2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章算法初步2.2.1順序結(jié)構(gòu)與選擇結(jié)構(gòu)學(xué)案含解析北師大版必修3

PAGE§2算法框圖的基本結(jié)構(gòu)及設(shè)計(jì)2．1依次結(jié)構(gòu)與選擇結(jié)構(gòu)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一算法框圖[填一填]1．通常，為了使算法結(jié)構(gòu)更加清晰，可借助框圖來(lái)幫助描述算法，這便得到了算法框圖．圖的特點(diǎn)是直觀、清晰，便于檢查和溝通．算法框圖有三種基本結(jié)構(gòu)：依次結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．2．幾個(gè)基本的框圖和它們各自表示的功能.[答一答]1．畫算法框圖的步驟．提示：畫算法框圖的步驟：(1)提出問(wèn)題；(2)確定數(shù)學(xué)模型和計(jì)算方法；(3)畫程序框圖；(4)檢查有無(wú)錯(cuò)誤；(5)修改程序框圖；(6)結(jié)束．其過(guò)程如圖．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二依次結(jié)構(gòu)和選擇結(jié)構(gòu)[填一填]3．依次結(jié)構(gòu)(1)定義：依據(jù)步驟依次執(zhí)行的一個(gè)算法，稱為具有“依次結(jié)構(gòu)”的算法，或者稱為算法的依次結(jié)構(gòu)．(2)算法框圖：如圖所示．(3)執(zhí)行步驟的方式：先執(zhí)行步驟甲，再執(zhí)行步驟乙．4．選擇結(jié)構(gòu)(1)定義：在算法中，須要推斷條件的真假，依據(jù)推斷的結(jié)果確定后面的步驟，像這樣的結(jié)構(gòu)通常稱為選擇結(jié)構(gòu)．(2)算法框圖：如圖所示．(3)執(zhí)行步驟的方式：每次僅能執(zhí)行一個(gè)步驟．當(dāng)條件為真時(shí)，執(zhí)行步驟甲；當(dāng)條件為假時(shí)，執(zhí)行步驟乙，不能同時(shí)執(zhí)行這兩個(gè)步驟，也不能一個(gè)步驟也不執(zhí)行．[答一答]2．算法框圖的推斷框有兩個(gè)退出點(diǎn)，是否表示在這里同時(shí)執(zhí)行？提示：不是，在推斷框處進(jìn)行真假推斷，只能執(zhí)行其中一個(gè)．(1)起、止框是任何算法框圖都不行缺少的，表明程序的起先或結(jié)束；(2)輸入(出)框可以用在算法中任何須要輸入(出)的位置，須要輸入(出)的字母、符號(hào)、數(shù)據(jù)等都填在框內(nèi)；(3)處理框用于填寫處理數(shù)據(jù)須要的算式、公式等，另外，對(duì)變量進(jìn)行賦值，也用到處理框；(4)當(dāng)算法要求對(duì)兩個(gè)不同的結(jié)果進(jìn)行推斷時(shí)，須要將推斷的條件寫在推斷框內(nèi)；(5)一個(gè)算法步驟到另一個(gè)算法步驟用流程線“↓”或“”連接，假如一個(gè)算法框圖需分開來(lái)畫，要在斷開處畫上連接點(diǎn)，并標(biāo)出連接的號(hào)碼．類型一依次結(jié)構(gòu)的算法框圖【例1】已知f(x)＝x2－2x－3，求f(3)，f(－5)，f(5)，f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．設(shè)計(jì)出解決該問(wèn)題的一個(gè)算法，并畫出算法框圖．【思路探究】本題的算法事實(shí)上就是將相關(guān)數(shù)值代入函數(shù)計(jì)算的過(guò)程．【解】算法步驟如下：1．輸入x＝3；2．計(jì)算y1＝x2－2x－3；3．輸入x＝－5；4．計(jì)算y2＝x2－2x－3；5．輸入x＝5；6．計(jì)算y3＝x2－2x－3；7．計(jì)算y＝y(tǒng)1＋y2＋y3；8．輸出y1，y2，y3，y.算法框圖如圖所示．規(guī)律方法畫依次結(jié)構(gòu)框圖的思路依次結(jié)構(gòu)指的是依次進(jìn)行多個(gè)處理的結(jié)構(gòu)，其特點(diǎn)是各部分依據(jù)出現(xiàn)的先后依次執(zhí)行．在運(yùn)用依次結(jié)構(gòu)畫算法框圖時(shí)要留意：(1)正確運(yùn)用各種圖框；(2)要先輸入，再運(yùn)算，最終輸出結(jié)果．已知兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，求線段AB的長(zhǎng)度d及中點(diǎn)P的坐標(biāo)，試設(shè)計(jì)算法，并畫出算法框圖．解：算法步驟如下：1．輸入x1，y1，x2，y2；2．計(jì)算d＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)；3．計(jì)算x0＝eq\f(x1＋x2,2)，y0＝eq\f(y1＋y2,2)；4．輸出d，x0，y0.算法框圖如圖所示．類型二設(shè)計(jì)含有選擇結(jié)構(gòu)的算法框圖【例2】已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x，x>0，,0，x＝0，,－x－3，x<0，))設(shè)計(jì)一個(gè)算法，輸入自變量x的值，輸出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．請(qǐng)寫出算法步驟，并畫出算法框圖．【思路探究】該函數(shù)是分段函數(shù)，當(dāng)x取不同范圍內(nèi)的值時(shí)，函數(shù)表達(dá)式不同．因此當(dāng)給出一個(gè)自變量x的值時(shí)，也必需先推斷x的范圍，然后確定利用哪一個(gè)解析式求函數(shù)值，因此函數(shù)解析式分為三段，所以推斷框須要兩個(gè)，即進(jìn)行兩次推斷．【解】算法如下：1．輸入自變量x的值．2．推斷x>0是否成立，若成立，計(jì)算y＝1＋x，否則，執(zhí)行下一步．3．推斷x＝0是否成立，若成立，令y＝0，否則，計(jì)算y＝－x－3.4．輸出y.算法框圖如圖所示．規(guī)律方法設(shè)計(jì)算法框圖時(shí)，首先設(shè)計(jì)算法步驟(自然語(yǔ)言)，再將算法步驟轉(zhuǎn)化為算法框圖(圖形語(yǔ)言)．假如已經(jīng)特別嫻熟地駕馭了畫算法框圖的方法，那么可以省略設(shè)計(jì)算法步驟而干脆畫出算法框圖．對(duì)于算法中含有分類探討的步驟，在設(shè)計(jì)算法框圖時(shí)，通常用選擇結(jié)構(gòu)來(lái)解決．畫算法框圖時(shí)，簡(jiǎn)單漏掉終端框，其緣由是沒有駕馭畫程序框圖的規(guī)則，任何算法框圖必需有終端框，終端框表示算法框圖的起先和結(jié)束，否則是不完整的．求過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的斜率．設(shè)計(jì)該問(wèn)題的算法并畫出算法框圖．解：先對(duì)x1，x2是否相等進(jìn)行推斷，然后利用斜率公式．算法如下：第一步，輸入x1，y1，x2，y2.其次步，假如x1＝x2，輸出“斜率不存在”；否則，k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).第三步，輸出k.算法框圖如下圖所示：類型三算法框圖所表示的算法的功能【例3】閱讀如圖所示的框圖，回答下列問(wèn)題：(1)該框圖要解決的是什么問(wèn)題？(2)若輸入的x值為0和4時(shí)，則輸出的y值相等，求當(dāng)輸入的x值為3時(shí)輸出的y值．(3)依據(jù)(2)的條件，要想使輸出的y值最大，求輸入的x值．【思路探究】分清各框圖的功能，依據(jù)各框圖內(nèi)容及框圖的關(guān)系求解．【解】(1)該框圖是求二次函數(shù)y＝－x2＋mx的函數(shù)值．(2)令f(x)＝－x2＋mx.當(dāng)輸入的x值為0和4時(shí)，輸出的y值相等，即f(0)＝f(4)，解得m＝4，所以f(x)＝－x2＋4x，所以f(3)＝－32＋4×3＝3，即當(dāng)輸入的x值為3時(shí)，輸出的y值為3.(3)由(2)可知f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，故當(dāng)輸入的x值為2時(shí)，輸出的y值最大，最大值為4.規(guī)律方法讀懂框圖是本節(jié)的基本要求，高考對(duì)框圖考查的類型之一就是讀圖，明白框圖的作用是什么，解決的是什么問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程中須要用到哪些步驟．對(duì)于依次結(jié)構(gòu)的框圖，依據(jù)自上而下的依次依次執(zhí)行即可．下圖所示的算法框圖的功能是已知圓的半徑，求圓的面積．類型四實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的框圖設(shè)計(jì)【例4】“特快專遞”是目前人們常常運(yùn)用的異地郵寄信函或托運(yùn)物品的一種快捷方式．某快遞公司對(duì)甲、乙兩地之間物品的托運(yùn)費(fèi)的規(guī)定如下：若托運(yùn)物品的質(zhì)量x不超過(guò)50千克，則按每千克0.53元收取托運(yùn)費(fèi)；若托運(yùn)物品的質(zhì)量超過(guò)50千克，則超出部分按每千克0.85元收取托運(yùn)費(fèi)．試畫出計(jì)算托運(yùn)費(fèi)用的算法框圖．【思路探究】eq\x(審題)→eq\x(選擇函數(shù)模型)→eq\x(\a\al(寫出函數(shù),解析式))→eq\x(設(shè)計(jì)算法)→eq\x(畫程序框圖)【解】依題意，甲、乙兩地之間物品的托運(yùn)費(fèi)y(元)與托運(yùn)物品的質(zhì)量x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.53x，0≤x≤50，,50×0.53＋x－50×0.85，x>50))故只要把托運(yùn)物品的質(zhì)量x輸入，再依據(jù)相應(yīng)的公式進(jìn)行計(jì)算，即可輸出托運(yùn)物品的費(fèi)用．算法框圖如下圖所示．規(guī)律方法這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，首先要建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，即依據(jù)題意寫出函數(shù)表達(dá)式，明顯這是一個(gè)分段函數(shù)．依據(jù)函數(shù)表達(dá)式可知，托運(yùn)費(fèi)用的計(jì)算公式隨物品質(zhì)量x的改變而有所不同，因此在計(jì)算時(shí)要先對(duì)物品的質(zhì)量作出推斷，在不同的條件下執(zhí)行不同的指令，這是選擇結(jié)構(gòu)的運(yùn)用，只涉及一個(gè)推斷點(diǎn)，因而是二分支條件推斷的選擇結(jié)構(gòu)．銀行的三年期定期存款年利率4.25(每100元存款到期平均每年獲利4.25元)．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)程序，輸入存款數(shù)，輸出利息與本利和．解：設(shè)存款為a元，據(jù)題意三年到期利息b為：eq\f(a,100)×4.25×3＝0.1275a元．到期本利和p為：a＋0.1275a＝1.1275算法框圖為：——規(guī)范解答——分類探討思想在條件結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用分類探討的思想在算法中有著廣泛的應(yīng)用，特殊是在算法的“條件結(jié)構(gòu)”中，分類探討的思想彰顯得特殊明顯．【例5】(12分)在圖書超市里，每本書售價(jià)為25元，顧客假如購(gòu)買5本以上(含5本)，則按八折實(shí)惠；假如購(gòu)買10本以上(含10本)，則按五折實(shí)惠．請(qǐng)寫出算法并畫出這個(gè)算法的算法框圖．【思路點(diǎn)撥】明確題意，寫出函數(shù)表達(dá)式，寫出算法，然后畫出算法框圖．【滿分樣板】設(shè)購(gòu)買的圖書為x本，付費(fèi)y元，由題意知：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25xx<5，,20x5≤x<10，,12.5xx≥10.))4分算法如下：第一步，輸入x.其次步，若x<5，則y＝25x；否則執(zhí)行第三步．第三步，若x<10，則y＝20x；否則執(zhí)行第四步．第四步，y＝12.5x.第五步，輸出y.8分算法框圖如圖所示.12分【思維啟迪】1.本例是實(shí)際問(wèn)題，故應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型，找出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25x，x<5，,20x，5≤x<10，,12.5x，x≥10，))由此看出，求付費(fèi)時(shí)需先推斷x的范圍，故應(yīng)用條件結(jié)構(gòu)描述．2．該問(wèn)題含有兩個(gè)條件結(jié)構(gòu)，當(dāng)題目出現(xiàn)多個(gè)條件時(shí)，要分清條件的先后次序，再設(shè)計(jì)算法框圖．設(shè)火車托運(yùn)質(zhì)量為w(kg)的行李時(shí)，每千米的費(fèi)用(單位：元)標(biāo)準(zhǔn)為f＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.4w，w≤30，,0.4×30＋0.5w－30，w>30.))試畫出路程為s千米時(shí)，行李托運(yùn)費(fèi)用M的算法框圖．解：算法如下：第一步，輸入物品質(zhì)量w、路程s，其次步，若w>30，則f＝0.4×30＋0.5(w－30)；否則，f＝0.4w.第三步，計(jì)算M＝s×f.第四步，輸出M.算法框圖如圖所示：一、選擇題1．下列函數(shù)求值算法的算法框圖中須要選擇結(jié)構(gòu)的函數(shù)為(C)A．f(x)＝x2－1B．y＝x2－1C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1x≤2.5，,x2－1x>2.5))D．f(x)＝2x解析：C項(xiàng)的算法框圖執(zhí)行前，首先要對(duì)輸入的x的值進(jìn)行一個(gè)推斷，然后再依據(jù)不同的條件進(jìn)行下一步計(jì)算，是典型的選擇結(jié)構(gòu)．2．對(duì)起止框敘述正確的是(C)A．表示一個(gè)算法的起先或結(jié)束，圖形符號(hào)是eq\a\vs4\al(?)B．表示一個(gè)算法的輸入和輸出的信息，圖形符號(hào)是eq\a\vs4\al(

)C．表示一個(gè)算法的起先或結(jié)束，圖形符號(hào)是D．表示一個(gè)算法中輸入和輸出的信息，圖形符號(hào)是eq\a\vs4\al(?)解析：起、止框表示一個(gè)算法的起先或結(jié)束，用橢圓形的矩形表示．故選C.3．閱讀如圖所示的算法框圖，若輸入的a、b、c分別是21、32、75，則輸出的a、b、c分別是(A)A．75、21、32 B．21、32、75C．32、21、75 D．75、32、21解析：執(zhí)行過(guò)程如下：∵a＝21，b＝32，c＝75，x＝a＝21，a＝c＝75，c＝b＝32，b＝x＝21，∴輸出a＝75，b＝21，c＝32.二、填空題4．寫出圖中算法框圖的運(yùn)行結(jié)果．(1)由①中輸出S＝eq\f(5,2).(2)由②中，若R＝16，則a＝4.解析：(1)由圖①知S＝3/6＋6/3＝eq\f(5,2).(2)由圖②知，若輸入16，則b＝eq\r(16/4)