2025年中圖版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年中圖版高二數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、甲乙兩組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示，設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為中位數(shù)分別為則A.＜＞B.<C.>>D.><2、若正實(shí)數(shù)滿足則（）A.有最大值4B.有最小值C.有最大值D.有最小值3、設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（）A.B.C.D.4、一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都減去90得到一組新的數(shù)據(jù)；如果求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.2，方差為4.4，則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）

A.91.2；94.4

B.91.2；4.4

C.88.8；4.4

D.88.8；85.6

5、【題文】已知a、b是正實(shí)數(shù)，則下列不等式中不成立的是()A.B.C.D.6、在復(fù)平面內(nèi)為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量和則（）A.B.C.D.7、若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a、b的夾角的余弦值為則λ的值為()A.2B.－2C.－2或D.2或－8、已知向量且則的值等于（）A.B.C.D.9、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60鈭?

”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：壟脵

因?yàn)锳+B+C>60鈭?+60鈭?+60鈭?=180鈭?

這與三角形內(nèi)角和為180鈭?

相矛盾；壟脷

所以一個(gè)三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60鈭?壟脹

假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角ABC

都大于60鈭?

正確順序的序號為(

)

A.壟脹壟脵壟脷

B.壟脷壟脹壟脵

C.壟脵壟脹壟脷

D.壟脵壟脷壟脹

評卷人得分二、填空題(共8題，共16分)10、計(jì)算____（為虛數(shù)單位）．11、【題文】定義區(qū)間的長度均為已知實(shí)數(shù)則滿足的x構(gòu)成的區(qū)間的長度之和為____.12、【題文】設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是____．13、【題文】在中，角所對的邊分別為為的面積，若向量則角____．14、拋物線x2﹣2y﹣6xsinθ﹣9cos2θ+8cosθ+9=0的頂點(diǎn)的軌跡是（其中θ∈R）____．15、設(shè)x＜y＜0，p=（x2+y2）（x-y），q=（x2-y2）（x+y），則p與q的大小關(guān)系為______．16、德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937

年提出一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n

如果n

是偶數(shù)，就將它減半(

即n2)

如果n

是奇數(shù)，則將它乘3

加1(

即3n+1)

不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.

對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù)n(

首項(xiàng))

按照上述規(guī)則旅行變換后的第9

項(xiàng)為1(

注：1

可以多次出現(xiàn))

則n

的所有不同值的個(gè)數(shù)為______．17、02[x2+1鈭?(x鈭?1)2]dx=

______．評卷人得分三、作圖題(共5題，共10分)18、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

19、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）20、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小．（如圖所示）21、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

22、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）評卷人得分四、計(jì)算題(共2題，共10分)23、如圖，正三角形ABC的邊長為2，M是BC邊上的中點(diǎn)，P是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，求PB+PM的最小值．24、已知a為實(shí)數(shù)，求導(dǎo)數(shù)評卷人得分五、綜合題(共1題，共7分)25、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點(diǎn)的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）以點(diǎn)A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當(dāng)AD+CD最小時(shí)；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時(shí)，D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)：____．參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、B【分析】試題分析：甲的平均數(shù)乙的平均數(shù)所以<

甲的中位數(shù)為20，乙的中位數(shù)為29，所以

故選B.考點(diǎn)：1.莖葉圖；2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【解析】【答案】B2、C【分析】試題分析：本題是基本不等式的應(yīng)用，我們可以舉例說明一些不等式不成立，如則A不成立，B不成立，再如時(shí)，D不成立，因此選C．當(dāng)然我們也可用基本不等式直接證明C正確，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以有最大值．考點(diǎn)：基本不等式．【解析】【答案】C3、D【分析】試題分析：函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；對于若軸上方是導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下方的函數(shù)是單調(diào)遞增，不符合；若軸下方是導(dǎo)函數(shù)的圖象，則上方的函數(shù)是單調(diào)遞減，不符合，其他三項(xiàng)符合．考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【解析】【答案】D4、B【分析】

平均數(shù)=（x1+x2++xn）=[（x1-a）+（x2-a）++（xn-a）]+a；

∴原來一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是90+1.2=91.2；

其方差不變；仍是4.4．

故選B．

【解析】【答案】根據(jù)平均數(shù)和方差的公式性質(zhì)進(jìn)行求解；原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.2加90，方差不變，從而得到所求．

5、D【分析】【解析】由基本不等式不難得A；B選項(xiàng)正確；

若C正確，則即化簡可得顯然成立；

因?yàn)閯t兩邊同時(shí)乘上正數(shù)可得

D選項(xiàng)不正確.

此題主要考查基本不等式及其變形形式.【解析】【答案】D6、B【分析】【解答】由復(fù)數(shù)的幾何意義知，則所以故選B.7、C【分析】【分析】用向量的內(nèi)積公式建立方程；本題中知道了夾角的余弦值為8/9，故應(yīng)用內(nèi)積公式的變形來建立關(guān)于參數(shù)λ的方程求λ．

【解答】由題意向量=（1，λ，2)，=（2，-1，2)，且與的夾角余弦值為

故有cos＜＞===

解得：λ=-2或．

故應(yīng)選C．8、D【分析】【解答】因?yàn)橄蛄壳宜越獾?/p>

【分析】直接考查平面向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.9、A【分析】解：反證法的步驟是先假設(shè)結(jié)論成立；然后推出矛盾，最后推出假設(shè)不成立，結(jié)論成立．

所以再確定步驟是壟脹壟脵壟脷

．

故選：A

．

利用反證法的步驟即可判斷．

本題考查反證法、記住反證法的步驟先假設(shè)結(jié)論成立，然后推出矛盾，最后推出假設(shè)不成立，結(jié)論成立．【解析】A

二、填空題(共8題，共16分)10、略

【分析】【解析】試題分析：根據(jù)題意,由于故可知答案為考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的計(jì)算【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

試題分析：本題實(shí)質(zhì)上就是解分式不等式，把不等式變形為即且其中因此不等式的解為或因此所求長度之和為2．

考點(diǎn)：解含參數(shù)的分式不等式．【解析】【答案】212、略

【分析】【解析】

試題分析：如圖，作垂直拋物線的準(zhǔn)線于則由拋物線的定義得點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離．

考點(diǎn)：考查拋物線的定義及其幾何性質(zhì)．【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、橢圓【分析】【解答】解：∵x2﹣2y﹣6xsinθ﹣9cos2θ+8cosθ+9=0；

∴2y=x2﹣6xsinθ﹣9（1﹣sin2θ）+8cosθ+9

∴y=（x﹣3sinθ）2+4cosθ；

設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為（x；y），則x=3sinθ，y=4cosθ；

消去參數(shù)θ，得=1；

即頂點(diǎn)的軌跡是橢圓．

故答案為：橢圓．

【分析】利用平方關(guān)系，通過配方法對拋物線進(jìn)行變形，消去參數(shù)即可得到頂點(diǎn)的軌跡．15、略

【分析】解：p-q=（x2+y2）（x-y）-（x2-y2）（x+y）

=2xy（y-x）；

∵x＜y＜0；∴xy＞0，y-x＞0；

∴p-q＞0；p＞q；

故答案為：p＞q．

作差；求出p-q表達(dá)式，根據(jù)x，y的大小，求出p-q的符合，判斷即可．

本題考查了不等式的大小比較，作差法是常用方法之一，本題是一道基礎(chǔ)題．【解析】p＞q16、略

【分析】【分析】

本題主要考查歸納推理的應(yīng)用；利用變換規(guī)則，進(jìn)行逆向驗(yàn)證是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題.

利用第9

項(xiàng)為1

出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐項(xiàng)即可求出n

的所有可能的取值．

【解答】

解：如果正整數(shù)n

按照上述規(guī)則施行變換后的第9

項(xiàng)為1

則變換中的第8

項(xiàng)一定是2

則變換中的第7

項(xiàng)一定是4

變換中的第6

項(xiàng)可能是1

也可能是8

變換中的第5

項(xiàng)可能是2

也可是16

變換中的第5

項(xiàng)是2

時(shí)；變換中的第4

項(xiàng)是4

變換中的第3

項(xiàng)是1

或8

變換中的第2

項(xiàng)是2

或16

變換中的第5

項(xiàng)是16

時(shí)；變換中的第4

項(xiàng)是32

或5

變換中的第3

項(xiàng)是64

或10

變換中的第2

項(xiàng)是20

或3

變換中第2

項(xiàng)為2

時(shí)；第1

項(xiàng)為4

變換中第2

項(xiàng)為16

時(shí)，第1

項(xiàng)為32

或5

變換中第2

項(xiàng)為3

時(shí)，第1

項(xiàng)為6

變換中第2

項(xiàng)為20

時(shí)，第1

項(xiàng)為40

變換中第2

項(xiàng)為21

時(shí)，第1

項(xiàng)為42

變換中第2

項(xiàng)為128

時(shí)，第1

項(xiàng)為256

則n

的所有可能的取值為456324042256

共7

個(gè)；

1隆煤2隆煤4隆煤{1隆煤2隆煤4隆煤{1隆煤2隆煤48隆煤16隆煤{5328隆煤16隆煤{5隆煤10隆煤{3隆煤620隆煤4032隆煤64隆煤{21隆煤42128隆煤256

故答案為7

．

【解析】7

17、略

【分析】解：由02[x2+1鈭?(x鈭?1)2]dx==鈭?02x2dx+鈭?021鈭?(x鈭?1)2dx

由鈭?02x2dx=13x3丨02=83

由定積分的幾何意義可知：鈭?021鈭?(x鈭?1)2dx

表示以(1,0)

為圓心以1

為半徑的圓的一半；

則鈭?021鈭?(x鈭?1)2dx=婁脨2

02[x2+1鈭?(x鈭?1)2]dx==鈭?02x2dx+鈭?021鈭?(x鈭?1)2dx=83+婁脨2

故答案為：83+婁脨2

．

利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)及定積分的幾何意義，分別求得鈭?02x2dx

和鈭?021鈭?(x鈭?1)2dx

的值．

本題考查定積分的運(yùn)算，定積分的幾何意義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【解析】83+婁脨2

三、作圖題(共5題，共10分)18、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

19、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最小；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．21、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

22、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．四、計(jì)算題(共2題，共10分)23、略

【分析】【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E，連接EP、EB、EM、EC，則PB+PM=PE+PM，因此EM的長就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如圖；作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E，連接EP；EB、EM、EC；

則PB+PM=PE+PM；

因此EM的長就是PB+PM的最小值．

從點(diǎn)M作MF⊥BE；垂足為F；

因?yàn)锽C=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因?yàn)椤螹BF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．24、解：【分析】【分析】由原式得∴五、綜合題(共1題，共7分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點(diǎn)D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點(diǎn)；

設(shè)出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）由（2）可知，當(dāng)AD+CD最短時(shí)，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓