第二章點(diǎn)線面1

投影的基本知識(shí)直線的投影換面法第二章點(diǎn)直線平面的投影要求：掌握有關(guān)投影的概念；掌握點(diǎn)、直線、平面的投影特性，并能夠熟練作出其投影圖；掌握換面法及其應(yīng)用。要求概念清楚，作圖準(zhǔn)確。重點(diǎn)：各種幾何元素的性質(zhì)和投影規(guī)律；點(diǎn)和直線位于平面上的幾何條件和投影特性；換面法及其應(yīng)用。難點(diǎn)：重影點(diǎn)；換面法。點(diǎn)的投影平面的投影第一節(jié)投影的基本知識(shí)一、投影的形成和分類PACBabc投射線投影空間物體投影面SS投射中心PACBabc中心投影PACBabcSPACBabcS正投影斜投影平行投影中心投影平行投影正投影斜投影第一節(jié)投影的基本知識(shí)一、投影的形成和分類按照投射線是否彼此平行，投影可分為中心投影法和平行投影法兩大類：第一節(jié)投影的基本知識(shí)二、投影法的特性(1)具備三個(gè)要素：形體、投射線和投影面。AaPA1A2(2)在投影面和投射中心或投射方向確定之后，形體上每一點(diǎn)必有其唯一的一個(gè)投影與之對(duì)應(yīng)。(3)形體上一點(diǎn)的一個(gè)投影不能唯一確定其空間位置。投影法的一般特性：1)真實(shí)性：當(dāng)平面幾何圖形平行于投影面時(shí)，投影反映其實(shí)形；PPP真實(shí)性積聚性類似性第一節(jié)投影的基本知識(shí)二、投影法的特性工程中一般用多面正投影來(lái)圖示三維形體。正投影法的特性：2)積聚性：當(dāng)平面幾何圖形垂直于投影面時(shí)，投影積聚為點(diǎn)或直線；3)類似性。當(dāng)平面幾何圖形傾斜于投影面時(shí)，投影為原圖形的類似形，即直線的投影為直線、N邊形的投影為N邊形、圓的投影為橢圓。第二節(jié)點(diǎn)的投影一、三投影面體系的建立IIIIIIIVVVIVIIIVHXOWYZVHXOWYZ正立投影面?zhèn)攘⑼队懊嫠酵队懊嫱队拜SYHXYWZVHWXYZVWHOAaa’a”aa’a”實(shí)際上，三投影面體系可看作是三維直角坐標(biāo)系。因此，點(diǎn)的位置可由它的三面投影確定，也可用它的三個(gè)直角坐標(biāo)來(lái)確定。第二節(jié)點(diǎn)的投影二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影1.點(diǎn)的三面投影展開并去掉投影面的范圍點(diǎn)的投影特性：YHXYWZXYZVWHOAaa’a”aa’a”1)點(diǎn)的投影連線垂直于投影軸。2)點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于該點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的相鄰?fù)队懊娴木嚯x，也等于點(diǎn)的坐標(biāo)。空間點(diǎn)到W、V、H的距離分別為該點(diǎn)的X、Y、Z坐標(biāo)。第二節(jié)點(diǎn)的投影二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影2.點(diǎn)的投影特性YHXYWZ已知A、B兩點(diǎn)的兩個(gè)投影，試補(bǔ)畫它們的第三投影。ba'例：aa"b"b'結(jié)論已知一點(diǎn)的任意兩個(gè)投影，可求出該點(diǎn)的第三個(gè)投影。第二節(jié)點(diǎn)的投影二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影2.點(diǎn)的投影特性YY例：已知點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為A（20，15，25），畫出該點(diǎn)的三面投影。a'a"aX=20Z=25Y=15Y=15o第二節(jié)點(diǎn)的投影二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影2.點(diǎn)的投影特性YHXYWZVHWXYZVWHOAaa’a”a’aa”Bb’b”bb’b”b1）投影面上的點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)為零，在該投影面上的投影與空間點(diǎn)重合，在另兩個(gè)投影面上的投影分別在相應(yīng)的投影軸上。Cc’c”cc’c”c2）投影軸上的點(diǎn)有兩個(gè)坐標(biāo)為零，在包含該軸的兩個(gè)投影面上的投影與空間點(diǎn)重合，在另一投影面上的投影與原點(diǎn)重合。第二節(jié)點(diǎn)的投影二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影3.特殊位置的點(diǎn)的投影特性3)位于原點(diǎn)上的點(diǎn)，其三個(gè)坐標(biāo)值為零，且它在三個(gè)投影面上的投影都與原點(diǎn)重合。OAaYWVHOXWYZXZYHa"a'Bb"bb'a"aa'bb'b"結(jié)論：水平投影——前后，左右；正面投影——上下，左右；側(cè)面投影——前后，上下。由立體圖知A、B兩點(diǎn)的空間位置關(guān)系：A點(diǎn)在B點(diǎn)的左前上方；或：B點(diǎn)在A點(diǎn)的右后下方。第二節(jié)點(diǎn)的投影二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影4.兩點(diǎn)的相對(duì)位置

空間兩個(gè)點(diǎn)，若它們?cè)谀硞€(gè)投影面上的投影重合，則稱這兩個(gè)點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。OYWXZYHa"aa'b（b'）b"AaVHOXWYZa"a'Bb"bb'第二節(jié)點(diǎn)的投影二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影5.重影點(diǎn)通常把不可見點(diǎn)的投影符號(hào)加上括號(hào)。問題：已知，A、B兩點(diǎn)的三面投影，求直線AB的三面投影。第三節(jié)直線的投影一、直線的投影及其投影特性O(shè)YWXZYHba'aa"b"b'結(jié)論：直線的投影可由直線上任意兩點(diǎn)的投影來(lái)決定。1.直線的投影ABCDEFabcde(f)垂直于投影面的直線，在該投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。平行于投影面的直線，在該投影面上的投影反映線段實(shí)長(zhǎng)。不垂直于投影面的直線，其投影仍為直線，長(zhǎng)度小于線段實(shí)長(zhǎng)。第三節(jié)直線的投影一、直線的投影及其投影特性2.直線的投影特性二、直線對(duì)投影面的相對(duì)位置一般位置直線正平線//V面投影面平行線水平線//H面

側(cè)平線//W面正垂線⊥V面（//H面、//W面）

投影面垂直線鉛垂線⊥H面

（//V面、//W面）

側(cè)垂線⊥W面

（//H面、//V面）

直線與其水平投影、正面投影、側(cè)面投影的夾角，稱為該直線對(duì)H面、V面、W面的傾角，分別用α、β、γ表示。第三節(jié)直線的投影1.一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線。VHWBAbaa'b'a"b"αβγXZYHYWa'a"b'b"ba投影特性：直線的三面投影都傾斜于投影軸、且投影的長(zhǎng)度小于直線的實(shí)長(zhǎng)；直線的投影與投影軸的夾角均不反映直線對(duì)投影面的傾角。二、直線對(duì)投影面的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影XZYHYW2.投影面平行線(1)正平線VHWBAabb'a'a"b"b"a'a"b'ba正面投影反映直線實(shí)長(zhǎng)，投影與投影軸的夾角反映α和γ。其余兩投影平行于相應(yīng)的投影軸。αγ二、直線對(duì)投影面的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影(2)水平線XZYHYWVHWBAabb'a'a"b"a'b"b'a"ba水平投影反映直線實(shí)長(zhǎng)，投影與投影軸的夾角反映β和γ。其余兩投影平行于相應(yīng)的投影軸。γβ2.投影面平行線二、直線對(duì)投影面的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影(3)側(cè)平線XZYHYWVHWBAabb'a'a"b"b"b'a"baa'側(cè)面投影反映直線實(shí)長(zhǎng)，投影與投影軸的夾角反映α和β

。其余兩投影平行于相應(yīng)的投影軸。βα2.投影面平行線二、直線對(duì)投影面的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影3.投影面垂直線(1)正垂線正面投影積聚為一點(diǎn)，其余兩投影垂直于相應(yīng)的投影軸，并反映直線的實(shí)長(zhǎng)。VHWBAXZYHYWaba'（b'）a"b"b"a"baa'（b'）二、直線對(duì)投影面的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影(2)鉛垂線水平投影積聚為一點(diǎn)，其余兩投影垂直于相應(yīng)的投影軸，并反映直線的實(shí)長(zhǎng)。VHWBAXZYHYWa（b）a'b"a"b"a"a'b'a（b）b'3.投影面垂直線二、直線對(duì)投影面的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影(3)側(cè)垂線側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)，其余兩投影垂直于相應(yīng)的投影軸，并反映直線的實(shí)長(zhǎng)。VHWBAXZYHYWaa'(b"）a"（b"）a"a'b'ab'bb3.投影面垂直線二、直線對(duì)投影面的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影從屬性：位于直線上的點(diǎn)，其投影一定在它所在直線的同面投影上，反之亦然。定比性：位于直線上的點(diǎn)，其分割直線段長(zhǎng)度之比在投影后保持不變

。ABCabcc'a'b'HVXOXOa'b'c'acb三、點(diǎn)與直線的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影XOa'b'k'akb例：已知直線AB及點(diǎn)K的投影，試判斷點(diǎn)K是否屬于AB。本題有兩種解題方法（1從屬性2定比性）。a"b"k"a'k'akb'k'bk三、點(diǎn)與直線的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影例：已知直線CD的投影，點(diǎn)E在CD上，CE∶ED=m∶n，試求點(diǎn)E的投影。mnXOc'd'cdmne'e三、點(diǎn)與直線的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影空間兩直線的相對(duì)位置有平行、相交、交叉三種情況

。其中，平行和相交屬于同面直線，而交叉屬于異面直線。四、兩直線的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影BDACADCBKABCDEFabcddcabbdcake(f)平行兩直線相交兩直線交叉兩直線平行兩直線的投影特性為：空間相互平行的兩直線，其同面投影必相互平行；反之，若兩直線的同面投影分別平行，則這兩條直線在空間也彼此平行。四、兩直線的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影1.平行兩直線[例]

已知AB∥CD，試補(bǔ)全AB、CD的兩面投影。d′aa′b′c′bdcXO四、兩直線的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影1.平行兩直線[例]判斷兩條側(cè)平線AB、CD是否平行。d′aa′b′c′bdcXOYwYHZa″b″d″c″答：AB與CD不平行相交兩直線的交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)。四、兩直線的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影2.相交兩直線相交兩直線的投影特性為：相交兩直線的同面投影均相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影性質(zhì)。反之亦然。a″c″ZWVHYXOabdcBKb″d″k″kb′c′a′d′k′CDAd′aa′b′c′bdcXOk′kYwYHZc″a″d″b″k″[例]試過E點(diǎn)作直線，使該直線與AB、CD都相交。四、兩直線的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影2.相交兩直線d′aa′b′c′bcdXOee′k2k1k1′k2′[例]判斷直線AB與CD是否相交。四、兩直線的相對(duì)位置第三節(jié)直線的投影2.相交兩直線d′aa′b′c′bdcXZOYwYHXOd′a′b′c′bc