2024秋高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明課時(shí)作業(yè)6反證法含解析新人教A版選修1-2

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)6反證法時(shí)間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題6分，共計(jì)36分)1．用反證法證明命題“三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)大于等于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是()A．三個(gè)內(nèi)角都小于60°B．三個(gè)內(nèi)角都大于60°C．三個(gè)內(nèi)角中至多有一個(gè)大于60°D．三個(gè)內(nèi)角中至多有兩個(gè)大于60°解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)都沒有”，則反設(shè)為“三個(gè)內(nèi)角都小于60°”．答案：A2．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反證法求證a>0，b>0，c>0時(shí)的反設(shè)為()A．a(chǎn)<0，b<0，c<0 B．a(chǎn)≤0，b>0，c>0C．a(chǎn)、b、c不全是正數(shù) D．a(chǎn)bc<0答案：C3．否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為()A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)B．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)C．a(chǎn)、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．a(chǎn)、b、c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)解析：恰有一個(gè)偶數(shù)的否定有兩種狀況，其一是無偶數(shù)(全為奇數(shù))，其二是至少有兩個(gè)偶數(shù)，故選D.答案：D4．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都大于2 B．至少有一個(gè)大于2C．至少有一個(gè)不大于2 D．至少有一個(gè)不小于2解析：(a＋eq\f(1,b))＋(b＋eq\f(1,c))＋(c＋eq\f(1,a))＝(a＋eq\f(1,a))＋(b＋eq\f(1,b))＋(c＋eq\f(1,c))≥6.故三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.答案：D5．0<a≤eq\f(1,5)是函數(shù)f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上為減函數(shù)的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若f(x)為(－∞，4]上的減函數(shù)，則a>0且－eq\f(a－1,a)≥4?0<a≤eq\f(1,5)或a＝0，即a∈[0，eq\f(1,5)]，故當(dāng)a∈(0，eq\f(1,5)]時(shí)，f(x)在(－∞，4]上為減函數(shù)，而當(dāng)a＝0時(shí)，由f(x)為(－∞，4]上的減函數(shù)，不能導(dǎo)出a∈(0，eq\f(1,5)]，∴選A.答案：A6．設(shè)a、b均為正整數(shù)，且a＋b≤4，則下列各式中正確的是()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1 B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤2 D.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2解析：假設(shè)A正確．依題意可取a＝1，b＝2，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)>1，與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1沖突，故A不正確．同理可推出B、D不正確，故選C.答案：C二、填空題(每小題8分，共計(jì)24分)7．設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿意a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于________．解析：假設(shè)a、b、c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1，故a、b、c中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°沖突，故假設(shè)錯(cuò)誤；②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確依次為________．解析：考查反證法的一般步驟．答案：③①②9．完成反證法證題的全過程．設(shè)a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一個(gè)排列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)．證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)．因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝________＝________＝0.但0≠奇數(shù)，這一沖突說明p為偶數(shù)．解析：據(jù)題目要求及解題步驟，因?yàn)閍1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)，所以(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也為奇數(shù)．即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)為奇數(shù)．又因?yàn)閍1，a2，…，a7是1,2，…，7的一個(gè)排列，所以a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式為0.所以奇數(shù)＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)三、解答題(共計(jì)40分)10．(10分)已知x，y∈R，且x＋y>2，證明：x，y中至少有一個(gè)大于1.解：假設(shè)x，y都不大于1，即x≤1，y≤1，則x＋y≤2，這與已知條件x＋y>2沖突，所以假設(shè)不成立，故x，y中至少有一個(gè)大于1.11．(15分)設(shè)a、b、c均為奇數(shù)，求證：方程ax2＋bx＋c＝0無整數(shù)根．證明：假設(shè)方程有整數(shù)根x＝x0，x0∈Z，則axeq\o\al(2,0)＋bx0＋c＝0，c＝－(axeq\o\al(2,0)＋bx0)．①若x0為偶數(shù)，則axeq\o\al(2,0)與bx0均為偶數(shù)，所以axeq\o\al(2,0)＋bx0為偶數(shù)，從而c為偶數(shù)，與題設(shè)沖突．②若x0為奇數(shù)，則axeq\o\al(2,0)、bx0均為奇數(shù)，所以axeq\o\al(2,0)＋bx0為偶數(shù)，從而c為偶數(shù)，與題設(shè)沖突．綜上所述，方程ax2＋bx＋c＝0沒有整數(shù)根．12．(15分)已知數(shù)列{an}滿意a1＝λ，an＋1＝eq\f(2,3)an＋n－4，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)，對隨意實(shí)數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列．解：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)