2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-第五章5.45.4.3A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．函數(shù)y＝tan(x＋eq\f(π,4))的定義域是(A)A．{x∈R|x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z}B．{x∈R|x≠kπ－eq\f(π,4)，k∈Z}C．{x∈R|x≠2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z}D．{x∈R|x≠2kπ－eq\f(π,6)，k∈Z}[解析]由正切函數(shù)的定義域可得，x＋eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴x≠eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z.故函數(shù)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z}．2．已知函數(shù)y＝tan(2x＋φ)的圖象過點(diǎn)(eq\f(π,12)，0)，則φ可以是(A)A．－eq\f(π,6) B．eq\f(π,6)C．－eq\f(π,12) D．eq\f(π,12)[解析]∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)(eq\f(π,12)，0)，∴tan(eq\f(π,6)＋φ)＝0，∴eq\f(π,6)＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z，令k＝0，則φ＝－eq\f(π,6)，故選A．3．函數(shù)f(x)＝tan(ωx－eq\f(π,4))與函數(shù)g(x)＝sin(eq\f(π,4)－2x)的最小正周期相同，則ω＝(A)A．±1 B．1C．±2 D．2[解析]eq\f(π,|ω|)＝eq\f(2π,|－2|)，ω＝±1.4．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是(A)[解析]由f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，知f(x＋2π)＝tan[eq\f(1,2)(x＋2π)－eq\f(π,3)]＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))＝f(x)．∴f(x)的周期為2π，解除B，D．令taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))＝0，得eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)．∴x＝2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，若k＝0，則x＝eq\f(2π,3)，即圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，故選A．5．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(3π,2)))，則函數(shù)的值域?yàn)?C)A．(eq\r(3)，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，＋∞))C．(－eq\r(3)，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))[解析]由eq\f(2π,3)<x<eq\f(3π,2)，即－eq\f(3π,2)<－x<－eq\f(2π,3)，得eq\f(π,6)－eq\f(3π,2)<eq\f(π,6)－x<eq\f(π,6)－eq\f(2π,3)，即－eq\f(4π,3)<eq\f(π,6)－x<－eq\f(π,2)，從而taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝－eq\r(3).故函數(shù)的值域?yàn)?－eq\r(3)，＋∞)．6．在區(qū)間[－2π，2π]內(nèi)，函數(shù)y＝tanx與函數(shù)y＝sinx的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(B)A．3 B．5C．7 D．9[解析]在同始終角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝tanx與函數(shù)y＝sinx在區(qū)間[－2π，2π]內(nèi)的圖象(圖象略)，由圖象可知其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，故選B．二、填空題7．函數(shù)y＝3tan(2x＋eq\f(π,3))的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為__(eq\f(kπ,4)－eq\f(π,6)，0)(k∈Z)__.[解析]令2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,4)－eq\f(π,6)(k∈Z)，∴對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(eq\f(kπ,4)－eq\f(π,6)，0)(k∈Z)．8．求函數(shù)y＝tan(－eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4))的單調(diào)區(qū)間是__(2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3,2)π)(k∈Z)__.[解析]y＝tan(－eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4))＝－tan(eq\f(1,2)x－eq\f(π,4))，由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(π,2)<x<2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，∴函數(shù)y＝tan(－eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4))的單調(diào)遞減區(qū)間是(2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3,2)π)，k∈Z.9．函數(shù)f(x)＝tanax(a>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝eq\f(π,3)所得線段長(zhǎng)為2，則a的值為__eq\f(π,2)__.[解析]由題意可得T＝2，所以eq\f(π,a)＝2，a＝eq\f(π,2).三、解答題10．求下列函數(shù)的周期及單調(diào)區(qū)間．(1)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))；(2)y＝|tanx|.[解析](1)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))，∴T＝eq\f(π,|ω|)＝4π，∴y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的周期為4π.由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(x,4)－eq\f(π,6)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得4kπ－eq\f(4π,3)<x<4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)，∴y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)內(nèi)單調(diào)遞增，無單調(diào)遞增區(qū)間．∴y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)內(nèi)單調(diào)遞減．(2)由于y＝|tanx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))k∈Z，,－tanx，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))k∈Z.))∴其圖象如圖所示，由圖象可知，周期為π，單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)．11．已知－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,4)，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最值及相應(yīng)的x值．[解析]∵－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,4)，∴－eq\r(3)≤tanx≤1，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，當(dāng)tanx＝－1，即x＝－eq\f(π,4)時(shí)，ymin＝1；當(dāng)tanx＝1，即x＝eq\f(π,4)時(shí)，ymax＝5.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．若a＝logeq\f(1,2)tan70°，b＝logeq\f(1,2)sin25°，c＝logeq\f(1,2)cos25°，則(D)A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b[解析]∵0<sin25°<sin65°＝cos25°<1＝tan45°<tan70°，∴l(xiāng)ogeq\f(1,2)sin25°>logeq\f(1,2)cos25°>logeq\f(1,2)tan70°.即a<c<b.2．(2024·河北新高考高一模擬選科)已知函數(shù)f(x)＝mtanx－ksinx＋2(m，k∈R)，若f(eq\f(π,3))＝1，則f(－eq\f(π,3))＝(C)A．1 B．－1C．3 D．－3[解析]∵f(x)＝mtanx－ksinx＋2(m，k∈R)，f(eq\f(π,3))＝1，∴f(eq\f(π,3))＝mtaneq\f(π,3)－ksineq\f(π,3)＋2＝eq\r(3)m－eq\f(\r(3),2)k＋2＝1，∴eq\r(3)m－eq\f(\r(3),2)k＝－1，∴f(－eq\f(π,3))＝mtan(－eq\f(π,3))－ksin(－eq\f(π,3))＋2＝－eq\r(3)m＋eq\f(\r(3),2)k＋2＝3.3．(多選題)下列說法正確的是(BD)A．taneq\f(8π,7)>taneq\f(2π,7)B．sin145°<tan47°C．函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(π,ω)D．函數(shù)y＝2tanx(eq\f(π,4)≤x<eq\f(π,2))的值域是[2，＋∞)[解析]A錯(cuò)誤，taneq\f(8π,7)＝tan(π＋eq\f(π,7))＝taneq\f(π,7)，因?yàn)?<eq\f(π,7)<eq\f(2π,7)<eq\f(π,2)，函數(shù)y＝tanx在(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞增，所以taneq\f(π,7)<taneq\f(2π,7)，即taneq\f(8π,7)<taneq\f(2π,7)；B正確，sin145°＝sin35°<1，tan47°>1，故sin145°<tan47°；C錯(cuò)誤，函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為eq\f(π,|ω|)；D正確，∵eq\f(π,4)≤x<eq\f(π,2)，∴由函數(shù)的單調(diào)性可知y＝2tanx≥2，故選BD．4．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝tanx，對(duì)隨意x1，x2∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))(x1≠x2)，給出下列結(jié)論，正確的是(AD)A．f(x1＋π)＝f(x1) B．f(－x1)＝f(x1)C．f(0)＝1 D．eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0[解析]由于f(x)＝tanx的周期為π，故A正確；函數(shù)f(x)＝tanx為奇函數(shù)，故B不正確；f(0)＝tan0＝0，故C不正確；D表明函數(shù)為增函數(shù)，而f(x)＝tanx為區(qū)間(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上的增函數(shù)，故D正確．二、填空題5．若函數(shù)y＝tanωx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))內(nèi)是減函數(shù)，則ω的范圍為__[－1,0)__.[解析]若ω使函數(shù)在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上是減函數(shù)，則ω<0，而|ω|>1時(shí)，圖象將縮小周期，故－1≤ω<0.6．給出下列命題：(1)函數(shù)y＝tan|x|不是周期函數(shù)；(2)函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)；(3)函數(shù)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan2x＋\f(π,3)))的周期是eq\f(π,2)；(4)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x))是偶函數(shù)．其中正確命題的序號(hào)是__(1)(3)(4)__.[解析]y＝tan|x|是偶函數(shù)，由圖象知不是周期函數(shù)，因此(1)正確；y＝tanx在每一個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)內(nèi)都是增函數(shù)但在定義域上不是增函數(shù)，∴(2)錯(cuò)；y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan2x＋\f(π,3)))的周期是eq\f(π,2).∴(3)對(duì)；y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π＋x))＝cosx是偶函數(shù)，∴(4)對(duì)．因此，正確的命題的序號(hào)是(1)(3)(4)．7．若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤1，則x的取值范圍是__eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋\f(kπ,2)，\f(5π,24)＋\f(kπ,2)))(k∈Z)__.[解析]令z＝2x－eq\f(π,6)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上滿意tanz≤1的z的值是－eq\f(π,2)<z≤eq\f(π,4)，在整個(gè)定義域上有－eq\f(π,2)＋kπ<z≤eq\f(π,4)＋kπ，解不等式－eq\f(π,2)＋kπ<2x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,4)＋kπ，得－eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)<x≤eq\f(5π,24)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.三、解答題8．當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))時(shí)，若使a－2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的值總大于零，求a的取值范圍．[解析]∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，∴0≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,3).又y＝tanx在e