2024學(xué)年重慶市長壽中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測試卷附答案解析

學(xué)年重慶市長壽中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”否定為（）A.， B.，C.， D.，2.已知集合，．若，則（）A.4B.2或2C.2 D.23.已知，且，則的最小值為（）A. B. C. D.4.若且，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)滿足對任意的，，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.6.若冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域是（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.58.折扇是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1，其平面圖如圖2的扇形，其中，則扇面（曲邊四邊形）的面積是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.為了得到函數(shù)的圖象，只需（）A.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度B.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度C.將函數(shù)圖象向左平移個單位長度D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度10.若定義域為.對任意，存在唯一，使得，則稱在定義域上是“倒數(shù)函數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.是倒數(shù)函數(shù)B.是倒數(shù)函數(shù)C.若在上是倒數(shù)函數(shù)，則D.若存在m>0，使得在定義域上是倒數(shù)函數(shù)，則11.已知函數(shù)的圖象在上是連續(xù)的，定義，，則下列說法正確的是（）A.若，，則，，，B.設(shè)，若，則實數(shù)的取值范圍為0,2C.設(shè)，若，則實數(shù)的取值范圍為D.已知，若對任意恒成立，則實數(shù)的最小值為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù).若函數(shù)有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________，4個零點之和的取值范圍是__________.13已知函數(shù)，且，則______．14.若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是____________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設(shè)全集，集合．（1）若集合A恰有一個元素，求實數(shù)a的值；（2）若，求．16.設(shè)函數(shù).（1）若，且集合中有且只有一個元素，求實數(shù)的取值集合；（2）解關(guān)于的不等式；17.某公園池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關(guān)系如下表所示：時間月1234浮萍的面積35917現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型可供選擇：①，②，其中均為常數(shù)，且.（1）直接選出你認為最符合題意的函數(shù)模型，并求出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到所經(jīng)過的時間分別為，寫出一種滿足的等量關(guān)系式，并說明理由.18.若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)在定義域（）上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實數(shù)，使得對任意，不等式都成立，求實數(shù)s的最大值．19.函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，，有成立，函數(shù)，，，且當(dāng)時，．（1）求并證明函數(shù)為奇函數(shù)；（2）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）若關(guān)于不等式恒成立，求的取值范圍．2024學(xué)年重慶市長壽中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末測試卷注意事項:1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題判斷即可.【詳解】命題“，”的否定為“，”.故選：B2.已知集合，．若，則（）A.4 B.2或2C.2 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集結(jié)果求參數(shù)值即可.【詳解】因為,，，所以若，則，，與題意不符，所以，則，經(jīng)驗證，此時滿足題意.故選：C3.已知，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為，則，，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.4.若且，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用賦值法即可判斷ABC錯誤，由不等式性質(zhì)計算可得D正確.【詳解】對于A，易知當(dāng)時，滿足，但不成立，因此A錯誤；對于B，當(dāng)時，顯然不成立，故B錯誤；對于C，當(dāng)，，因此錯誤；對于D，易知，由可得，即D正確.故選：D5.已知函數(shù)滿足對任意的，，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件得到在定義域上單調(diào)遞減，再利用分段函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因為，且，不妨設(shè)，則，，所以在定義域上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，，，為減函數(shù)，又，解得，綜上：故選：A6.若冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先確定冪函數(shù)解析式，再求給定函數(shù)的定義域.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，由.所以.由，所以所求函數(shù)的定義域為：.故選：B7.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先求出的解析式，再分段解方程即可得零點.【詳解】當(dāng)即時，，當(dāng)即時，，所以當(dāng)時，令，即或，解得：或（舍）或此時有2個零點；當(dāng)時，令，可得或，所以或都滿足，此時有2個零點，綜上所述函數(shù)的零點個數(shù)為4，故選：C.8.折扇是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1，其平面圖如圖2的扇形，其中，則扇面（曲邊四邊形）的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意和扇形的面積公式分別求出扇形、的面積即可得解.【詳解】由題意可得，扇形的面積是，扇形的面積是．則扇面（曲邊四邊形）的面積是.故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.為了得到函數(shù)的圖象，只需（）A.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度B.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換和誘導(dǎo)公式，進行逐一判斷選項.【詳解】對于選項A，的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象,故A正確;對于選項B，的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，故B錯誤；對于選項C，的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，故C正確；對于選項D，的圖象向右平移個單位長度，可得圖象，故D正確.故選：ACD10.若定義域為.對任意，存在唯一，使得，則稱在定義域上是“倒數(shù)函數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.是倒數(shù)函數(shù)B.是倒數(shù)函數(shù)C.若在上是倒數(shù)函數(shù)，則D.若存在m>0，使得在定義域上是倒數(shù)函數(shù)，則【答案】AC【解析】【分析】翻譯題目可得在定義域上是“倒數(shù)函數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)，其中的值域、的值域分別為，對于AB，直接根據(jù)等價命題判斷即可，對于C，首先求得，根據(jù)倒數(shù)函數(shù)的定義可得（1）且（2），解出即可判斷；對于D，對進行適當(dāng)劃分并分類討論，由必要性得，反過來驗證充分性是否成立即可.【詳解】由題意對任意，存在唯一，使得，則稱在定義域上是“倒數(shù)函數(shù)”，則在定義域上是“倒數(shù)函數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)對任意，存在唯一，使得；即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)闹涤蚴堑闹涤虻淖蛹?，定義的值域、的值域分別為，所以在定義域上是“倒數(shù)函數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)；對于A，的值域為，而的值域為，顯然滿足，又為增函數(shù)，故唯一性成立，故A正確；對于B，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，的值域為，而的值域為，不滿足，故B錯誤；對于C，由題意在上是倒數(shù)函數(shù)，首先當(dāng)時，單調(diào)遞減，此時，由倒數(shù)函數(shù)定義可知，不包含0，即（1）；從而在時的值域為，由題意，所以要滿足題意，還需滿足（2）；只需（1）（2）式子同時成立即可，所以當(dāng)且僅當(dāng)，解得，又在上遞減，故唯一性成立，故C正確；對于D，必要性：情形一：當(dāng)時，在定義域上單調(diào)遞增，則，若在定義域上是倒數(shù)函數(shù)，首先，此時的值域為，同時注意到不成立，故不符合題意；情形二：當(dāng)時，在定義域上單調(diào)遞增，則，若在定義域上是倒數(shù)函數(shù)，首先，此時的值域為，同時注意到不成立，故不符合題意；情形三：當(dāng)時，注意到的對稱軸為，則，（i）當(dāng)時，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知存在使得，即此時，若在定義域上是倒數(shù)函數(shù)，首先，此時的值域為，同時注意到不成立，故不符合題意；（ii）當(dāng)時，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，即此時，注意到，若在定義域上是倒數(shù)函數(shù)，首先，其次結(jié)合，可得應(yīng)該滿足；充分性：，有，此時的值域為，，，故存在，使，此時存在兩個，使，不合題意，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決C選項的關(guān)鍵是要依次得出（1）以及（2），解決D選項的關(guān)鍵在于先由必要性求參數(shù)，再驗證充分性即可.11.已知函數(shù)的圖象在上是連續(xù)的，定義，，則下列說法正確的是（）A.若，，則，，，B.設(shè)，若，則實數(shù)的取值范圍為0,2C.設(shè)，若，則實數(shù)的取值范圍為D.已知，若對任意恒成立，則實數(shù)的最小值為2【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)所給定義求出，，即可判斷A；根據(jù)在上不減，即可判斷B；根據(jù)在上不增，即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出，，即可得到，再參變分離求出的取值范圍，即可判斷D.【詳解】對于A：因為在上單調(diào)遞減，所以，，故A正確；對于B：若，則在上不減，所以，解得，故B錯誤；對于C：若，則在上不增，所以在上遞增且恒正，所以，解得，故C正確；對于D：因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，因為對任意恒成立，所以對恒成立①，對恒成立②，對恒成立③，其中①可得對恒成立，而，所以；②可得對恒成立，而，所以；③可得對恒成立，又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以；綜上可得實數(shù)的取值范圍為，則實數(shù)的最小值為，故D正確.

故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù).若函數(shù)有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________，4個零點之和的取值范圍是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡函數(shù)y=fx的解析式，進而畫出函數(shù)圖象；將題干中的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題；結(jié)合對數(shù)運算，二次函數(shù)的對稱性，對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求解【詳解】由題意，，則函數(shù)的大致圖象如下：由函數(shù)有4個不同的零點，得函數(shù)y=fx的圖象與直線有4個不同的交點，如圖所示，則，解得.設(shè)函數(shù)y=gx的四個零點從小到大依次為，由，得，即，解得，由二次函數(shù)的對稱性可知，由圖可知，又對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，因此，.故答案為：12,1；13.已知函數(shù)，且，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合兩角和的正弦公式可化簡，利用即可得到的值.【詳解】由題意得，，因為，所以，即，因為，所以當(dāng)時，．故答案為：.14.若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集得到對稱軸，然后根據(jù)端點得到兩個等式和一個不等式，求出的取值范圍，最后將都表示成的形式即可得解.【詳解】因為不等式的解集為，所以二次函數(shù)的對稱軸為直線，且需滿足，即，解得，所以，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設(shè)全集，集合．（1）若集合A恰有一個元素，求實數(shù)a的值；（2）若，求．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)方程只有一個解，由求解；（2）由，求得集合A，B，再由集合的補集交集運算求解.【小問1詳解】解：因為集合，且集合A恰有一個元素，所以，解得；【小問2詳解】因為集合，且，所以，，解得，，所以，則．16.設(shè)函數(shù).（1）若，且集合中有且只有一個元素，求實數(shù)的取值集合；（2）解關(guān)于的不等式；【答案】（1）（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由題設(shè)有且僅有一個根，討論參數(shù)a，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)值.（2）由題設(shè)，應(yīng)用分類討論求一元二次不等式的解集.【小問1詳解】函數(shù)，又有且只有一個元素，則方程有且僅有一個根，當(dāng)時，，即，則，滿足題設(shè)；當(dāng)時，，即，則，滿足題設(shè)，所以的取值集合為.【小問2詳解】依題意，，整理得，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，無解；當(dāng)時，解得，綜上所述，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.17.某公園池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關(guān)系如下表所示：時間月1234浮萍的面積35917現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型可供選擇：①，②，其中均為常數(shù)，且.（1）直接選出你認為最符合題意的函數(shù)模型，并求出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到所經(jīng)過的時間分別為，寫出一種滿足的等量關(guān)系式，并說明理由.【答案】（1）應(yīng)選擇函數(shù)模型②，（2），理由見解析【解析】分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型，然后計算可求解析式；（2）根據(jù)指數(shù)冪運算公式計算可求解.【小問1詳解】應(yīng)選擇函數(shù)模型②.依題意，得，解得，所以關(guān)于的函數(shù)解析式為.【小問2詳解】，理由如下：依題意，得，，，，.18.若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)在定義域（）上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實數(shù)，使得對任意的，不等式都成立，求實數(shù)s的最大值．【答案】（1）不是“依賴函數(shù)”，理由見解析；（2）（3）最大值為.【解析】【分析】（1）由“依賴函數(shù)”的定義進行判斷即可；（2）先根據(jù)題意得到，解得：，再由，解出，根據(jù)的范圍即可求出的取值范圍；（3）根據(jù)題意分，，考慮在上單調(diào)性，再根據(jù)“依賴函數(shù)”的定義即可求得的值，代入得恒成立，由判別式，即可得到，再令函數(shù)在的單調(diào)性，求得其最值，可求得實數(shù)的最大值.【小問1詳解】對于函數(shù)的定義域內(nèi)存在，則無解，故不是“依賴函數(shù)”.【小問