1,x2=35.若x=2是關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解,則2021+2a-b的值是()A.2016 B.2018 C.2019 D.20226.下列用配方法解方程12x2-x-2=0的四個(gè)步驟中,出現(xiàn)錯(cuò)誤的是(圖1A.① B.② C.③ D.④7.關(guān)于x的一元二次方程(2-a)x2+x+a2-4=0的一個(gè)根為0,則a的值為 ()A.2 B.0 C.2或-2 D.-28.生物興趣小組的學(xué)生將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送一件,全組共互贈(zèng)了182件,如果全組有x名同學(xué),則根據(jù)題意列出的方程是()A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182C.x(x+1)=182×2 D.x(x-1)=182×29.已知關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則下列說(shuō)法正確的是()A.1一定不是方程x2+bx+a=0的根B.0一定不是方程x2+bx+a=0的根C.1和-1不都是方程x2+bx+a=0的根D.1和-1都是方程x2+bx+a=0的根10.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù),則a的值為()A.2B.0C.1D.2或011.已知關(guān)于x的方程(k-3)x2-4x+2=0有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是()A.k≤5B.k<5且k≠3C.k≤5且k≠3D.k≥512.已知方程x2+3x-4=0的解是x1=1,x2=-4,則方程(2x+3)2+3(2x+3)-4=0的解是 ()A.x1=-1,x2=-3.5 B.x1=1,x2=-3.5 C.x1=1,x2=3.5 D.x1=-1,x2=3.513.已知1是關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+4=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根,并且這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的長(zhǎng),則△ABC的周長(zhǎng)是()A.6或9 B.6 C.9 D.5或914.若關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+p=0(p≠0)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別為a和b,且a2-ab+b2=18,則ab+baA.3 B.-3 C.5 D.-515.某市發(fā)出生活垃圾分類的號(hào)召后,實(shí)現(xiàn)生活垃圾分類的社區(qū)由今年第一季度的1250個(gè)迅速增加到第三季度的1800個(gè),照此速度增加,今年第四季度實(shí)現(xiàn)生活垃圾分類的社區(qū)可以達(dá)到()A.2140個(gè) B.2160個(gè) C.2180個(gè) D.2200個(gè)16.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有下列說(shuō)法:①若a+b+c=0,則b2-4ac>0;②若方程的兩根為-1和2,則2a+c=0;③若方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;④若b=2a+c,則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中正確的有()A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、填空題(本大題有3個(gè)小題,共11分.17小題3分,18~19小題各有2個(gè)空,每空2分,把答案寫在題中橫線上)17.一元二次方程2x(x+3)=x的解是.

18.若關(guān)于x的方程x2-mx+2m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則(1)m的值為;

(2)代數(shù)式2m2-16m+5的值為.

19.一款襯衫每件進(jìn)價(jià)為80元,銷售價(jià)為120元時(shí),每天可售出20件,為了擴(kuò)大銷售量,增加利潤(rùn),商店決定降價(jià)銷售,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)1元,那么平均每天可多售出2件.(1)設(shè)每件襯衫降價(jià)x元,則每天可售出件;(用含x的代數(shù)式表示)

(2)每件襯衫降價(jià)元時(shí),平均每天盈利1200元.

三、解答題(本大題有7個(gè)小題,共67分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)20.(本小題滿分8分)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1)x2-6x+2=0;(2)3x(x-1)=2-2x.21.(本小題滿分8分)已知關(guān)于x的方程x2+2(2-k)x+3-6k=0.(1)若x=1是此方程的一根,求k的值及方程的另一根;(2)試說(shuō)明無(wú)論k取何值,此方程總有實(shí)數(shù)根.22.(本小題滿分9分)已知關(guān)于x的一元二次方程(c+a)x2+2bx+(c-a)=0,其中a,b,c分別是△ABC三邊的長(zhǎng).(1)如果x=-1是此方程的根,試判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由;(2)如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,試判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由;(3)已知a∶b∶c=3∶4∶5,求該一元二次方程的根.23.(本小題滿分10分)閱讀下列內(nèi)容,并回答問(wèn)題:我們知道,計(jì)算n邊形的對(duì)角線條數(shù)公式為12n(n-3).如果一個(gè)n邊形共有20條對(duì)角線,那么可以得到方程12n(n-3)=20.整理得n2-3n-40=0,解得n=8或n=-5.∵n為大于等于3的整數(shù),∴n=-5不合題意,舍去,∴n=8,根據(jù)以上內(nèi)容,回答問(wèn)題:(1)若一個(gè)多邊形共有14條對(duì)角線,求這個(gè)多邊形的邊數(shù);(2)A同學(xué)說(shuō):“我求得一個(gè)多邊形共有10條對(duì)角線.”你認(rèn)為A同學(xué)的說(shuō)法正確嗎?為什么?24.(本小題滿分10分)如圖2,在直角墻角AOB(OA⊥OB,且OA,OB長(zhǎng)度不限)中,要砌20m長(zhǎng)的墻(即AC+BC=20m),與直角墻角AOB圍成地面為矩形的儲(chǔ)倉(cāng),且地面矩形AOBC的面積為96m2.(1)求該地面矩形的長(zhǎng);(2)有規(guī)格為0.80×0.80和1.00×1.00(單位:m)的地板磚,單價(jià)分別為50元/塊和80元/塊,若只選其中一種地板磚都恰好能鋪滿儲(chǔ)倉(cāng)的矩形地面(不計(jì)縫隙),則用哪一種規(guī)格的地板磚費(fèi)用較少?圖225.(本小題滿分10分)某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)800件T恤,第一個(gè)月以單價(jià)80元/件銷售,售出了200件;第二個(gè)月如果單價(jià)不變,預(yù)計(jì)仍可售出200件,批發(fā)商為增加銷量,決定降價(jià)銷售,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該T恤的單價(jià)每降低1元/件,每個(gè)月可多售出10件,但最低單價(jià)應(yīng)高于購(gòu)進(jìn)的價(jià)格;第二個(gè)月結(jié)束后,批發(fā)商將對(duì)剩余的T恤一次性清倉(cāng)銷售,清倉(cāng)時(shí)單價(jià)為40元/件,設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低x元/件.(1)填表(不需要化簡(jiǎn)):時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉(cāng)時(shí)單價(jià)(元/件)8040銷售量(件)200(2)如果批發(fā)商希望通過(guò)銷售這批T恤獲利9000元,那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)為多少?26.(本小題滿分12分)如圖3所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).【思考】如果點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,B同時(shí)出發(fā),經(jīng)過(guò)幾秒,△PBQ的面積等于8cm2?【探究】如果點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,B同時(shí)出發(fā),線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分?若能,求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間;若不能,說(shuō)明理由.【拓展】若點(diǎn)P沿射線AB方向從點(diǎn)A出發(fā),以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q沿射線CB方向從點(diǎn)C出發(fā),以2cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā),則經(jīng)過(guò)幾秒,△PBQ的面積為1cm2?圖3答案1.D[解析]x+2y=1是二元一次方程,不符合題意;x+y2不是方程,不符合題意;3x+1x=4是分式方程,不符合題意;x2-2=0是一元二次方程,符合題意2.A[解析]∵一元二次方程x2-(b-4)x+9=0的一次項(xiàng)系數(shù)為2,∴-(b-4)=2,解得b=2.3.C[解析]∵x2-4x-7=0,∴x2-4x+4=11,∴(x-2)2=11.4.A[解析]∵b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0,∴x=-2±162×1=-2±45.C[解析]∵x=2是關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解,∴a×22-2b+4=0,化簡(jiǎn),得2a-b=-2,∴2021+2a-b=2021+(2a-b)=2021+(-2)=2019.6.D[解析]解方程12x2-x-2=0,去分母,得x2-2x-4=0,即x2-2x=4.配方,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5.開(kāi)方,得x-1=±5,解得x=1±5,則四個(gè)步驟中出現(xiàn)錯(cuò)誤的是④.故選D7.D[解析]∵(2-a)x2+x+a2-4=0是關(guān)于x的一元二次方程,∴2-a≠0,即a≠2.把x=0代入(2-a)x2+x+a2-4=0,可得a2-4=0,解得a=±2.綜上,a=-2.8.B9.C[解析]∵關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴a+1≠0,(2b)2-4(a+1)2=0,∴b=a+1或b=-(a+1).當(dāng)b=a+1時(shí),有a-b+1=0,此時(shí)-1是方程x2+bx+a=0的根;當(dāng)b=-(a+1)時(shí),有a+b+1=0,此時(shí)1是方程x2+bx+a=0的根.∵a+1≠0,∴a+1≠-(a+1),∴1和10.B[解析]設(shè)方程的兩根為x1,x2,根據(jù)題意,得x1+x2=0,所以a2-2a=0,解得a=0或a=2,當(dāng)a=2時(shí),方程化為x2+1=0,b2-4ac=-4<0,故a=2舍去,所以a的值為0.11.A[解析]當(dāng)k-3=0,即k=3時(shí),方程化為-4x+2=0,解得x=12當(dāng)k-3≠0時(shí),b2-4ac=(-4)2-4(k-3)×2≥0,解得k≤5且k≠3.綜上所述,k的取值范圍為k≤5.12.A[解析]把方程(2x+3)2+3(2x+3)-4=0看作關(guān)于2x+3的一元二次方程,所以2x+3=1或2x+3=-4,所以x1=-1,x2=-3.5.故選A.13.C[解析]將x=1代入方程,得1-k+4=0,解得k=5.則方程為x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.當(dāng)三角形的三邊長(zhǎng)為1,1,4時(shí),1+1<4,不能構(gòu)成三角形,舍去;當(dāng)三角形的三邊長(zhǎng)為4,4,1時(shí),1+4>4,能構(gòu)成三角形,則三角形的周長(zhǎng)為1+4+4=9.14.D[解析]∵a,b為方程x2-3x+p=0(p≠0)的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴a+b=3,ab=p.∵a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=32-3p=18,∴p=-3.當(dāng)p=-3時(shí),b2-4ac=(-3)2-4p=9+12=21>0,∴p=-3符合題意.∴ab+ba=(a+故選D.15.B[解析]設(shè)平均每個(gè)季度的增長(zhǎng)率為x,則1250(1+x)2=1800,∴1+x=±1.2,∴x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),∴第四季度實(shí)現(xiàn)生活垃圾分類的社區(qū)可以達(dá)到1800×(1+20%)=2160(個(gè)),故選B.16.C[解析]①當(dāng)x=1時(shí),有a+b+c=0,即方程有實(shí)數(shù)根,∴b2-4ac≥0,故錯(cuò)誤;②把x=-1代入方程,得a-b+c=0.……A,把x=2代入方程,得4a+2b+c=0.……B,2×A+B,得6a+3c=0,即2a+c=0,故正確;③方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則-4ac>0,∴b2-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故正確;④若b=2a+c,則b2-4ac=(2a+c)2-4ac=4a2+c2.∵a≠0,∴4a2+c2>0,∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故正確.②③④都正確.17.x1=0,x2=-2.5[解析]方程2x(x+3)=x移項(xiàng),得2x(x+3)-x=0,分解因式,得x[2(x+3)-1]=0,即x(2x+5)=0,∴x=0或2x+5=0,∴x1=0,x2=-2.5.18.(1)0或8(2)5[解析](1)∵關(guān)于x的方程x2-mx+2m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴b2-4ac=(-m)2-8m=m2-8m=m(m-8)=0,解得m=0或8.(2)∵m2-8m=0,∴2m2-16m+5=2(m2-8m)+5=5.19.(1)(20+2x)(2)20[解析](1)設(shè)每件襯衫降價(jià)x元時(shí),每天可售出(20+2x)件,每件盈利(40-x)元.(2)根據(jù)題意,得(20+2x)·(40-x)=1200,解得x1=20,x2=10.因?yàn)闉榱藬U(kuò)大銷售量,增加利潤(rùn),所以x=20.20.解:(1)移項(xiàng),得x2-6x=-2.配方,得x2-6x+9=-2+9,即(x-3)2=7.開(kāi)方,得x-3=±7.∴x1=3+7,x2=3-7.(2)移項(xiàng),得3x(x-1)+2x-2=0.3x(x-1)+2(x-1)=0,因式分解,得(x-1)(3x+2)=0,即x-1=0或3x+2=0.∴x1=1,x2=-2321.解:(1)把x=1代入方程,得1+2(2-k)+3-6k=0,解得k=1.故方程為x2+2x-3=0.設(shè)方程的另一個(gè)根是x2,則1·x2=-3,解得x2=-3.故k的值為1,方程的另一根為x=-3.(2)∵關(guān)于x的方程x2+2(2-k)x+3-6k=0中,b2-4ac=4(2-k)2-4(3-6k)=4(k+1)2≥0,∴無(wú)論k取何值,此方程總有實(shí)數(shù)根.22.解:(1)△ABC是等腰三角形.理由:把x=-1代入方程,得c+a-2b+c-a=0,則c=b,∴△ABC是等腰三角形.(2)△ABC是直角三角形.理由:根據(jù)題意,得(2b)2-4(c+a)(c-a)=0,即a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.(3)∵a∶b∶c=3∶4∶5,∴設(shè)a=3t,b=4t,c=5t(t≠0),則原方程可變?yōu)?x2+4x+1=0,解得x1=x2=-1223.解:(1)根據(jù)題意,得12n(n-3)=14整理,得n2-3n-28=0,解得n=7或n=-4.∵n為大于等于3的整數(shù),∴n=-4不合題意,舍去,∴n=7,即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7.(2)A同學(xué)的說(shuō)法不正確.理由如下:當(dāng)12n(n-3)=10時(shí),整理,得n2-3n-20=0,解得n=3∴符合方程n2-3n-20=0的正整數(shù)n不存在,∴一個(gè)多邊形不可能有10條對(duì)角線.24.解:(1)設(shè)AC=xm,則BC=(20-x)m.由題意,得x(20-x)=96,即x2-20x+96=0,∴(x-12)(x-8)=0,解得x1=12,x2=8.當(dāng)AC=12m時(shí),BC=8m,AC為矩形的長(zhǎng),此時(shí)矩形的長(zhǎng)為12m.當(dāng)AC=8m時(shí),BC=12m,BC為矩形的長(zhǎng),此時(shí)矩形的長(zhǎng)為12m.答:該地面矩形的長(zhǎng)為12m.(2)①若選用規(guī)格為0.80×0.80(單位:m)的地板磚,則120.8150×50=7500(元);②若選用規(guī)格為1.00×1.00(單位:m)的地板磚,則121×896×80=7680(元).∵7500<7680,∴選用規(guī)格為0.80×0.80(單位:m)的地板磚費(fèi)用較少.25.[解析](1)第二個(gè)月的單價(jià)=第一個(gè)月的單價(jià)-降低的價(jià)格,銷售量=200+10×降低的單價(jià);清倉(cāng)時(shí)的銷售量=800-第一個(gè)月的銷售量-第二個(gè)月的銷售量.(2)等量關(guān)系為總售價(jià)-總進(jìn)價(jià)=9000元.把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可.解:(1)填表如下.時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉(cāng)時(shí)單價(jià)(元/件)8080-x40銷售量(件)200200+10x800-200-(200+10x)(2)80×200+(80-x)(200+10