第07講-向量法求距離、探索性及折疊問題(分層精練)(解析版)

第07講向量法求距離、探索性及折疊問題A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？计谥校┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，已知，且平面的法向量為，則到平面的距離等于（

）A． B．4 C． D．【答案】C【詳解】依題意，平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：C2．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，，，則點(diǎn)A到直線BC的距離為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【詳解】由題意可得，，，則在上的投影為，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：B3．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱中，若，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】取AC的中點(diǎn)O，取中點(diǎn)D，連接OD，則平面ABC，連接OB，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫鍭BC，所以O(shè)B，AC，OD兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，故，，點(diǎn)到直線的距離為.故選：D4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為1，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由正方體的性質(zhì)：∥,∥，，，且平面，平面，平面，平面，所以平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由正方體的棱長(zhǎng)為1，所以，，，，，所以，，，．連接，由，，所以，且，可知平面，得平面的一個(gè)法向量為，則兩平面間的距離：．故選：D.5．（2023秋·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為.閱讀上面材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，直線的方程為，則直線到平面的距離為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【詳解】由題可知點(diǎn)在直線上，取平面內(nèi)一點(diǎn),根據(jù)題設(shè)材料可知平面一個(gè)法向量為，,所以，所以直線到平面的距離為，故選:C.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知梯形如圖（1）所示，其中，為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形，現(xiàn)沿進(jìn)行折疊，使得平面平面，得到如圖（2）所示的幾何體．已知當(dāng)上一點(diǎn)滿足時(shí)，平面平面，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，可構(gòu)建以A為原點(diǎn)，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，所以，則，，若是面一個(gè)法向量，則，可得，若是面一個(gè)法向量，則，可得，由面面，所以有，解得，故選：C.7．（2023春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校計(jì)劃舉辦冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)，并在全校師生中征集此次運(yùn)動(dòng)會(huì)的會(huì)徽，某學(xué)生設(shè)計(jì)的《冬日雪花》脫穎而出．它的設(shè)計(jì)靈感來自三個(gè)全等的矩形的折疊拼湊，已知其中一塊矩形材料如圖①所示，將△BCD沿BD折疊，折疊后BC交AD于點(diǎn)E，，．現(xiàn)需要對(duì)會(huì)徽的六個(gè)直角三角形（圖②黑色部分）上色，則上色部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，∵，則，在中，由余弦定理可得，．解得，在中，，所以，，∴所以上色部分面積為．故選：A.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，將其沿著對(duì)角線折疊至直二面角，連接，得到四面體，則此四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則，，所以，二面角的平面角為，且，設(shè)、分別為、的外心，過點(diǎn)作平面的垂線，過點(diǎn)作平面的垂線，設(shè)，易知，同理可得，，，，平面，平面，，同理可得，所以，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，由正弦定理可得，，因此，四面體的外接球的表面積為.故選：D.二、多選題9．（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)（不與頂點(diǎn)重合），則點(diǎn)到平面的距離可以是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】BC【詳解】以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，，設(shè)為平面的法向量，則有：，令，可得，則點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所?故選：BC10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，從一個(gè)半徑為（單位：）的圓形紙板中切割出一塊中間是正方形，四周是四個(gè)正三角形的紙板，以此為表面（舍棄陰影部分）折疊成一個(gè)正四棱錐，則以下說法正確的是（

）A．四棱錐的體積是B．四棱錐的外接球的表面積是C．異面直線與所成角的大小為D．二面角所成角的余弦值為【答案】BCD【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則有，所以，解得，折疊而成正四棱錐如圖所示，其中為外接球的球心，四棱錐的高，所以四棱錐的體積，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)四棱錐外接球的半徑為，球心到底面的距離為，則有，解得，所以四棱錐外接球表面積，因?yàn)?，所以異面直線與所成角為，取的中點(diǎn)，連接，，如圖，因?yàn)?，均為等邊三角形，所以，，所以為二面角所成角的平面角，在中，由余弦定理得，故正確答案為BCD.故選：BCD三、填空題11．（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，，則當(dāng)點(diǎn)A到平面BCD的距離最小時(shí)，直線AE與平面BCD所成角的正弦值為______.【答案】【詳解】依題意可得，，.設(shè)是平面BCD的法向量，則，即，令，得.所以點(diǎn)A到平面BCD的距離.當(dāng)時(shí)，d取得最小值，此時(shí)，，所以直線AE與平面BCD所成角的正弦值為.故答案為：12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，以為折痕把折疊，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，則當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的體積為__________.【答案】【詳解】如圖，由題意，當(dāng)平面平面，即平面時(shí)，三棱錐的體積最大.∵，是的中點(diǎn)，∴，即，，兩兩垂直，又∵，∴，，，.如圖，作長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球，即是長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，則，∴.∴當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的體積為.故答案為：.四、解答題13．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，四邊形為矩形，，且平面平面.

(1)求與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面夾角大小；(3)若在線段上存在點(diǎn)，使得平面，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵底面為菱形，∴，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)作平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，∴，平面的一個(gè)法向量是，設(shè)與平面所成的角為，所以，∴與平面所成的角的正弦值為（2）由題意及（1）得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，所以，因?yàn)椋嗥矫媾c平面的夾角為.（3）由題意，（1）及（2）得，，設(shè)，，∵平面，所以，即，解得：，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，，∴點(diǎn)到平面的距離為：.14．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝＝1.現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF折疊，使ED⊥DC，M為ED的中點(diǎn)，如圖2.(1)求證：BC⊥平面BDE；(2)求點(diǎn)D到平面BEC的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD，因?yàn)镋D⊥DC，AD∩DC＝D，AD，DC?平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴ED⊥BC，又在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，故，由余弦定理，所以BC＝，在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，所以BD2＋BC2＝CD2，故BC⊥BD，因?yàn)镋D∩BD＝D，ED，BD?平面BDE，所以BC⊥平面BDE；（2）解法一：由（1）知BC⊥平面BDE，因?yàn)锽C平面BCE，所以平面BDE⊥平面BCE，過點(diǎn)D作EB的垂線交BE于點(diǎn)G，∵平面BDE∩平面BCE＝BE，DG平面BDE，則DG⊥平面BEC，所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于線段DG的長(zhǎng)度，∵ED⊥平面ABCD，BD在平面ABCD內(nèi)，∴ED⊥BD，在三角形BDE中，，所以，所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于.解法二：由（1）BC⊥平面BDE，BE平面BDE，所以BC⊥BE，因?yàn)镈E＝1，，所以BD＝，BC＝，BE＝，所以，，設(shè)點(diǎn)D到平面BCE的距離為h，根據(jù)V－BCE＝V－BCD，由（1）可知ED⊥平面ABCD即，，解得h＝，即點(diǎn)D到平面BCE的距離為B能力提升1．（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，、分別為上底面和側(cè)面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，得則點(diǎn)到平面的距離為.故選：A2．（2023春·浙江·高二期中）如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別為棱?中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離為.故選：B.3．（2023秋·浙江金華·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知平行四邊形，，，，、分別是、的中點(diǎn)．現(xiàn)將四邊形沿著直線向上翻折，則在翻折過程中，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，二面角的余弦值為____________．【答案】【詳解】連接、，取的中點(diǎn)，連接、，易知，且，則四邊形為菱形，易知，則四邊形為等邊三角形，所以，，同理可知，所以，二面角的平面角為，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，且，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過點(diǎn)且與平面的垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以點(diǎn)到直線的距離為，解得.故答案為：.4．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，，底面，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)．

(1)直線與平面所成角的正弦值；(2)點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又面，故以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，

因?yàn)?，，，且為中點(diǎn)，則，，，，，，故，，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，，故，所以，故直線與平面所成角的正弦值為；（2）由（1）可知，面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離，故點(diǎn)到平面的距離為．C綜合素養(yǎng)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在矩形中，，，平面，且，點(diǎn)為線段（除端點(diǎn)外）上的動(dòng)點(diǎn)，沿直線將翻折到，則下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為球面B．存在點(diǎn)，使平面C．點(diǎn)到平面的距離為D．異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是【答案】D【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時(shí)，線段的長(zhǎng)度為定值，，過作于點(diǎn)，為定點(diǎn)，的長(zhǎng)度為定值，且在過點(diǎn)與垂直的平面內(nèi)，故的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故A錯(cuò)；選項(xiàng)B：無論在（端點(diǎn)除外）的哪個(gè)位置，均不與垂直，故不與平面垂直，故B錯(cuò)；選項(xiàng)C：以，，為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．，設(shè)平面的法向量為，取，則點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)；選項(xiàng)D：設(shè)，，，，設(shè)與所成的角為，則，故D正確.故選：D．2．（多選）（2023春·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谥校┤鐖D①，在矩形中，，為的中點(diǎn)將沿直線翻折至的位置，使得平面平面，如圖②所示，下列說法法正確的有（

）A．平面平面B．異面直線與所成角的余弦值為C．點(diǎn)到平面的距離為D．二兩角的正弦值為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如圖所示，在中，，所以，在中，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以面平面，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，取BE中點(diǎn)M，AB中點(diǎn)N，連接、，則，，由A項(xiàng)知，平面，所以平面，所以以點(diǎn)M為原點(diǎn)，分別以、、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以，所以點(diǎn)B到平面的距離為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由C項(xiàng)知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面一個(gè)法向量為，又，則，取，則，，所以，所以，所以，所以二面角的正弦值為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.3．（2023·北京豐臺(tái)·北京豐臺(tái)二中?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)若棱上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以，為軸，軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，因?yàn)椋?，所以，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，所以，所以平面平面.（2）易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.（3）因?yàn)槔馍弦稽c(diǎn)，滿足，所以，所以，所以點(diǎn)到平面的距離.4．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，為AC邊的中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，OE，使得.

(1)證明：平面ABC；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，所以，，在等邊中，，?又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)榍移矫妫云矫?

（2）解法1：作，垂足為,因?yàn)椋?，解得，所以，在直角中，，可得，又因?yàn)?，所以，設(shè)點(diǎn)到