2024-2025學年新教材高中數(shù)學第四章概率與統(tǒng)計4.2隨機變量4.2.5正態(tài)分布課后提升訓練含解析新人教B版選擇性必修第二冊

PAGE4.2.5正態(tài)分布課后篇鞏固提升基礎達標練1.正態(tài)曲線關于y軸對稱,當且僅當它所對應的隨機變量的期望為()A.1 B.-1C.0 D.不確定解析因為X=μ為其對稱軸,所以μ=0.答案C2.設X~N(10,0.64),則D(X)等于()A.0.8 B.0.64 C.0.642 D.6.4解析因為X~N(10,0.64),所以D(X)=0.64.答案B3.(多選)設兩個正態(tài)分布N(μ1,σ12)(σ1>0)和N(μ2,σ22)(σ2A.μ1<μ2 B.μ1>μ2C.σ1<σ2 D.σ1>σ2解析μ是期望,σ2是方差,μ是密度函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交點的位置,所以μ1<μ2.圖像越“瘦高”,數(shù)據(jù)越集中,σ2越小,所以σ1<σ2.故選AC.答案AC4.若隨機變量X~N(μ,σ2),則Y=aX+b聽從()A.N(aμ,σ2) B.N(0,1)C.NμaD.N(aμ+b,a2σ2)解析因為X~N(μ,σ2),所以E(X)=μ,D(X)=σ2.所以E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=aμ+b,D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2σ2.從而Y~N(aμ+b,a2σ2).答案D5.為弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化,市教化局對全市全部中小學生進行了“成語”聽寫測試,經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析,發(fā)覺本次聽寫測試成果聽從正態(tài)分布N(78,16).試依據(jù)正態(tài)分布的相關學問估計測試成果大于90的學生所占的百分比為()A.0.15% B.1.5% C.3% D.3.3%解析由題意,μ=78,σ=4,在區(qū)間[66,90]的概率為0.997,成果大于90的學生所占的百分比為12(1-0.997)=0.15%,故選A答案A6.已知正態(tài)分布N(μ,σ2)的密度曲線是f(x)=12πσe-(①對隨意x∈R,f(μ+x)=f(μ-x)成立;②假如隨機變量X聽從N(μ,σ2),且F(x)=P(X<x),那么F(x)是R上的增函數(shù);③假如隨機變量X聽從N(108,100),那么X的期望是108,標準差是100;④隨機變量X聽從N(μ,σ2),P(X<1)=12,P(X≥2)=p,則P(0<X<2)=1-2其中,真命題的序號是.

解析假如隨機變量X聽從N(108,100),那么X的期望是108,標準差是10,故③是假命題,其余都是真命題.答案①②④7.燈泡廠生產(chǎn)的某種燈泡的壽命為X(單位:小時),已知X~N(1000,302),要使這種燈泡的平均壽命為1000小時的概率約為99.7%,問燈泡的最低壽命應限制在多少小時以上?解因為X~N(1000,302),所以μ=1000,σ=30.所以P(1000-3×30≤X≤1000+3×30)=P(910≤X≤1090)≈99.7%.所以燈泡的最低壽命應限制在910小時以上.8.在某次數(shù)學考試中,考生的成果X聽從正態(tài)分布N(90,100).(1)試求考生成果X位于區(qū)間[70,110]內(nèi)的概率;(2)若這次考試共有2000名考生參與,試估計成果在[80,100]內(nèi)的考生大約有多少人?解因為X~N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.(1)由于正態(tài)分布N(μ,σ2)在區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ]內(nèi)取值的概率約是0.954,而在該正態(tài)分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考生成果X位于區(qū)間[70,110]內(nèi)的概率約為0.954.(2)由于μ=90,σ=10,所以μ-σ=90-10=80,μ+σ=90+10=100.由于正態(tài)分布N(μ,σ2)在區(qū)間[μ-σ,μ+σ]內(nèi)取值的概率約為0.683,所以考生成果X位于區(qū)間[80,100]內(nèi)的概率約是0.683.一共有2000名考生,成果在[80,100]內(nèi)的概率約為0.683,所以在這2000名考生中,成果在[80,100]內(nèi)的人數(shù)大約為2000×0.683=1366.實力提升練1.(2024天津南開中學高二期末)設隨機變量X~N(3,1.52),P(X<4)=0.7,則P(X≤2)=()A.0.3 B.0.4C.0.2 D.0.1解析由于P(X<4)=0.7,故P(X≥4)=0.3,則P(X≤2)=P(X≥4)=0.3,故選A.答案A2.(2024山東高三期末)已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,則P(-2<ξ<1)=()A.0.2 B.0.3C.0.4 D.0.6解析由題意可知μ=1,正態(tài)分布曲線關于x=1對稱,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1,依據(jù)對稱性可知,P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.故選C.答案C3.(多選)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:kg)分別聽從正態(tài)分布N(μ1,δ12),N(μ2,δ2A.甲類水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kgB.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量聽從正態(tài)分布的參數(shù)δ2=1.99解析由圖像可知,甲類水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kg,乙類水果的平均質(zhì)量μ2=0.8kg,故A,C正確;甲圖像比乙圖像更高瘦,所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右,故B正確;乙類水果的質(zhì)量聽從的正態(tài)分布的最大值為1.99,即12πδ2=1.99,δ2故選ABC.答案ABC4.(2024山東高三月考)某班有48名學生,一次考試后的數(shù)學成果聽從正態(tài)分布(注:P(μ-σ,μ+σ)=0.683),平均分為110,標準差為10,理論上說在110分到120分的人數(shù)是()A.8 B.16 C.20 D.32解析∵數(shù)學成果近似地聽從正態(tài)分布N(110,102),P(|X-u|<σ)=0.683,∴P(|X-110|<10)=0.683,依據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知,位于110分到120分之間的概率是位于100分到120分之間的概率的一半,∴理論上說在110分到120分的人數(shù)是12×0.683×48≈16故選B.答案B5.(2024陜西高三月考)若隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(9,16),則μ+σ=,P(-3<ξ≤13)=.

參考數(shù)據(jù):若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9973.解析依題意,ξ~N(9,42),其中μ=9,σ=4,∴μ+σ=13,故P(-3<ξ≤13)=P(μ-3σ<ξ≤μ+σ)=P=0.9973+0.68272答案130.846.(2024廣東高三開學考試)探討某市農(nóng)科奇觀的某種作物,其單株生長果實個數(shù)x聽從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.1,從中隨機抽取10株,果實個數(shù)在[90,110]的株數(shù)記作隨機變量X,假設X聽從二項分布,則X的方差為.

解析因為x~N(90,σ2),所以P(90≤x≤110)=12-P(x>110),而P(x>110)=P(x<70)=0.1所以P(90≤x≤110)=0.4,而X~B(10,0.4),所以D(X)=10×0.4×0.6=2.4.答案2.47.(2024海南楓葉國際學校高二期末)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).依據(jù)長期生產(chǎn)閱歷,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸聽從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,假如出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查,試用所學學問說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性.附:若隨機變量Z聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592.解(1)由題可知尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9974,則落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為1-0.9974=0.0026,因為P(X=0)=C160×(1-0.9974)0×0.997416≈0所以P(X≥1)=1-P(X=0)=0.0408,又因為X~B(16,0.0026),所以E(X)=16×0.0026=0.0416.(2)假如生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種狀況,就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.8.(2024山東夏津第一中學高三月考)2024年6月25日,《固體廢物污染環(huán)境防治法(修訂草案)》初次提請全國人大常委會審議,草案對“生活垃圾污染環(huán)境的防治”進行了專章規(guī)定.草案提出,國家推行生活垃圾分類制度.為了了解人民群眾對垃圾分類的相識,某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類網(wǎng)絡學問問卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參與機會,通過隨機抽樣,得到參與問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如表所示:得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2515020025022510050(1)由頻數(shù)分布表可以認為,此次問卷調(diào)查的得分Z聽從正態(tài)分布N(μ,210),μ近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表),請利用正態(tài)分布的學問求P(36<Z<79.5);(2)在(1)的條件下,市環(huán)保部門為此次參與問卷調(diào)查的市民制定如下嘉獎方案:①得分不低于μ的可以獲贈2次隨機話費,得分低于μ的可以獲贈1次隨機話費;②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為:獲贈的隨機話費/元2040概率21現(xiàn)市民小王要參與此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參與問卷調(diào)查獲贈的話費,求X的分布列及數(shù)學期望.附:①210≈14.5;②若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974.解(1)依據(jù)題中所給的統(tǒng)計表,結(jié)合題中所給的條件,可以求得μ=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65.又36≈65-2210,79.5≈65+210,所以P(36<Z<79.5)=12×0.9545+12×0.6826=0.(2)依據(jù)題意可以得出所得話費的可能值有20,40,60,80元,得20元的狀況為低于平均值,概率P=12×23=13,得40元的狀況有一次機會獲得40元,兩次機會獲得2個20元,概