2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問題舉例教師用書教案新人教A版選修1-1

PAGE1-3.4生活中的優(yōu)化問題舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.2.駕馭利用導(dǎo)數(shù)解決簡潔的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題．(重、難點(diǎn))借助導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).1．生活中的優(yōu)化問題(1)生活中常常會遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．(2)用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)的最值．2．用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為()A．7萬件 B．9萬件C．11萬件 D．13萬件B[設(shè)y＝f(x)，即f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．當(dāng)0<x<9時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>9時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減．因此，當(dāng)x＝9時(shí)，y＝f(x)取最大值．故使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為9萬件．]2．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進(jìn)行冷卻和加熱，假如第x小時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時(shí)改變率的最小值是()A．8 B．eq\f(20,3)C．－1 D．－8C[由題意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1時(shí)，f′(x)的最小值為－1，即原油溫度的瞬時(shí)改變率的最小值是－1.]3．電動自行車的耗電量y與速度x之間有關(guān)系y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)．為使耗電量最小，則速度應(yīng)定為__________．40[y′＝x2－39x－40，令y′＝0，即x2－39x－40＝0，解得x＝40或x＝－1(舍)．當(dāng)0<x<40時(shí)，y′<0，當(dāng)x>40時(shí)，y′>0，所以當(dāng)x＝40時(shí)，函數(shù)y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x有最小值．]面積、體積的最值問題【例1】用長為90cm、寬為48cm的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器，先在四個(gè)角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成(如圖所示)．問該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？[思路點(diǎn)撥]eq\x(設(shè)自變量高為x)→eq\x(\s\up(依據(jù)長方體的體積公式,建立體積關(guān)于x的函數(shù)))→eq\x(\s\up(利用導(dǎo)數(shù)求出,容積的最大值))→eq\x(\s\up(結(jié),論))[解]設(shè)容器的高為xcm，容器的容積為V(x)cm3，則V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0＜x＜24)．所以V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．當(dāng)0＜x＜10時(shí)，V′(x)＞0，即V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)10＜x＜24時(shí)，V′(x)＜0，即V(x)單調(diào)遞減．因此，在定義域(0,24)內(nèi)，函數(shù)V(x)只有當(dāng)x＝10時(shí)取得最大值，其最大值為V(10)＝19600(cm3)．因此當(dāng)容器的高為10cm時(shí)，容器的容積最大，最大容積為19600cm3.1．求幾何風(fēng)光 積或體積的最值問題，關(guān)鍵是分析幾何體的幾何特征，依據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)牧拷⒚娣e或體積的函數(shù)，然后再用導(dǎo)數(shù)求最值．2．實(shí)際問題中函數(shù)定義域確定的方法(1)依據(jù)圖形確定定義域，如本例中長方體的長、寬、高都大于零；(2)依據(jù)問題的實(shí)際意義確定定義域，如人數(shù)必需為整數(shù)，銷售單價(jià)大于成本價(jià)、銷售量大于零等．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知圓柱的表面積為定值S，當(dāng)圓柱的容積V最大時(shí)，圓柱的高h(yuǎn)的值為________．eq\f(\r(6πS),3π)[設(shè)圓柱的底面半徑為r，則S圓柱底＝2πr2，S圓柱側(cè)＝2πrh，∴圓柱的表面積S＝2πr2＋2πrh.∴h＝eq\f(S－2πr2,2πr).又圓柱的體積V＝πr2h，＝eq\f(r,2)(S－2πr2)＝eq\f(rS－2πr3,2)，V′(r)＝eq\f(S－6πr2,2)，令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因?yàn)閂′(r)只有一個(gè)極值點(diǎn)，故當(dāng)h＝2r時(shí)圓柱的容積最大．此時(shí)，S＝2π×eq\f(h2,4)＋πh2，∴h＝eq\f(\r(6πS),3π).]用料(費(fèi)用)最省問題【例2】為了在夏季降溫柔冬季供暖時(shí)削減能源損耗，房屋的屋頂和外墻須要建立隔熱層．某幢建筑物要建立可運(yùn)用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建立成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿意關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f(x)為隔熱層建立費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的函數(shù)解析式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．[思路點(diǎn)撥]代入數(shù)據(jù)求k的值?建立費(fèi)用加上每年能源消耗費(fèi)用總和得出總費(fèi)用f(x)?利用導(dǎo)數(shù)求最值．[解](1)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)可知，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5)，而建立費(fèi)用為C1(x)＝6x.最終得隔熱層建立費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)，當(dāng)0<x<5時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)5<x<10時(shí)，f′(x)>0，故x＝5時(shí)，為f(x)的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元．解決優(yōu)化問題時(shí)應(yīng)留意的問題1列函數(shù)解析式時(shí)，留意實(shí)際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域.2一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值.假如函數(shù)fx在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)或函數(shù)fx在開區(qū)間上只有一個(gè)點(diǎn)使f′x＝0，則只要依據(jù)實(shí)際意義推斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．已知A，B兩地相距200千米，一只船從A地逆水而行到B地，水速為8千米/小時(shí)，船在靜水中的速度為v千米/時(shí)(8<v≤v0)．若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中的速度的平方成正比．當(dāng)v＝12千米/時(shí)時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的靜水速度為多少？[解]設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為y1，比例系數(shù)為k，則y1＝kv2.當(dāng)v＝12時(shí)，y1＝720，∴720＝k·122，解得k＝5，∴y1＝5v2.∴全程的燃料費(fèi)y＝y(tǒng)1·eq\f(200,v－8)＝eq\f(1000v2,v－8)(8<v≤v0)．y′＝eq\f(2000vv－8－1000v2,v－82)＝eq\f(1000v2－16000v,v－82).令y′＝0得v＝16或v＝0(舍去)．所以函數(shù)在v＝16時(shí)取得極值，并且是微小值．當(dāng)v0≥16時(shí)，v＝16使y最小，即全程燃料費(fèi)最?。?dāng)8<v0<16時(shí)，可得y＝eq\f(1000v2,v－8)在(8，v0]上遞減，即當(dāng)v＝v0時(shí)，ymin＝eq\f(1000v\o\al(2,0),v0－8).綜合上述得：若v0≥16，則當(dāng)v＝16千米/時(shí)時(shí)，全程燃料費(fèi)最??；若8<v0<16千米/時(shí)，則當(dāng)v＝v0時(shí)，全程燃料費(fèi)最?。麧欁畲?成本最低)問題[探究問題]1．在實(shí)際問題中，假如在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)在該點(diǎn)處取最值嗎？提示：依據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性的關(guān)系可以推斷，函數(shù)在該點(diǎn)處取最值，并且微小值點(diǎn)對應(yīng)最小值，極大值點(diǎn)對應(yīng)最大值．2．你能列舉幾個(gè)有關(guān)利潤的等量關(guān)系嗎？提示：(1)利潤＝收入－成本．(2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù)．【例3】某商場銷售某種商品的閱歷表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿意關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．[思路點(diǎn)撥](1)依據(jù)x＝5時(shí)，y＝11，求a的值．(2)把每日的利潤表示為銷售價(jià)格x的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求最大值．[解](1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6，從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，于是，當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0f(x)↗極大值42↘由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.故當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．1．利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般依據(jù)“利潤＝收入－成本”或“利潤＝每件產(chǎn)品利潤×銷售件數(shù)”建立函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大值．2．解答此類問題時(shí)，要仔細(xì)理解相應(yīng)的概念，如：成本、利潤、單價(jià)、銷售量、廣告費(fèi)等等，以免因概念不清而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．某種產(chǎn)品每件成本為6元，每件售價(jià)為x元(6<x<11)，年銷售為u萬件，若已知eq\f(585,8)－u與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(21,4)))eq\s\up12(2)成正比，且售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬件．(1)求年銷售利潤y關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)表達(dá)式；(2)求售價(jià)為多少時(shí)，年利潤最大，并求出最大年利潤．[解](1)設(shè)eq\f(585,8)－u＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(21,4)))eq\s\up12(2)，∵售價(jià)為10元時(shí)，年銷量為28萬件，∴eq\f(585,8)－28＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－eq\f(21,4)))eq\s\up12(2)，解得k＝2.∴u＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(21,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(585,8)＝－2x2＋21x＋18.∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6<x<11)．(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，明顯，當(dāng)x∈(6,9)時(shí)，y′>0；當(dāng)x∈(9,11)時(shí)，y′<0.∴函數(shù)y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上單調(diào)遞增，在(9,11)上單調(diào)遞減．∴當(dāng)x＝9時(shí)，y取最大值，且ymax＝135，即售價(jià)為9元時(shí)，年利潤最大，最大年利潤為135萬元.1．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)．(2)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值．2．正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用問題的主要思路．另外須要特殊留意：(1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域；(2)與實(shí)際問題相聯(lián)系；(3)必要時(shí)留意分類探討思想的應(yīng)用．1．推斷正誤(1)生活中的優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的最值問題． ()(2)生活中的優(yōu)化問題必需運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決． ()(3)廣告牌的面積最小問題是生活中的優(yōu)化問題． ()[答案](1)√(2)×(3)√2．做一個(gè)容積為256m3A．6m B．8mC．4m D．2mC[設(shè)底面邊長為xm，高為hm，則有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).所用材料的面積設(shè)為Sm2，則有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(1024,x)＋x2，S′＝2x－eq\f(1024,x2)，令S′＝0，得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．]3．某件商品的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為________元時(shí)，利潤最大．115[利潤為S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230