2024-2025學年高中數(shù)學第3章統(tǒng)計案例3.1獨立性檢驗學案新人教B版選修2-3

PAGEPAGE13．1獨立性檢驗1.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想．2.理解獨立性檢驗中P(χ2≥k0)的詳細含義．3．駕馭獨立性檢驗的方法和步驟．[學生用書P43])獨立性檢驗(1)2×2列聯(lián)表BB合計An11n12n1＋eq\o(A,\s\up6(－))n21n22n2＋合計n＋1n＋2n表中：n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22．(2)χ2統(tǒng)計量依據(jù)2×2列聯(lián)表給定的數(shù)據(jù)引入χ2(讀作“卡方”)統(tǒng)計量，它的表達式是：χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)．(3)獨立性檢驗思想①用H0表示事務(wù)A與B獨立的判定式，即H0：P(AB)＝P(A)P(B)，稱H0為統(tǒng)計假設(shè)．②用χ2與其臨界值3.841與6.635的大小關(guān)系來確定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)H0，如下表：大小比較結(jié)論χ2≤3.841事務(wù)A與B是無關(guān)的χ2＞3.841有95%的把握說事務(wù)A與B有關(guān)χ2＞6.635有99%的把握說事務(wù)A與B有關(guān)1．推斷(對的打“√”，錯的打“×”)(1)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù)．()(2)事務(wù)A與B的獨立性檢驗無關(guān)，即兩個事務(wù)互不影響．()(3)χ2的大小是推斷事務(wù)A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計量．()答案：(1)√(2)×(3)√2．下面是一個2×2列聯(lián)表y1y2合計x1a2173x222527合計b46100則表中a，b處的值分別為()A．94，96B．52，50C．52，54D．54，52答案：C獨立性檢驗的應(yīng)用[學生用書P44]在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)推斷性別與休閑方式是否有關(guān)系．【解】(1)列表如下：休閑方式性別看電視運動合計女432770男213354合計6460124(2)由上表可得χ2＝eq\f(124×（43×33－27×21）2,70×54×64×60)≈6.201.因為χ2＞3.841，所以有95%的把握認為性別與休閑方式有關(guān)系．eq\a\vs4\al()解決獨立性檢驗問題的基本步驟(1)依據(jù)已知的數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表．(2)作出相應(yīng)的等高條形圖，可以利用圖形做出相應(yīng)推斷．(3)求χ2的值．(4)推斷可能性：與臨界值比較，得出事務(wù)有關(guān)的可能性大?。{(diào)查某醫(yī)院某段時間內(nèi)嬰兒誕生的時間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表．試問能有多大把握認為嬰兒的性別與誕生的時間有關(guān)系？誕生時間性別晚上白天合計男嬰243155女嬰82634合計325789解：χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(89×（24×26－31×8）2,55×34×32×57)≈3.6889≤3.841.所以我們認為“嬰兒的性別與誕生的時間無關(guān)”．獨立性檢驗的綜合應(yīng)用[學生用書P44]某中學舉辦平安法規(guī)學問競賽，從參賽的高一、高二學生中各抽出100人的成果作為樣本，對高一年級的100名學生的成果進行統(tǒng)計，并按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)分組，得到成果分布的頻率分布直方圖(如圖)．(1)若規(guī)定60分以上(包括60分)為合格，計算高一年級這次學問競賽的合格率；(2)統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此，估計高一年級這次學問競賽的學生的平均成果；(3)若高二年級這次學問競賽的合格率為60%，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認為“這次學問競賽的成果與年級有關(guān)系”．高一高二合計合格人數(shù)不合格人數(shù)合計【解】(1)高一合格率為：0．02×10＋0.03×10＋0.02×10＋0.01×10＝0.8＝80%.(2)高一樣本的平均數(shù)為45×eq\f(10,100)＋55×eq\f(10,100)＋65×eq\f(20,100)＋75×eq\f(30,100)＋85×eq\f(20,100)＋95×eq\f(10,100)＝72，據(jù)此，可以估計高一年級這次學問競賽的學生的平均成果為72分．(3)高一高二合計合格人數(shù)8060140不合格人數(shù)204060合計100100200χ2＝eq\f(200（80×40－20×60）2,100×100×140×60)≈9.524>6.635.所以有99%的把握認為“這次學問競賽的成果與年級有關(guān)系”．eq\a\vs4\al()獨立性檢驗的考查，往往與概率和抽樣統(tǒng)計圖等一并考查，這類問題的求解往往按各小題及提問的依次，一步步進行下去，是比較簡單解答的，考查單純的獨立性檢驗往往用小題的形式，而且χ2的公式一般會在原題中給出．某班班主任對全班50名學生學習主動性和對待班級工作的看法進行了調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：主動參與班級工作不太主動參加班級工作合計學習積極性高18725續(xù)表學習主動性一般61925合計242650(1)假如隨機抽查這個班的一名學生，那么抽到主動參與班級工作的學生的概率是多少？抽到不太主動參與班級工作且學習主動性一般的學生的概率是多少？(2)試運用獨立性檢驗的思想方法分析：學生的學習主動性與對待班級工作的看法是否有關(guān)系？并說明理由．解：(1)主動參與班級工作的學生有24人，總?cè)藬?shù)為50，故抽到主動參與班級工作的學生的概率是eq\f(24,50)＝eq\f(12,25)；不太主動參與班級工作且學習主動性一般的學生有19人，故抽到不太主動參與班級工作且學習主動性一般的學生的概率是eq\f(19,50).(2)由公式得χ2＝eq\f(50×（18×19－6×7）2,25×25×24×26)≈11.538.因為11.538>6.635，所以我們有99%的把握認為“學生的學習主動性與對待班級工作的看法有關(guān)系”．————————————————————————————————————————1．獨立性檢驗的一般步驟(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)依據(jù)公式χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)，計算χ2的值．(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計推斷．2．精確理解χ2的含義：若χ2>6.635，說明假設(shè)不合理的程度約為99%，即“兩個變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為99%.1．對2×2列聯(lián)表中n11，n12，n21，n22的位置勿必正確填寫．2．計算χ2的值要保證精確無誤．1．對于分類變量A與B的統(tǒng)計量χ2，下列說法正確的是()A．χ2越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越小B．χ2越大，說明“A與B無關(guān)”的程度越大C．χ2越小，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越小D．χ2接近于0，說明“A與B無關(guān)”的程度越小解析：選C.由獨立性檢驗的定義及χ2的意義可知C正確．2．用χ2統(tǒng)計量進行獨立性檢驗時，運用的表稱為______，要求表中的四個數(shù)據(jù)均大于或等于________．解析：在運用χ2統(tǒng)計量作2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗時，要求表中的4個數(shù)據(jù)大于或等于5.在選取樣本容量時肯定要留意這一點．答案：2×2列聯(lián)表53．若兩個分類變量X和Y的列聯(lián)表為：y1y2合計x151520x2401050合計452570則X與Y之間有關(guān)系的概率約為________．解析：χ2≈18.8＞6.635.故有99%的把握認為X與Y有關(guān)．答案：99%[學生用書P81(單獨成冊)])[A基礎(chǔ)達標]1．事務(wù)A、B是相互獨立的，下列四個式子：①P(AB)＝P(A)P(B)； ②P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)；③P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))； ④P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))．其中正確的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選D.事務(wù)A與B相互獨立，則eq\o(A,\s\up6(－))與B，A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也相互獨立．2．提出統(tǒng)計假設(shè)H0，計算出χ2的值，則拒絕H0的是()A．χ2＝6.635 B．χ2＝2.63C．χ2＝0.725 D．χ2＝1.832解析：選A.χ2的大小可以確定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)H0，若χ2的值較大，就拒絕H0，即拒絕兩個分類變量無關(guān)．3．調(diào)查男女學生購買食品時，是否看出廠日期與性別有無關(guān)系，最有說明力的是()A．期望 B．方差C．正態(tài)分布 D．獨立性檢驗解析：選D.推斷兩個事務(wù)是否相關(guān)時，常用獨立性檢驗．4．在探討打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%的把握認為這個結(jié)論是成立的．下列說法中正確的是()A．100個心臟病患者中至少有99人打鼾B．1個人患心臟病，則這個人有99%的概率打鼾C．100個心臟病患者中肯定有打鼾的人D．100個心臟病患者中可能一個打鼾的人都沒有解析：選D.這是獨立性檢驗，有99%的把握認為“打鼾與患心臟病有關(guān)”．這只是一個概率，即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.依據(jù)概率的意義可知答案應(yīng)選D.5．有兩個分類變量X，Y，其一組的列聯(lián)表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a，15－a均為大于5的整數(shù)，若有95%的把握認為X，Y有關(guān)，則a的值為()A．8 B．9C．8，9 D．6，8解析：選C.依據(jù)公式，得χ2＝eq\f(65×[a（30＋a）－（15－a）（20－a）]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×（13a－60）2,20×45×3×2)＞3.841，依據(jù)a＞5且15－a＞5，a∈Z，求得a＝8，9滿意題意．6.假如元件A、B、C正常工作的概率分別為P1、P2、P3，則如圖所示的線路，正常工作的概率為________．解析：A、B、C至少有一個元件正常工作即可．答案：1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)7．獨立性檢驗所采納的思路是：要探討X，Y兩個分類變量彼此相關(guān)，首先假設(shè)這兩個分類變量彼此________，在此假設(shè)下構(gòu)造隨機變量χ2.假如χ2的觀測值較大，那么在肯定程度上說明假設(shè)________．解析：獨立性檢驗的前提是假設(shè)兩個分類變量無關(guān)系，然后通過隨機變量χ2的觀測值來推斷假設(shè)是否成立．答案：無關(guān)系不成立8．某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量的評價調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：認為作業(yè)量大認為作業(yè)量不大合計男生18927女生81523合計262450則有____________的把握認為作業(yè)量的大小與學生的性別有關(guān)．解析：因為χ2＝eq\f(50×（18×15－9×8）2,27×23×26×24)≈5.059＞3.841，所以有95%的把握認為作業(yè)量的大小與學生的性別有關(guān)．答案：95%9．為了探討性格與血型的關(guān)系，抽取80名被試驗者，他們的血型與性格匯總?cè)缦卤恚托愿馩型或A型B型或AB型合計A型181634B型172946合計354580試推斷性格與血型是否相關(guān)．解：由表中所給數(shù)據(jù)可知，n11＝18，n12＝16，n21＝17，n22＝29，n1＋＝34，n2＋＝46，n＋1＝35，n＋2＝45，n＝80，所以依據(jù)χ2的計算公式可得χ2＝eq\f(80×（18×29－16×17）2,34×46×35×45)≈2.030<3.841.所以我們沒有充分的證據(jù)斷定性格與血型有關(guān)系，可以認為性格與血型無關(guān)．10．電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視狀況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查．下面是依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖，如圖所示：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)依據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采納隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：P(χ2＞k0)0.050.01k03.8416.635解：(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得χ2＝eq\f(100×（30×10－45×15）2,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈3.030.因為3.030＜3.841，所以沒有充分的證據(jù)表明“體育迷”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為eq\f(1,4).由題意知X～B(3，eq\f(1,4))，則P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(3,4))3＝eq\f(27,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,4))1(eq\f(3,4))2＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,4))2(eq\f(3,4))1＝eq\f(9,64)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,4))3＝eq\f(1,64)，從而X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)E(X)＝np＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16).[B實力提升]11．考察棉花種子經(jīng)過處理與得病之間的關(guān)系得到如下表數(shù)據(jù)種子處理種子未處理合計得病32101133不得病61213274合計93314407依據(jù)以上數(shù)據(jù)，則()A．種子經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān)B．種子經(jīng)過處理跟是否生病無關(guān)C．種子是否經(jīng)過處理確定是否生病D．以上都是錯誤的解析：選B.χ2＝eq\f(407×（32×213－61×101）2,93×314×133×274)≈0.1641＜3.841，故種子是否經(jīng)過處理與生病無關(guān)．12．某高校“統(tǒng)計初步”課程的老師隨機調(diào)查了選該課的一些學生狀況，詳細數(shù)據(jù)如下表：專業(yè)性別非統(tǒng)計專業(yè)統(tǒng)計專業(yè)男1310女7202為了推斷主修統(tǒng)計專業(yè)是否與性別有關(guān)系，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得χ2＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈4.844＞3.841.因此，判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種推斷出錯的概率為________．解析：依據(jù)χ2＞3.841，可推斷有95%的把握認為主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān)系．故出錯的概率為0.05.答案：0.0513．某校數(shù)學課外愛好小組為探討數(shù)學成果是否與性別有關(guān)，先統(tǒng)計本校高三年級每個學生一學期數(shù)學成果的平均分(采納百分制)，剔除平均分在30分以下的學生后，共有男生300名，女生200名．現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，按性別分為兩組，并將兩組學生成果分為6組，得到如下所示頻數(shù)分布表．分數(shù)段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]男39181569女64510132(1)估計男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)，從計算結(jié)果看，數(shù)學成果是否與性別有關(guān)；(2)規(guī)定80分以上為優(yōu)秀(含80分)，請你依據(jù)已知條件作出2×2列聯(lián)表，并推斷數(shù)學成果是否與性別有關(guān)．優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生女生合計100解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，eq\o(x,\s\up6(－))女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，因為eq\o(x,\s\up6(－))男＝eq\o(x,\s\up6(－))女，所以從男、女生各自的平均分來看，并不能推斷數(shù)學成果與性別是否有關(guān)．(2)由頻數(shù)分布表可知，在抽取的100名學生中，“男生組”中數(shù)學成果優(yōu)秀的有15人，“女生組”中數(shù)學成果優(yōu)秀的有15人，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生154560女生152540合計3070100可得χ2＝eq\f(100×（15