




版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶(hù)提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
高中PAGE1高中清單08數(shù)列求通項(xiàng)與求和(個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練)【清單01】累加法(疊加法)若數(shù)列滿(mǎn)足,則稱(chēng)數(shù)列為“變差數(shù)列”,求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累加法。【清單02】累乘法(疊乘法)若數(shù)列滿(mǎn)足,則稱(chēng)數(shù)列為“變比數(shù)列”,求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),利用求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累乘法?!厩鍐?3】數(shù)列求通項(xiàng)(法)對(duì)于數(shù)列,前項(xiàng)和記為;①;②②:法歸類(lèi)角度1:已知與的關(guān)系;或與的關(guān)系用,得到例子:已知,求角度2:已知與的關(guān)系;或與的關(guān)系替換題目中的例子:已知;已知角度3:已知等式中左側(cè)含有:作差法(類(lèi)似)例子:已知求【清單04】構(gòu)造法用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如(為常數(shù),)的數(shù)列,可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為(其中:),由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列,先求出的通項(xiàng),從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【清單05】倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類(lèi)型1:形如(為常數(shù),)的數(shù)列,通過(guò)兩邊取“倒”,變形為,即:,從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列,先求出的通項(xiàng),即可求得.類(lèi)型2:形如(為常數(shù),,,)的數(shù)列,通過(guò)兩邊取“倒”,變形為,可通過(guò)換元:,化簡(jiǎn)為:(此類(lèi)型符構(gòu)造法類(lèi)型1:用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列:形如(為常數(shù),)的數(shù)列,可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為(其中:),由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列,先求出的通項(xiàng),從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.)【清單06】裂項(xiàng)相消法1、等差型=1\*GB3①特別注意②如:(尤其要注意不能丟前邊的)2、無(wú)理型=1\*GB3①如:3、指數(shù)型①如:【考點(diǎn)題型一】累加法求通項(xiàng)核心方法:形如:【例1】(24-25高二上·山東·期中)在數(shù)列中,,則的通項(xiàng)公式為.【變式1-1】(24-25高二上·上?!て谥校┤魯?shù)列滿(mǎn)足,且(其中,),則的通項(xiàng)公式是.【考點(diǎn)題型二】累乘法求通項(xiàng)核心方法:形如:【例2】(2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè))設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【變式2-1】(23-24高三上·四川成都·期末)已知數(shù)列數(shù)列滿(mǎn)足,,其中n∈N*.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【考點(diǎn)題型三】已知與的關(guān)系;或與的關(guān)系核心方法:用,得到【例3】(24-25高三上·遼寧沈陽(yáng)·期中)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【變式3-1】(2024·廣東佛山·一模)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【考點(diǎn)題型四】已知與的關(guān)系;或與的關(guān)系核心方法:替換題目中的【例4】(2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且,求通項(xiàng)公式.【變式4-1】(24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí))已知數(shù)列中,,且,為數(shù)列的前項(xiàng)和,,數(shù)列bn是等比數(shù)列,,.(1)求數(shù)列和bn的通項(xiàng)公式;【考點(diǎn)題型五】已知等式中左側(cè)含有:核心方法:作差法(類(lèi)似)【例5】(24-25高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí))已知數(shù)列滿(mǎn)足:,數(shù)列bn滿(mǎn)足:.(1)求數(shù)列的前15項(xiàng)和;【變式5-1】(24-25高三上·重慶·期中)已知數(shù)列滿(mǎn)足,則(
)A.2 B. C. D.【考點(diǎn)題型六】數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法(形如)【例6】(24-25高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí))已知數(shù)列滿(mǎn)足,且,則.【變式6-1】(23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中)在數(shù)列中,,則.【變式6-2】(23-24高三上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí))設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【考點(diǎn)題型七】數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法(形如)【例7】(2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列滿(mǎn)足,且,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【變式7-1】(24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試)數(shù)列滿(mǎn)足,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【變式7-2】(2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))在數(shù)列中,已知,,求的通項(xiàng)公式.【考點(diǎn)題型八】數(shù)列求通項(xiàng)之倒數(shù)法(形如)【例8】(2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列的首項(xiàng),,,記,若,則正整數(shù)的最大值為.【變式8-1】(24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且,則.【變式8-2】(2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))若數(shù)列{an}中,,則這個(gè)數(shù)列的【考點(diǎn)題型九】數(shù)列求和之倒序相加法【例9】(24-25高二上·上?!るA段練習(xí))已知函數(shù),數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列,且,(1)計(jì)算的值;(2)用書(shū)本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法,求的值.【變式9-1】(2024·浙江·一模)若,已知數(shù)列中,首項(xiàng),,,則.【變式9-2】(24-25高三上·山東濟(jì)寧·期中)已知函數(shù),,則的對(duì)稱(chēng)中心為;若(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【考點(diǎn)題型十】數(shù)列求和之分組求和法(形如)【例10】(2024·海南海口·模擬預(yù)測(cè))記為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式10-1】(2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè))已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿(mǎn)足:且,,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿(mǎn)足:,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式10-2】(24-25高三上·北京·階段練習(xí))已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,,且,,成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【考點(diǎn)題型十一】數(shù)列求和之分組求和法(形如)【例11】(24-25高三上·福建龍巖·期中)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,等差數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.(1)求和bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式11-1】.(24-25高三上·黑龍江大慶·階段練習(xí))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)已知,求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【變式11-2】(23-24高二下·黑龍江大慶·期末)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知且.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和【考點(diǎn)題型十二】數(shù)列求和之列項(xiàng)相消法(形如)【例12】(24-25高二上·上?!て谥校┮阎c(diǎn)是指數(shù)函數(shù)圖像上一點(diǎn),等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為,且數(shù)列bn的前項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列bn(3)若數(shù)列前項(xiàng)和為,問(wèn)的最小正整數(shù)是多少?【變式12-1】(24-25高二上·福建莆田·階段練習(xí))已知數(shù)列滿(mǎn)足:,且,等差數(shù)列的公差為正數(shù),其前項(xiàng)和為,,且、、成等比數(shù)列.(1)求、、;(2)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.【變式12-2】(24-25高二上·甘肅白銀·期中)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【考點(diǎn)題型十三】數(shù)列求和之列項(xiàng)相消法(形如)【例13】(2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,公差為,若為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式13-1】(2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,.(1)求的通項(xiàng)公式及;(2)設(shè)______,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.在①;②;③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問(wèn)中,并求解.注:如選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【考點(diǎn)題型十四】數(shù)列求和之列項(xiàng)相消法(形如)【例14】(24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列bn,,其前項(xiàng)和為,求使得對(duì)所有都成立的自然數(shù)的值.【變式14-1】(24-25高二上·山東青島·階段練習(xí))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,且.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,證明:.【變式14-2】(2024·福建泉州·二模)已知數(shù)列和bn的各項(xiàng)均為正,且,bn是公比3的等比數(shù)列.?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列,bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【考點(diǎn)題型十五】數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法【例15】(2024·福建·三模)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式15-1】(24-25高三上·江蘇蘇州·期中)已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列,,且,,成等比數(shù)列,若數(shù)列前項(xiàng)和為,并滿(mǎn)足,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式.(2)若,求數(shù)列前項(xiàng)的和.【變式15-2】(23-24高二上·河南商丘·期末)已知數(shù)列滿(mǎn)足,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【考點(diǎn)題型十六】數(shù)列求和之通項(xiàng)含絕對(duì)值求和【例16】(24-25高二上·福建寧德·階段練習(xí))在等差數(shù)列中,的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求的最大值;(3)設(shè),求.【變式16-1】(23-24高二上·天津東麗·階段練習(xí))在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,且成等差數(shù)列.(1)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和;(2)若數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值.(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和【變式16-2】(24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí))已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.【考點(diǎn)題型十七】數(shù)列中新定義題【例17】(2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))若數(shù)列滿(mǎn)足,則稱(chēng)為“自然遞增數(shù)列”.(1)若,,試判斷:數(shù)列,是否為“自然遞增數(shù)列”?(2)若等差數(shù)列是“自然遞增數(shù)列”,且,求的公差的取值范圍.(3)若數(shù)列是“自然遞增數(shù)列”,共有5項(xiàng),且,求所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列中的概率.【變式17-1】(24-25高三上·山東青島·期中)已知數(shù)列為有窮數(shù)列,且,若數(shù)列滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì),則稱(chēng)數(shù)列為的增數(shù)列:①;②對(duì)于,使得的正整數(shù)對(duì)恰有個(gè).(1)若等差數(shù)列1,3,5,7,9為的增數(shù)列,求的值;(2)若數(shù)列為的8增數(shù)列,求的最小值;(3)若存在60的增數(shù)列,求的最大值.【變式17-2】(24-25高二上·福建漳州·期中)若數(shù)列滿(mǎn)足為正整數(shù),p為常數(shù)),則稱(chēng)數(shù)列為等方差數(shù)列,p為公方差.(1)已知數(shù)列,的通項(xiàng)公式分別為:,,判斷上述兩個(gè)數(shù)列是否為等方差數(shù)列,并說(shuō)明理由;(2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,證明:數(shù)列為常數(shù)列.(3)若數(shù)列是首項(xiàng)為1,公方差為2的等方差數(shù)列,在的條件下,在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列:,,,,,,,,,,……,求數(shù)列中前30項(xiàng)的和提升訓(xùn)練一、單選題1.(24-25高三上·安徽馬鞍山·期中)已知數(shù)列滿(mǎn)足(),記數(shù)列前n項(xiàng)為,若對(duì)于任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(
)A. B. C. D.2.(24-25高二上·山東青島·期中)已知數(shù)列滿(mǎn)足,且,則(
)A.1023 B.1124 C.2146 D.21453.(24-25高三上·山東濟(jì)寧·開(kāi)學(xué)考試),利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法,可求得(
)A. B. C. D.4.(24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè))設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為,數(shù)列的前m項(xiàng)和,則m的值為(
)A.8 B.10 C.12 D.205.(24-25高三上·山東泰安·期中)已知函數(shù),其中,記,則(
)A. B. C. D.6.(2024·河北·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)滿(mǎn)足,且,設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足,則數(shù)列的前n項(xiàng)和的表達(dá)式為(
)A. B.C. D.7.(2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列是等差數(shù)列,,,設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,則(
)A. B.C. D.8.(23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí))數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為(
)A. B.C. D.二、解答題9.(24-25高二上·江蘇·期中)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)已知,求數(shù)列的最大項(xiàng),以及取得最大項(xiàng)時(shí)的值.(3)已知,求數(shù)列的前項(xiàng)和.10.(24-25高二上·山東青島·階段練習(xí))已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),且,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列前項(xiàng)的和為,求.11.(24-25高二上·浙江寧波·期中)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.12.(24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列bn,,其前項(xiàng)和為,求使得對(duì)所有都成立的自然數(shù)的值.13.(24-25高三上·福建龍巖·期中)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,等差數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.(1)求和bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.清單08數(shù)列求通項(xiàng)與求和(個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練)【清單01】累加法(疊加法)若數(shù)列滿(mǎn)足,則稱(chēng)數(shù)列為“變差數(shù)列”,求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累加法?!厩鍐?2】累乘法(疊乘法)若數(shù)列滿(mǎn)足,則稱(chēng)數(shù)列為“變比數(shù)列”,求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),利用求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累乘法?!厩鍐?3】數(shù)列求通項(xiàng)(法)對(duì)于數(shù)列,前項(xiàng)和記為;①;②②:法歸類(lèi)角度1:已知與的關(guān)系;或與的關(guān)系用,得到例子:已知,求角度2:已知與的關(guān)系;或與的關(guān)系替換題目中的例子:已知;已知角度3:已知等式中左側(cè)含有:作差法(類(lèi)似)例子:已知求【清單04】構(gòu)造法用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如(為常數(shù),)的數(shù)列,可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為(其中:),由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列,先求出的通項(xiàng),從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【清單05】倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類(lèi)型1:形如(為常數(shù),)的數(shù)列,通過(guò)兩邊取“倒”,變形為,即:,從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列,先求出的通項(xiàng),即可求得.類(lèi)型2:形如(為常數(shù),,,)的數(shù)列,通過(guò)兩邊取“倒”,變形為,可通過(guò)換元:,化簡(jiǎn)為:(此類(lèi)型符構(gòu)造法類(lèi)型1:用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列:形如(為常數(shù),)的數(shù)列,可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為(其中:),由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列,先求出的通項(xiàng),從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.)【清單06】裂項(xiàng)相消法1、等差型=1\*GB3①特別注意②如:(尤其要注意不能丟前邊的)2、無(wú)理型=1\*GB3①如:3、指數(shù)型①如:【考點(diǎn)題型一】累加法求通項(xiàng)核心方法:形如:【例1】(24-25高二上·山東·期中)在數(shù)列中,,則的通項(xiàng)公式為.【答案】;【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算、累加法求數(shù)列通項(xiàng)、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式【分析】求出,利用累加法求和得到通項(xiàng)公式.【詳解】,故,所以.故答案為:【變式1-1】(24-25高二上·上?!て谥校┤魯?shù)列滿(mǎn)足,且(其中,),則的通項(xiàng)公式是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】根據(jù)給定條件,利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng).【詳解】在數(shù)列中,,當(dāng)時(shí),,則,滿(mǎn)足上式,所以的通項(xiàng)公式是.故答案為:【考點(diǎn)題型二】累乘法求通項(xiàng)核心方法:形如:【例2】(2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè))設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題【分析】(1)根據(jù)條件,利用與間的關(guān)系,得到,再利用累積法,即可求出結(jié)果;【詳解】(1)因?yàn)棰?,所以?dāng)時(shí),②,由①②得到,整理得到,又,所以,得到,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng),滿(mǎn)足,所以.【變式2-1】(23-24高三上·四川成都·期末)已知數(shù)列數(shù)列滿(mǎn)足,,其中n∈N*.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】(1)根據(jù)已知條件,利用累乘法求;【詳解】(1)由得:,故,,,……,,,以上個(gè)式子相乘得,,故;【考點(diǎn)題型三】已知與的關(guān)系;或與的關(guān)系核心方法:用,得到【例3】(24-25高三上·遼寧沈陽(yáng)·期中)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【答案】(1)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】(1)利用、等比數(shù)列定義可得答案;【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,解得,因①,當(dāng)時(shí),②,①②得,,即,則,即,,又.所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,可得,即;【變式3-1】(2024·廣東佛山·一模)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(答案】(1)【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和,可構(gòu)造數(shù)列的遞推公式,再構(gòu)造等比數(shù)列,可求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,,兩式相減得:.所以是以為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,所以.當(dāng)時(shí),上式也成立.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為:【考點(diǎn)題型四】已知與的關(guān)系;或與的關(guān)系核心方法:替換題目中的【例4】(2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且,求通項(xiàng)公式.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】根據(jù)的關(guān)系及已知得到,由等差數(shù)列的定義寫(xiě)出的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求通項(xiàng)公式.【詳解】由,,,,即是以2為公差,1為首項(xiàng)的等差數(shù)列,,即,當(dāng)時(shí),,顯然,時(shí),上式不成立,所以.【變式4-1】(24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí))已知數(shù)列中,,且,為數(shù)列的前項(xiàng)和,,數(shù)列bn是等比數(shù)列,,.(1)求數(shù)列和bn的通項(xiàng)公式;【答案】(1),【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】(1)根據(jù)與關(guān)系和平方差公式可得,再結(jié)合等比數(shù)列的基本量計(jì)算,可得;【詳解】(1)由已知當(dāng)時(shí),,,所以,又,所以,所以,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以,所以當(dāng)時(shí),,又,所以,設(shè)等比數(shù)列bn的公比為,因?yàn)?,,所以,,解得,所以;【考點(diǎn)題型五】已知等式中左側(cè)含有:核心方法:作差法(類(lèi)似)【例5】(24-25高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí))已知數(shù)列滿(mǎn)足:,數(shù)列bn滿(mǎn)足:.(1)求數(shù)列的前15項(xiàng)和;【答案】(1)130【知識(shí)點(diǎn)】含絕對(duì)值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和、錯(cuò)位相減法求和、分組(并項(xiàng))法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】(1)由題意得,去絕對(duì)值后利用分組求和,結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】(1)因?yàn)?,解得,所?【變式5-1】(24-25高三上·重慶·期中)已知數(shù)列滿(mǎn)足,則(
)A.2 B. C. D.【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】利用時(shí),,推得,代入,求出答案.【詳解】由題意可得①,所以時(shí),②,①②得,所以,所以.故選:C.【考點(diǎn)題型六】數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法(形如)【例6】(24-25高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí))已知數(shù)列滿(mǎn)足,且,則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】利用構(gòu)造法,構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè),解得:,所以,又,則,故是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以,即,故答案為:.【變式6-1】(23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中)在數(shù)列中,,則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】利用構(gòu)造法構(gòu)造數(shù)列,即可求解.【詳解】解:因?yàn)?,所以,所以,所以?shù)列是一個(gè)等比數(shù)列,所以,所以.故答案為:.【變式6-2】(23-24高三上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí))設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分組(并項(xiàng))法求和、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】(1)推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的公比和第二項(xiàng)的值,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;【詳解】(1)解:因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足,,則,且,所以,數(shù)列是等比數(shù)列,且該數(shù)列的第二項(xiàng)為,公比為,所以,,則.【考點(diǎn)題型七】數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法(形如)【例7】(2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列滿(mǎn)足,且,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】結(jié)合遞推公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)建一個(gè)等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出構(gòu)建的數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而得解.【詳解】將兩邊同時(shí)除以,得,即.由等差數(shù)列的定義知,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以,故.故答案為:.【變式7-1】(24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試)數(shù)列滿(mǎn)足,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式,將,經(jīng)化簡(jiǎn)可知新的數(shù)列是等差數(shù)列,在變形可求得.【詳解】由題意知將等式兩邊同時(shí)除以,可得,因?yàn)?,所以可知,則數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以,所以.故答案為:【變式7-2】(2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))在數(shù)列中,已知,,求的通項(xiàng)公式.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】通過(guò)湊配法證得是等比數(shù)列,進(jìn)而求的通項(xiàng)公式.【詳解】由,得,整理得,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.故,則.【考點(diǎn)題型八】數(shù)列求通項(xiàng)之倒數(shù)法(形如)【例8】(2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列的首項(xiàng),,,記,若,則正整數(shù)的最大值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】根據(jù)遞推公式,通過(guò)構(gòu)造數(shù)列法求得,再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,求得Sn,再解不等式即可.【詳解】因?yàn)椋?,所以,又,所以,所以?shù)列為等比數(shù)列,所以,所以,所以,若,則,所以,故正整數(shù)的最大值為99,故答案為:99.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)構(gòu)造數(shù)列法求通項(xiàng)公式,以及利用公式法求等比數(shù)列的前項(xiàng)和,屬中檔題.【變式8-1】(24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且,則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】構(gòu)造數(shù)列,證明該數(shù)列是等比數(shù)列,再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求的通項(xiàng)公式.【詳解】由,即,因?yàn)?,所以?shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,即,所以.故答案為:【變式8-2】(2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))若數(shù)列{an}中,,則這個(gè)數(shù)列的【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【解析】取倒數(shù),推出數(shù)列是等差數(shù)列,然后求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.【詳解】解:由題意,數(shù)列中,,可得,所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列,所以,即,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,通項(xiàng)公式的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.【考點(diǎn)題型九】數(shù)列求和之倒序相加法【例9】(24-25高二上·上?!るA段練習(xí))已知函數(shù),數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列,且,(1)計(jì)算的值;(2)用書(shū)本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法,求的值.【答案】(1)1;(2).【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、倒序相加法求和【分析】(1)直接代入化簡(jiǎn)即可;(2)由(1),結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì),即可求解.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù),所以(2)因數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列,且,則,所以,同理,令,又,則有,故,所以.【變式9-1】(2024·浙江·一模)若,已知數(shù)列中,首項(xiàng),,,則.【答案】158【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、倒序相加法求和【分析】利用已知確定數(shù)列的通項(xiàng)公式,得出,,由函數(shù)解析式得出,結(jié)合倒序相加法求和.【詳解】,則,所以,整理得,即是常數(shù)數(shù)列,又,所以,,,則,所以,又,所以,,所以,所以.故答案為:158.【變式9-2】(24-25高三上·山東濟(jì)寧·期中)已知函數(shù),,則的對(duì)稱(chēng)中心為;若(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、判斷或證明函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、倒序相加法求和【分析】利用中心對(duì)稱(chēng)的定義求出圖象的對(duì)稱(chēng)中心,利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及倒序相加法求出通項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽,,由,得,則,因此函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心是;由,得,當(dāng)時(shí),,,,于是,即,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為:;【考點(diǎn)題型十】數(shù)列求和之分組求和法(形如)【例10】(2024·海南海口·模擬預(yù)測(cè))記為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分組(并項(xiàng))法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】(1)令,可求出的值;令,由可得,兩個(gè)等式作差推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比,即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用分組求和法可求得.【詳解】(1)解:因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)和,且,當(dāng)時(shí),則有,解得;當(dāng)時(shí),由可得,上述兩個(gè)等式作差可得,整理得,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,因此,.(2)解:因?yàn)?,所以?【變式10-1】(2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè))已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿(mǎn)足:且,,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿(mǎn)足:,,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)或(2)或【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比中項(xiàng)的應(yīng)用、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、分組(并項(xiàng))法求和【分析】(1)由等比中項(xiàng)的性質(zhì)以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出公差,從而得到通項(xiàng)公式;(2)利用分組求和法,分別計(jì)算兩種情況下數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為,由成等比數(shù)列,得,則,又,即,解得或.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.(2)由題意得,當(dāng)時(shí),,則,所以數(shù)列的前項(xiàng)和當(dāng)時(shí),,則,且,故bn是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,則.故數(shù)列的前項(xiàng)和或.【變式10-2】(24-25高三上·北京·階段練習(xí))已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,,且,,成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、分組(并項(xiàng))法求和【分析】(1)設(shè)公比為,根據(jù)等差中項(xiàng)可得,根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式列式求解即可;(2)由(1)可知:,利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,且,因?yàn)?,,成等差?shù)列,則,即,解得或(舍去),所以的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)可知:,則,所以.【考點(diǎn)題型十一】數(shù)列求和之分組求和法(形如)【例11】(24-25高三上·福建龍巖·期中)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,等差數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.(1)求和bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1),(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、錯(cuò)位相減法求和、分組(并項(xiàng))法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】(1)利用的關(guān)系求出,利用等差數(shù)列的基本量求解;(2)可分組求和,分別依據(jù)等差數(shù)列求和與錯(cuò)位相減求和.【詳解】(1)解:因?yàn)?,①所以?dāng)時(shí),,又,所以.當(dāng)時(shí),,②①式減去②式得,所以.又,所以,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為,因?yàn)?,可得,解得,所以,即bn的通項(xiàng)公式為.(2)解:因?yàn)榭傻脛t數(shù)列的前2n項(xiàng)和,令,,則,所以,,.【變式11-1】.(24-25高三上·黑龍江大慶·階段練習(xí))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)已知,求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法求和、分組(并項(xiàng))法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】(1)當(dāng)n=1時(shí)代入求出,當(dāng)時(shí)仿寫(xiě)作差即可;(2)將數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為,利用等比數(shù)列的求和公式求出,利用錯(cuò)位相減法求出即可;【詳解】(1)當(dāng)n=1時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),由,可得,兩式相減得,所以,又因?yàn)?,所以是首?xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)可知,所以,設(shè)數(shù)列bn的前項(xiàng)和為,所以,即,令,知,,,作差得,化簡(jiǎn),所以【變式11-2】(23-24高二下·黑龍江大慶·期末)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知且.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分組(并項(xiàng))法求和、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】(1)由與的關(guān)系式可得數(shù)列的遞推公式,利用累乘法可求通項(xiàng)公式;(2)由(1)知,所以,利用分組求和法求.【詳解】(1)根據(jù)題意,,,則,兩式相減得,即,所以,故的通項(xiàng)公式為;(2)由(1)知,,所以,故,.【考點(diǎn)題型十二】數(shù)列求和之列項(xiàng)相消法(形如)【例12】(24-25高二上·上?!て谥校┮阎c(diǎn)是指數(shù)函數(shù)圖像上一點(diǎn),等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為,且數(shù)列bn的前項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列bn(3)若數(shù)列前項(xiàng)和為,問(wèn)的最小正整數(shù)是多少?【答案】(1)(2)(3)72【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】(1)先設(shè)函數(shù),由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為求出,再求出,進(jìn)一步求出公比,確定其通項(xiàng)公式;(2)分解因式為,結(jié)合條件判斷為等差數(shù)列,再利用當(dāng),求.(3)裂項(xiàng)求得數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求解關(guān)于n的不等式可得最小正整數(shù).【詳解】(1)設(shè)指數(shù)函數(shù),則,即,.,.又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列,,.又公比,.(2),又,,,故為首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列,.當(dāng),,當(dāng)時(shí)也滿(mǎn)足,(3),則由,得,即,則最小正整數(shù)為72【變式12-1】(24-25高二上·福建莆田·階段練習(xí))已知數(shù)列滿(mǎn)足:,且,等差數(shù)列的公差為正數(shù),其前項(xiàng)和為,,且、、成等比數(shù)列.(1)求、、;(2)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.【答案】(1),,(2)證明見(jiàn)解析,(3)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和【分析】(1)利用遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可得出、、的值;(2)由已知條件可得出,利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立,確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由等差數(shù)列的求和公式可得出的值,結(jié)合已知條件求出的值,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用裂項(xiàng)相消法求出,結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【詳解】(1)解:因?yàn)橹獢?shù)列滿(mǎn)足:,且,由,可得,由,可得,由,可得.(2)解:由可得,且,所以,數(shù)列是公比和首項(xiàng)都為的等比數(shù)列,所以,,故.(3)解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,且,因?yàn)?,可得,因?yàn)?、、成等比?shù)列,即,因?yàn)?,解得,所以,,,且?shù)列的前項(xiàng)和為,則數(shù)列單調(diào)遞增,所以,,因?yàn)椋C上所述,對(duì)任意,.【變式12-2】(24-25高二上·甘肅白銀·期中)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1),(2),【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和【分析】(1)由得,相減可得遞推公式,進(jìn)而判斷為等比數(shù)列,從而可得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)題意計(jì)算可得數(shù)列bn的通項(xiàng)公式,進(jìn)而通過(guò)裂項(xiàng)相消法可得前n【詳解】(1)由,得,兩式相減得,即.因?yàn)?,所以,得,滿(mǎn)足.所以是首項(xiàng)為8,公比為4的等比數(shù)列,,.(2)因?yàn)椋裕?故數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為,.【考點(diǎn)題型十三】數(shù)列求和之列項(xiàng)相消法(形如)【例13】(2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,公差為,若為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】(1)運(yùn)用零點(diǎn)概念,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式計(jì)算即可;(2)運(yùn)用裂項(xiàng)相消計(jì)算即可.【詳解】(1)因?yàn)闉楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn),且,所以,又因?yàn)?,所以,解得,所以是首?xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,所以.(2)因?yàn)樗浴咀兪?3-1】(2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,.(1)求的通項(xiàng)公式及;(2)設(shè)______,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.在①;②;③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問(wèn)中,并求解.注:如選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1),;(2)答案見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式【分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差,由題意列方程求出首項(xiàng)和公差,即可求得答案;(2)不論選①、選②還是選③,都要利用(1)的結(jié)果,可得的表達(dá)式,利用裂項(xiàng)相消法求和,即得答案.【詳解】(1)由題意知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,設(shè)公差為d,則,解得,故,;(2)若選①,則,故;若選②,則,故;若選③,則,故.【考點(diǎn)題型十四】數(shù)列求和之列項(xiàng)相消法(形如)【例14】(24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列bn,,其前項(xiàng)和為,求使得對(duì)所有都成立的自然數(shù)的值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】(1)令,求出的值,令,由可得,兩式作差推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)利用裂項(xiàng)相消法求出的表達(dá)式,求出的取值范圍,可得出關(guān)于的不等式,即可得出符合條件的自然數(shù)的值.【詳解】(1)(1)解:因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為,,,當(dāng)時(shí),有,解得,當(dāng)時(shí),由可得,上述兩個(gè)等式作差可得,可得,所以,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,則.(2)(3)解:因?yàn)?,所以,,因?yàn)?,且,故?shù)列單調(diào)遞增,所以,,且,故對(duì)任意的,,因?yàn)椴坏仁綄?duì)所有恒成立,所以,,解得,因?yàn)椋瑒t的值為.【變式14-1】(24-25高二上·山東青島·階段練習(xí))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,且.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,證明:.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式【分析】(1)根據(jù)數(shù)列遞推式可推出,求出,由此可求得答案;(2)結(jié)合(1)可得的表達(dá)式,利用裂項(xiàng)求和法求出表達(dá)式,即可證明結(jié)論.【詳解】(1)將兩邊同時(shí)除以,得.所以是等差數(shù)列.當(dāng)時(shí),,公差是,得,則,①當(dāng)時(shí),,②①-②,得,整理得,則,也符合,所以.(2)證明:由(1)得,所以,因?yàn)椋?【變式14-2】(2024·福建泉州·二模)已知數(shù)列和bn的各項(xiàng)均為正,且,bn是公比3的等比數(shù)列.?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列,bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1),(2)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、分組(并項(xiàng))法求和、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】(1)利用遞推公式可證得數(shù)列是等差數(shù)列,可求出數(shù)列的通項(xiàng);利用等比數(shù)列的性質(zhì),可求出bn通項(xiàng);(2)根據(jù)裂項(xiàng)相消和分組求和法求解即可;【詳解】(1)由題設(shè),當(dāng)時(shí)或(舍),由,知,兩式相減得,(舍)或,即,∴數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,.又.(2)則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.所以.【考點(diǎn)題型十五】數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法【例15】(2024·福建·三模)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1),;(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、錯(cuò)位相減法求和【分析】(1)設(shè)出公差,根據(jù)題目條件得到方程組,求出,得到通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和;(2),利用錯(cuò)位相減法求和得到答案.【詳解】(1)設(shè)公差為,則,,解得,故;;(2),故①,則②,式子①-②得,所以.【變式15-1】(24-25高三上·江蘇蘇州·期中)已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列,,且,,成等比數(shù)列,若數(shù)列前項(xiàng)和為,并滿(mǎn)足,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式.(2)若,求數(shù)列前項(xiàng)的和.【答案】(1);(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、錯(cuò)位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】(1)利用等差數(shù)列的基本量可求出;利用和的關(guān)系,構(gòu)造出即可求出;(2)利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,且,,成等比數(shù)列知:,整理得:,即或者,因?yàn)楣畲笥?,故.且,故.數(shù)列前項(xiàng)和為,并滿(mǎn)足①,且,解得,故當(dāng)時(shí),②,①式減②式得:,即,故是公比為2的等邊數(shù)列,則,故(2),故則故故則【變式15-2】(23-24高二上·河南商丘·期末)已知數(shù)列滿(mǎn)足,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、錯(cuò)位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】(1)分和兩種情況,根據(jù)前n項(xiàng)積與之間的關(guān)系分析求解;(2)由(1)可知,利用錯(cuò)位相減法運(yùn)算求解.【詳解】(1)因?yàn)?,?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,可得;且符合,所以.(2)由(1)可知,則,可得,兩式相減得,所以.【考點(diǎn)題型十六】數(shù)列求和之通項(xiàng)含絕對(duì)值求和【例16】(24-25高二上·福建寧德·階段練習(xí))在等差數(shù)列中,的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求的最大值;(3)設(shè),求.【答案】(1)(2)36(3)【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、含絕對(duì)值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】(1)求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng),即可求得通項(xiàng)公式;(2)利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,即可求得答案;(3)判斷數(shù)列的項(xiàng)的正負(fù)情況,討論的取值,結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,即可求得答案.【詳解】(1)解:由題意知在等差數(shù)列中,,設(shè)公差為,則,解得,則,故,∴通項(xiàng)公式為;(2)解:由(1)可得前項(xiàng)和,∴當(dāng)時(shí),取最大值;(3)解:∵,∴當(dāng)時(shí),得,即時(shí)有,時(shí)有,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,綜上所述.【變式16-1】(23-24高二上·天津東麗·階段練習(xí))在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,且成等差數(shù)列.(1)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和;(2)若數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值.(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1),;(2)25;(3).【知識(shí)點(diǎn)】含絕對(duì)值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和、二次函數(shù)法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】(1)根據(jù)給定條件,求出數(shù)列的公比即可求出通項(xiàng)及前n項(xiàng)和.(2)求出,再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即得.(3)判斷數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng),再借助(2)中結(jié)論分段求和即得.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,,由成等差數(shù)列,得,即,整理得,而,解得,又,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式,.(2)由(1)得,,則,且,于是數(shù)列是首項(xiàng)為9,公差為的等差數(shù)列,所以,所以當(dāng)時(shí),取得最大值25.(3)由(2)知,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,所以.【變式16-2】(24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí))已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列bn的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、含絕對(duì)值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】(1)由,求得,再由,得到,求得,進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1),利用等差數(shù)列的求和公式,求得,令,得到時(shí),,時(shí),,根據(jù),分類(lèi)討論,即可求解.【詳解】(1)解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?,可得,所以,又因?yàn)?,所以,所以,所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)解:由(1)知,,可得,令,即,解得,所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,且?shù)列bn的前項(xiàng)和,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,綜上可得,數(shù)列bn的前項(xiàng)和.【考點(diǎn)題型十七】數(shù)列中新定義題【例17】(2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))若數(shù)列滿(mǎn)足,則稱(chēng)為“自然遞增數(shù)列”.(1)若,,試判斷:數(shù)列,是否為“自然遞增數(shù)列”?(2)若等差數(shù)列是“自然遞增數(shù)列”,且,求的公差的取值范圍.(3)若數(shù)列是“自然遞增數(shù)列”,共有5項(xiàng),且,求所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列中的概率.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率、數(shù)列新定義【分析】(1)由,單調(diào)遞增即可判斷,對(duì)于數(shù)列bn,通過(guò)反例即可說(shuō)明;(2)通過(guò)討論或.兩類(lèi)情況可求解;(3)通過(guò),和確定基本事件總數(shù),再結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】(1)對(duì)于數(shù)列,,隨的增大而增大,滿(mǎn)足,所以是“自然遞增數(shù)列”.對(duì)于數(shù)列bn,,則,,,,,不滿(mǎn)足,故bn不是“自然遞增數(shù)列”.(2)由題意可得,則,由是“自然遞增數(shù)列”可得對(duì)任意的,單調(diào)遞增,由可得,解得或.當(dāng)時(shí),令,得,所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,又,所以對(duì)任意的,單調(diào)遞增,符合條件.當(dāng)時(shí),,由,可得單調(diào)遞增,符合條件.綜上可知,公差的取值范圍為.(3)由可知的最小值為0,最大值為5.(?。┤簦瑒t或,則,,,,所以,或,或,或,此時(shí)滿(mǎn)足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為.(ⅱ)若,則,則或4.①若,則或,則,即或,則,即或,則,即,此時(shí)滿(mǎn)足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為.②若,則.當(dāng)時(shí),,若,則,則或,即或,若,則或,則,即;當(dāng)時(shí),或,則,,即或,.此時(shí),滿(mǎn)足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為.綜上可知,所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為.故所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列中的概率.【點(diǎn)睛】新定義問(wèn)題的方法和技巧:(1)可通過(guò)舉例子的方式,將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用,從而加深對(duì)信息的理解;(2)可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容,如果能清晰描述,那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹;(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系,并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律;【變式17-1】(24-25高三上·山東青島·期中)已知數(shù)列為有窮數(shù)列,且,若數(shù)列滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì),則稱(chēng)數(shù)列為的增數(shù)列:①;②對(duì)于,使得的正整數(shù)對(duì)恰有個(gè).(1)若等差數(shù)列1,3,5,7,9為的增數(shù)列,求的值;(2)若數(shù)列為的8增數(shù)列,求的最小值;(3)若存在60的增數(shù)列,求的最大值.【答案】(1)35(2)8(3)450【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列新定義【分析】(1)根據(jù)題意,由m的k增數(shù)列的定義求得m和k的值.(2)根據(jù)題意,由m的8增數(shù)列的定義,有,并且對(duì)于,使得的正整數(shù)對(duì)恰有個(gè),根據(jù)這兩個(gè)條件分析m的取值范圍,求出最小值.(3)由題意得,若存在60的增數(shù)列,則根據(jù)定義分析當(dāng)k最大時(shí)數(shù)列各項(xiàng)的特征,包括各項(xiàng)是否相等,各項(xiàng)的值為多少,相鄰項(xiàng)的差值是多少,確定出數(shù)列的特征后再具體計(jì)算出k的值.【詳解】(1)由題意得,根據(jù)m的k增數(shù)列的定義,,因?yàn)?,所以?duì)于,使得的正整數(shù)對(duì)有:共10對(duì),所以,于是.(2)由題意得,數(shù)列為的8增數(shù)列,即,且對(duì)于,使得的正整數(shù)對(duì)恰有個(gè).所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng),所以且.若,則滿(mǎn)足要求的數(shù)列中有五項(xiàng)為1,一項(xiàng)為2,所以,不符合題意,所以;若,則滿(mǎn)足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1,兩項(xiàng)為2,此時(shí)數(shù)列為,滿(mǎn)足要求的整數(shù)對(duì)分別為,符合m的8增數(shù)列,所以當(dāng)時(shí),存在m的8增數(shù)列,故m的最小值為8.(3)由題意得,若數(shù)列中的每個(gè)項(xiàng)都相等,則,若,則數(shù)列中存在大于1的項(xiàng),若首項(xiàng),則將拆分成個(gè)1后k變大,所以此時(shí)k不是最大值,故.當(dāng)時(shí),若,則交換和順序后k變?yōu)?,所以此時(shí)k不是最大值,所以.若,則,此時(shí)將變?yōu)?,并在?shù)列首位添加一項(xiàng)1,則k值變大,所以此時(shí)k不是最大值,所以.若數(shù)列中存在相鄰的兩項(xiàng),設(shè)此時(shí)中有x項(xiàng)為2,將改為2,并在數(shù)列首位前添加個(gè)1后,k的值至少變?yōu)?,所以此時(shí)k也不是最大值.綜上,若k為最大值,則數(shù)列中的各項(xiàng)只能為1或2,所以數(shù)列為的形式.設(shè)其中有x項(xiàng)為1,y項(xiàng)為2,因?yàn)榇嬖?0的k增數(shù)列,所以,所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),k取最大值450.【點(diǎn)睛】本題是數(shù)列有關(guān)的新定義問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確理解題中對(duì)于“的增數(shù)列”的定義,特別是條件②中的正整數(shù)對(duì)指的是數(shù)列下標(biāo)而非數(shù)列項(xiàng)本身;其次在最后一問(wèn)的證明過(guò)程中,需要把多種情況都考慮到,只有全面分析數(shù)列滿(mǎn)足的條件才能準(zhǔn)確得出項(xiàng)的特征,而考慮的方面其實(shí)從前兩問(wèn)中可以分析出來(lái).【變式17-2】(24-25高二上·福建漳州·期中)若數(shù)列滿(mǎn)足為正整數(shù),p為常數(shù)),則稱(chēng)數(shù)列為等方差數(shù)列,p為公方差.(1)已知數(shù)列,的通項(xiàng)公式分別為:,,判斷上述兩個(gè)數(shù)列是否為等方差數(shù)列,并說(shuō)明理由;(2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,證明:數(shù)列為常數(shù)列.(3)若數(shù)列是首項(xiàng)為1,公方差為2的等方差數(shù)列,在的條件下,在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列:,,,,,,,,,,……,求數(shù)列中前30項(xiàng)的和【答案】(1)為等方差數(shù)列,不是等方差數(shù)列,理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列新定義【分析】(1)根據(jù)等方差數(shù)列的定義,即可判斷;(2)根據(jù)等差數(shù)列及等方差數(shù)列的定義即可求解;(3)首先說(shuō)明是等比數(shù)列,再根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列求和公式,即可求解.【詳解】(1)因?yàn)槌?shù)),所以數(shù)列為等方差數(shù)列,1為公方差;因?yàn)?,所以?shù)列不是等方差數(shù)列.(2)證明:因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,設(shè)其公差為d,則又是等方差數(shù)列,所以故,所以,即,所以,故是常數(shù)列.(3)由題意知數(shù)列是首項(xiàng)為1,公方差為2的等方差數(shù)列,故,而,所以;是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,而新數(shù)列中項(xiàng)(含前共有項(xiàng),令,結(jié)合,解得,故數(shù)列中前30項(xiàng)含有的前7項(xiàng)和數(shù)列的前23項(xiàng),所以數(shù)列中前30項(xiàng)的和.【點(diǎn)睛】解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問(wèn)題的策略:(1)通過(guò)給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義,或約定的一種新運(yùn)算,或給出的由幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)的新問(wèn)題的情景,要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題設(shè)所提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法,實(shí)現(xiàn)信息的遷移,達(dá)到靈活解題的目的.(2)遇到新定義問(wèn)題,需耐心研究題中信息,分析新定義的特點(diǎn),搞清新定義的本質(zhì),按新定義的要求“照章辦事”,逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證,使問(wèn)題得以順利解決.(3)類(lèi)比“熟悉數(shù)列”的研究方式,用特殊化的方法研究新數(shù)列,向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏.提升訓(xùn)練一、單選題1.(24-25高三上·安徽馬鞍山·期中)已知數(shù)列滿(mǎn)足(),記數(shù)列前n項(xiàng)為,若對(duì)于任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、裂項(xiàng)相消法求和【分析】將數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系,求得數(shù)列遞推公式,進(jìn)而可得通項(xiàng),將題設(shè)中的數(shù)列的通項(xiàng)展開(kāi)裂項(xiàng),運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和,求得和式的范圍即得.【詳解】依題意,當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),,可得,即.故是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故.所以,所以,因不等式恒成立,故的取值范圍是.故選:A2.(24-25高二上·山東青島·期中)已知數(shù)列滿(mǎn)足,且,則(
)A.1023 B.1124 C.2146 D.2145【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、分組(并項(xiàng))法求和【分析】分析奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn),分組求和即可.【詳解】根據(jù)遞推公式可知:數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)依次為:,,,…,為等比數(shù)列;數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為:,,,…,為等差數(shù)列.所以.故選:C3.(24-25高三上·山東濟(jì)寧·開(kāi)學(xué)考試),利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法,可求得(
)A. B. C. D.【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和【分析】利用求解即可.【詳解】,故,故……,故.故選:D4.(24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè))設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為,數(shù)列的前m項(xiàng)和,則m的值為(
)A.8 B.10 C.12 D.20【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和【分析】運(yùn)用裂項(xiàng)相消法,結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶(hù)所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶(hù)上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶(hù)上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶(hù)因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 股權(quán)捐贈(zèng)協(xié)議書(shū)
- 在農(nóng)村分家分房協(xié)議書(shū)
- 租賃空調(diào)協(xié)議書(shū)
- 菜籽收購(gòu)協(xié)議書(shū)
- 職工派遣協(xié)議書(shū)
- 桌游店入股合同協(xié)議書(shū)
- 電梯索賠協(xié)議書(shū)
- 美國(guó)垃圾協(xié)議書(shū)
- 資料委托協(xié)議書(shū)
- 股東陽(yáng)光協(xié)議書(shū)
- 數(shù)據(jù)中心的網(wǎng)絡(luò)管理實(shí)踐試題及答案
- 2024年中考二模 歷史(四川成都卷)(考試版A4)
- 粉刷墻面施工協(xié)議書(shū)
- 輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)招聘合同協(xié)議
- 青年創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)試題及答案
- 《2025年CSCO腎癌診療指南》解讀課件
- 村干部測(cè)試試題及答案
- 《新能源汽車(chē)發(fā)展歷程》課件
- 2025年四川省成都市青羊區(qū)中考二診化學(xué)試題(原卷版+解析版)
- 預(yù)收貨款協(xié)議合同
- 北京開(kāi)放大學(xué)2025年《企業(yè)統(tǒng)計(jì)》形考作業(yè)3答案
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論