2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.3.1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和課時作業(yè)含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE4課時作業(yè)11等差數(shù)列的前n項(xiàng)和時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于(C)A．8B．10C．12D．14解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得S3＝3×2＋eq\f(3×2,2)d＝12，解得d＝2，則a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.2．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(C)A．1B．2C．4D．8解析：等差數(shù)列{an}中，S6＝eq\f(a1＋a6×6,2)＝48，則a1＋a6＝16＝a2＋a5，又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4，故選C.3．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝(D)A．8B．7C．6D．5解析：由a1＝1，公差d＝2，得an＝2n－1.又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5，故選D.4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿意5<ak<8，則k等于(B)A．9B．8C．7D．6解析：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2－9n)－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10；當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－8，滿意上式．所以an＝2n－10(n∈N*)．由5<ak<8得5<2k－10<8，解得7.5<k<9.又k∈N*，因此k＝8.5．已知數(shù)列{an}和{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為a1、b1，且a1＋b1＝5，a1、b1∈N*.設(shè)cn＝abn(n∈N*)，則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和等于(C)A．55B．70C．85D．100解析：∵an＝a1＋(n－1)·1＝a1＋n－1，bn＝b1＋(n－1)·1＝b1＋n－1，∴abn＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n－1)－1＝n＋3.∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為4，公差為1.∴數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和等于10×4＋eq\f(10×10－1,2)＝85.故選C.6．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，令bn＝eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)，則數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和T10＝(B)A．70B．75C．80D．85解析：∵an＝2n＋1，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＝3，其前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n3＋2n＋1,2)＝n2＋2n，∴bn＝eq\f(1,n)Sn＝n＋2，∴數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，首項(xiàng)b1＝3，公差為1，∴其前10項(xiàng)和T10＝10×3＋eq\f(10×9,2)×1＝75，故選B.二、填空題7．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝eq\f(1,2)，S4＝20，則S6＝48.解析：由S4＝4×eq\f(1,2)＋eq\f(4×3,2)×d＝20，得d＝3，所以S6＝6×eq\f(1,2)＋eq\f(6×5,2)×3＝48.8．在等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，若S12＝8S4，則eq\f(a1,d)＝eq\f(9,10).解析：∵S12＝12a1＋eq\f(12×11,2)d，S4＝4a1＋eq\f(4×3,2)d，∴12a1＋66d＝32a1＋48d.∴20a1＝18d，∴eq\f(a1,d)＝eq\f(18,20)＝eq\f(9,10).9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n·2n－1，則a3＋a4＋a5＝152.解析：a3＋a4＋a5＝S5－S2＝(5×25－1)－(2×22－1)＝152.三、解答題10．已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且aeq\o\al(2,11)＝a1a13.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解：(1)設(shè){an}的公差為d.由aeq\o\al(2,11)＝a1a13，得(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2，由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項(xiàng)為25，公差為－6的等差數(shù)列．從而Sn＝eq\f(n,2)(a1＋a3n－2)＝eq\f(n,2)(－6n＋56)＝－3n2＋28n.11．設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿意Sn＝eq\f(1,4)(an＋1)2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝eq\f(1,4)(a1＋1)2，解得a1＝1.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,4)[(an＋1)2－(an－1＋1)2]．整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2.∴數(shù)列{an}是以a1＝1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．∴an＝2n－1.——實(shí)力提升類——12．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n＝1,2,3，…)，若當(dāng)首項(xiàng)a1和公差d改變時，a5＋a8＋a11是一個定值，則下列選項(xiàng)中為定值的是(C)A．S17B．S18C．S15D．S14解析：由a5＋a8＋a11＝3a8是定值，可知a8是定值，所以S15＝eq\f(15a1＋a15,2)＝15a8是定值．故選C.13．已知等差數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和S20＝260，則a6＋a9＋a11＋a16＝52.解析：∵S20＝eq\f(20a1＋a20,2)＝260，∴a1＋a20＝26.∴a6＋a9＋a11＋a16＝(a9＋a11)＋(a6＋a16)＝2a10＋2a11＝2(a10＋a11)＝2(a1＋a20)＝52.14．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，則m＝10.解析：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以am－1＋am＋1＝2am.由am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，得2am－aeq\o\al(2,m)＝0.由S2m－1＝38知am≠0.所以am＝2.又S2m－1＝38，即eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.15．某公司確定給員工增加工資，提出了兩個方案，讓每位員工自由選擇其中一種．甲方案是公司在每年年末給每位員工增資1000元；乙方案是每半年末給每位員工增資300元．(1)你會怎樣選擇增資方案？請說明你的理由．(2)若保持方案甲不變，而方案乙中每半年末的增資額改為a元，問a為何值時，方案乙總比方案甲增資多？(說明：①方案的選擇應(yīng)以讓自己獲得更多增資總額為準(zhǔn)；②假定員工工作年限均為整數(shù))解：(1)設(shè)甲方案第n次的增資額為an，則an＝1000n，第n年末的增資總額為Tn＝eq\f(n1000＋1000n,2)＝500n(n＋1)．乙方案第n年末的增資總額為S2n＝eq\f(2n300＋300×2n,2)＝300n(2n＋1)．∴Tn－S2n＝100n(2－n)，當(dāng)n＝1時，Tn>S2n；當(dāng)n＝2時，Tn＝S2n；當(dāng)n≥3時，Tn<S2n.∴只工作一年選擇甲方案；只工作兩年，隨意選；工作兩年以上選乙方案．(2)Tn＝500n(n＋1)，S2n＝an(2n＋1)，由已知條件得S2n>Tn，即a>500·eq\f(n＋1,2n＋1)＝250eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4