第15講 綜合除法和余數(shù)定理

第15講綜合除法和余數(shù)定理一、第15講綜合除法和余數(shù)定理（練習(xí)題部分）1.計(jì)算3x3?5x+6除以(x-2)所得的商式及余數(shù)．2.求2x3+5x2?4x4+8除以x+3所得的商式及余數(shù)．3.用綜合除法計(jì)算

(?6x4?7x2+8x+9)÷(2x?1)．4.用綜合除法計(jì)算(27x3?9x2+5x?2)÷(3x?2)．5.求除以x+1所得的余數(shù)．6.設(shè)f(x)=x4+3x3+8x2?kx+11被x+3整除，試求k的值．

7.設(shè)f(x)=2x3+x2+kx?2能被2x+整除，求k值.

8.設(shè)f(x)=3x5?17x4+12x3+6x2+9x+8，求f(-)．9.設(shè)f(x)=x4?ax2?bx+2被(x+1)(x+2)整除，求a、b的值．

10.求f(x)=3x4?8x3+5x5?x+8除以2x-4所得的余數(shù)．11.若f(x)=2x3?3x2+ax+b除以x+1所得的余數(shù)為7，除以x-1所得的余數(shù)為5，試求a、b的值．

12.設(shè)f(x)=x2+mx+n(m、n都是整數(shù))既是多項(xiàng)式x4+6x2+25的因式，又是多項(xiàng)式3x4+4x2+28x+5的因式，求f(x)。

13.多項(xiàng)式f(x)除以(x-1)、(x-2)和(x-3)所得的余數(shù)分別是1、2、3，試求f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)所得的余式。

14.已知多項(xiàng)式f(x)=ax3+bx2?8x?12被x-2和x-3整除，試求a、b的值，并求f(x)除以(x-2)(x-3)后所得的商式。15.若x5?5qx+4r被(x?2)2整除，求q與r的值．

16.已知關(guān)于x的三次多項(xiàng)式，f(x)除以x2?1時(shí)，余式是2x-5；除以x2?4時(shí)，余式是-3x+4．求這個(gè)三次式．

17.一個(gè)整系數(shù)三次多項(xiàng)式f(x)，有三個(gè)不同的整數(shù)a1、a2、a3，使f(a1)=f(a2)=f(a3)=1．又設(shè)b為不同于a1、a2、a3的任意整數(shù)，試證明：f(b)≠1.

答案解析部分一、第15講綜合除法和余數(shù)定理（練習(xí)題部分）1.【答案】解：

用綜合除法計(jì)算如下：

∴商式為：3x2+6x+7，余數(shù)為：20.

【解析】【分析】綜合除法過(guò)程如下：

(1)被除式按x的降冪排列好，依次寫出各項(xiàng)的系數(shù)，遇到缺項(xiàng)，必須用“0”補(bǔ)足．

(2)將(-a的相反數(shù))a寫在上述系數(shù)的左邊，彼此用豎線隔開(kāi)．

(3)將被除式的第一個(gè)系數(shù)作為第二行的第一個(gè)數(shù)．用它乘a，加上第二個(gè)系數(shù)，得到第二行的第二個(gè)數(shù)．再把這第二個(gè)數(shù)乘a，加上第三個(gè)系數(shù)，得到第二行的第三個(gè)數(shù)……依此類推．最后得到的數(shù)為余數(shù)，把它用線隔開(kāi)，線外就是商式的系數(shù)．

由此計(jì)算即可得出答案.2.【答案】解：將多項(xiàng)式按x的降冪排列為：?4x4+2x3+5x2+8，由綜合除法得：

∴商式為：-4x3+14x2-37x+111，余數(shù)為：-325.

【解析】【分析】綜合法過(guò)程如下：(1)被除式按x的降冪排列好，依次寫出各項(xiàng)的系數(shù)，遇到缺項(xiàng)，必須用“0”補(bǔ)足．

(2)將(-a的相反數(shù))a寫在上述系數(shù)的左邊，彼此用豎線隔開(kāi)．

(3)將被除式的第一個(gè)系數(shù)作為第二行的第一個(gè)數(shù)．用它乘a，加上第二個(gè)系數(shù)，得到第二行的第二個(gè)數(shù)．再把這第二個(gè)數(shù)乘a，加上第三個(gè)系數(shù)，得到第二行的第三個(gè)數(shù)……依此類推．最后得到的數(shù)為余數(shù)，把它用線隔開(kāi)，線外就是商式的系數(shù)．

由此計(jì)算即可得出答案.3.【答案】解：∵(2x?1)=2（x-），

∴先用(?6x4?7x2+8x+9)÷（x-），

∴?6x4?7x2+8x+9=（x-）（-6x3-3x2-x+）+，

=2（x-）×（-6x3-3x2-x+）+，

=(2x?1)（-3x3-x2-x+）+，

∴商式為：-3x3-x2-x+，余數(shù)為：.

【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系數(shù)不為1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(這時(shí)可用綜合除法)，得到f(x)=(x+)?q(x)+r；

從而f(x)=a(x+)??q(x)+r=(ax+b)(?q(x))+r.因此所求的商式是?q(x)，余數(shù)仍為r．4.【答案】解：∵(3x?2)=3（x-），

∴先用(27x3?9x2+5x?2)÷(x-)，

∴27x3?9x2+5x?2=(x-)（27x2+9x+11）+，

=3(x-)×（27x2+9x+11）+，

=(3x?2)（9x2+3x+）+，

∴商式為：9x2+3x+，余數(shù)為：.

【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系數(shù)不為1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(這時(shí)可用綜合除法)，得到f(x)=(x+)?q(x)+r；

從而f(x)=a(x+)??q(x)+r=(ax+b)(?q(x))+r.因此所求的商式是?q(x)，余數(shù)仍為r．5.【答案】解：綜合除法計(jì)算如下：

∴余數(shù)為8.

【解析】【分析】綜合法過(guò)程如下：(1)被除式按x的降冪排列好，依次寫出各項(xiàng)的系數(shù)，遇到缺項(xiàng)，必須用“0”補(bǔ)足．(2)將(-a的相反數(shù))a寫在上述系數(shù)的左邊，彼此用豎線隔開(kāi)．(3)將被除式的第一個(gè)系數(shù)作為第二行的第一個(gè)數(shù)．用它乘a，加上第二個(gè)系數(shù)，得到第二行的第二個(gè)數(shù)．再把這第二個(gè)數(shù)乘a，加上第三個(gè)系數(shù)，得到第二行的第三個(gè)數(shù)……依此類推．最后得到的數(shù)為余數(shù)，把它用線隔開(kāi)，線外就是商式的系數(shù)．

由此計(jì)算即可得出答案.6.【答案】解：∵設(shè)f(x)被x+3整除，由余數(shù)定理可得：

f(-3)=0，

∴f(-3)=（-3）4+3×（-3）3+8×（-3）2-k×（-3）+11=0，

解得：k=-.

∴k值為-.

【解析】【分析】因?yàn)閒(x)被x+3整除，由余數(shù)定理可得f(-3)=0，代入、解方程即可.7.【答案】解：∵2x+=2（x+），

∴f(x)=2x3+x2+kx?2能被x+整除，

由余數(shù)定理可知：

f(-)=0，

即2×（-）3+（-）2+（-）k-2=0，

解得：k=-7.

∴k值為-7.

【解析】【分析】如果f(x)能被ax+b(a≠0且a≠1)整除，則f(x)能被x+整除，由余數(shù)定理可知f（-）=0，代入、解方程即可.8.【答案】解：∵f(x)=3x5?17x4+12x3+6x2+9x+8，

∴f(-)=3×（-）5-17×（-）4+12×（-）3+6×（-）2+9×（-）+8，

=---+-3+8，

=5.

另解：

原題等介于求（3x5?17x4+12x3+6x2+9x+8）÷（x+）的余數(shù)，用綜合法計(jì)算得：

∴余數(shù)為5，即f(-)=5.

【解析】【分析】根據(jù)題意將x=-代入f（x），計(jì)算即可得出答案.9.【答案】解：∵f(x)被(x+1)(x+2)整除，

∴f(x)被x+1和x+2整除，

根據(jù)因式定理，有

f(?1)=(?1)4?a×(?1)2-b×(?1)+2=a-b=3，

f(-2)=（-2）4?a×（-2）2-b×（-2）+2=2a-b=9，

即，

解得：.

∴a=6，b=3.

【解析】【分析】根據(jù)因式定理，結(jié)合題意可得f(?1)=0，f(2)=0，即得到一個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程組，解之即可.10.【答案】解：f（x）先按x的降冪排列：

f(x)=5x5+3x4?8x3?x+8，

∵2x-4=2（x-2），

∴先用（5x5+3x4?8x3?x+8）÷（x-2），

∴

∴5x5+3x4?8x3?x+8=（x-2）（5x4+13x3+18x2+36x+71）+150，

=2（x-2）×（5x4+13x3+18x2+36x+71）+150，

=（2x-4）（x4+x3+9x2+18x+）+150，

∴f(x)=3x4?8x3+5x5?x+8除以2x-4所得的余數(shù)是150.

【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系數(shù)不為1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(這時(shí)可用綜合除法)，得到f(x)=(x+)?q(x)+r；

從而f(x)=a(x+)??q(x)+r=(ax+b)(?q(x))+r.因此所求的商式是?q(x)，余數(shù)仍為r．11.【答案】解：根據(jù)題意，由余數(shù)定理可知：

f(-1)=7，f(1)=5，

即，

解得：.

∴a=-3，b=9.

【解析】【分析】根據(jù)余數(shù)定理可得f(-1)=7，f(1)=5；從而得一個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程組，解之即可.12.【答案】解：令g（x）=x4+6x2+25，h（x）=3x4+4x2+28x+5，

∵f(x)既是多項(xiàng)式x4+6x2+25的因式，又是多項(xiàng)式3x4+4x2+28x+5的因式，

∴f(x)必定是g（x）與h（x）差的因式，

∴3g（x）-h（x）=3（x4+6x2+25）-（3x4+4x2+28x+5），

=14x2-28x+70，

=14（x2-2x+5），

∴f(x)=x2-2x+5.

【解析】【分析】根據(jù)g（x）、h（x）能被f(x)整除，所以他們的和、差、倍都能被f(x)整除，通過(guò)3g（x）-h（x）實(shí)現(xiàn)降次，從而得出f(x).13.【答案】解：根據(jù)題意，由余數(shù)定理可知：

f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，

設(shè)f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)，所得商式為q(x)，余式為ax2+cx+d，則f(x)=(x?1)(x?2)(x-3)?q(x)+(ax2+cx+d)，依題可得：

，

解得：.

∴所求的余式為x．

【解析】【分析】設(shè)f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)，所得商式為q(x)，余式為ax2+cx+d，則f(x)=(x?1)(x?2)(x-3)?q(x)+(ax2+cx+d)，利用余數(shù)定理列出方程組，解之即可．14.【答案】解：∵f(x)=ax3+bx2?8x?12能被x-2和x-3整除，

∴f(2)=0，f(3)=0，

即，

解得：，

∴f(x)=-3x3+13x2?8x?12，

又∵f(x)=-3x3+13x2?8x?12能被x-2和x-3整除，

∴f(x)=-3x3+13x2?8x?12能被(x-2)(x-3)整除，

設(shè)f(x)除以(x-2)(x-3)，所得商式為q(x)=cx+d，則f(x)=(x?2)(x?3)?q(x)，

∴f(x)=-3x3+13x2?8x?12=(x?2)(x?3)?（cx+d），

即-3x3+13x2?8x?12=cx3+（d-5c）x2+（6c-5d）x+6d，

∴，

解得：，

∴商式是-3x-2.

【解析】【分析】根據(jù)題意由余數(shù)定理可知f(2)=0，f(3)=0，列出一個(gè)關(guān)于a、b的方程，解之可得f（x）解析式；根據(jù)題意可得f(x)能被(x-2)(x-3)整除，設(shè)f(x)除以(x-2)(x-3)，所得商式為q(x)=cx+d，則f(x)=(x?2)(x?3)?q(x)，由待定系數(shù)法列出方程，解之即可.15.【答案】解：∵x5?5qx+4r被(x?2)2整除，

∴令f（x）=x5?5qx+4r=(x?2)2（ax3+bx2+cx+d），

即x5?5qx+4r=ax5+（b-4a）x4+（c-4b+4a）x3+（d+4b-4c）x2+4（c-d）x+4d，

∴a=1，b-4a=0，c-4b+4a=0，d+4b-4c=0，4（c-d）=-5q，4r=4d，

解得：a=1，b=4，c=12，d=32，q=16，r=32，

∴q=16，r=32.

【解析】【分析】根據(jù)x5?5qx+4r被(x?2)2整除，從而可設(shè)f（x）=x5?5qx+4r=(x?2)2（ax3+bx2+cx+d），根據(jù)待定系數(shù)法列出方程，解之即可.16.【答案】解：依題可設(shè)：

f(x)=（x2?1）（ax+b）+（2x-5），

f(x)=（x2?4）（cx+d）+（-3x+4），

∴（x2?1）（ax+b）+（2x-5）=（x2?4）（cx+d）+（-3x+4），

即ax3+bx2+（2-a）x+（-b-5）=cx3+dx2+（-4c-3）x+（4-4d），

∴，

解得：.

∴這個(gè)三次多項(xiàng)式是-x3+3x2+x-8．

【解析】【分析】根據(jù)題意可設(shè)f(x)=（x2?1）（ax+b）+（2x-5）=（x2?4）（cx+d）+（-3x+4），化簡(jiǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法列出方程，解之即可.17