2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.2.2直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE6.2.2直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解直線上向量的坐標(biāo)的定義.2.駕馭直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系.3.會求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離及中點(diǎn)坐標(biāo).通過對直線上向量的坐標(biāo)定義的理解,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng);通過直線上向量坐標(biāo)的運(yùn)算,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)1.如圖,已知向量a長度為1.(1)那么向量a與向量b和c是什么關(guān)系?(2)向量b和c用a怎么表示?2.數(shù)軸是怎樣定義的?3.畫一條數(shù)軸,在軸上作出兩個坐標(biāo)相反的點(diǎn).我們已學(xué)過了數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo),如圖問題1點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是什么?問題2向量OA,OB的長度分別是多少?問題3假如向量e是與軸方向相同的單位向量,如何用e表示OA,OB?問題4假如點(diǎn)A(x1),B(x2),又怎么辦呢?課堂探究一、直線上向量的坐標(biāo)的定義給定一條直線l以及這條直線上一個單位向量e,肯定存在唯一的實(shí)數(shù)x,使得a=xe,此時,稱為向量a的坐標(biāo).

假如直線上向量a的坐標(biāo)為x,此時|a|=|xe|=|x||e|=|x|;當(dāng)x>0時,a的方向與e的方向;

當(dāng)x=0時,a為;

當(dāng)x<0時,a的方向與e的方向.

題型一直線上的向量坐標(biāo)例1已知e是直線l上的一個單位向量,向量a與b都是直線l上的向量,分別在下列條件下寫出a與b的坐標(biāo):(1)a=2e,b=-3e;(2)a=-13e,b=4訓(xùn)練1如圖所示,求出向量a,b的坐標(biāo).思索:如何得出直線上向量的坐標(biāo)呢?二、直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系我們已學(xué)過了數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo),如圖問題1向量OA+OB坐標(biāo)是多少?問題2假如A(x1),B(x2)又怎么辦呢?問題3以小組為單位總結(jié)如下問題,若a,b的坐標(biāo)分別為x1,x2,則a+b的坐標(biāo)為;

a-b的坐標(biāo)為;

λa的坐標(biāo)為;

ua+vb的坐標(biāo)為;

ua-vb的坐標(biāo)為.

學(xué)生總結(jié):(1)假設(shè)直線上兩個向量a,b的坐標(biāo)分別為x1,x2,當(dāng)a=b時,;反之,結(jié)論也成立.

(2)a+b的坐標(biāo)是,a-b的坐標(biāo)是,ua+vb的坐標(biāo)是,ua-vb的坐標(biāo)是.

題型二直線上向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算例2已知直線上向量a的坐標(biāo)為-3,b的坐標(biāo)為4,求下列向量的坐標(biāo):(1)a-b;(2)15b;(3)-2a+3我們已學(xué)過了數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo),如圖問題1AB,BA對應(yīng)的坐標(biāo)分別是多少?問題2假如點(diǎn)A(x1),B(x2),又怎么辦呢?問題3與兩者依次有關(guān)嗎?假如已知數(shù)軸上點(diǎn)A(x1),B(x2),則以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量的坐標(biāo)如何表示?.

訓(xùn)練2已知A,B都是數(shù)軸上的點(diǎn),A(-3),且AB的坐標(biāo)為-5,求點(diǎn)B的坐標(biāo).三、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式我們已學(xué)過了數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo),如圖問題1AB,BA對應(yīng)的長度分別是多少?問題2AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是多少?問題3假如點(diǎn)A(x1),B(x2),又怎么辦呢?學(xué)生總結(jié)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式與數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.設(shè)A(x1),B(x2)是數(shù)軸上兩點(diǎn),M(x)是線段AB的中點(diǎn),則AB=|AB|=.x=.

題型三數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式例3已知A,B,C為數(shù)軸上三點(diǎn),且xA=-2,xB=6,試求符合下列條件的點(diǎn)C的坐標(biāo).(1)AC=10;(2)|AC|=3|BC|.訓(xùn)練3設(shè)數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為2,-6,求:(1)向量AB的坐標(biāo)以及點(diǎn)A與B的距離;(2)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo).課堂練習(xí)1.已知直線上OA,OB的坐標(biāo)分別為-1,2,則下列結(jié)論不正確的是()A.OA<OB B.|OA|<|OB|C.|AB|=3 D.AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為12.數(shù)軸上的向量a的模為1,則a的坐標(biāo)為()A.1 B.-1C.±1 D.不能確定3.數(shù)軸上點(diǎn)A(-3)關(guān)于點(diǎn)M(2)的對稱點(diǎn)為B(x),則x=.

4.已知a,b是直線上的向量,a的坐標(biāo)為1,且|3a-2b|=1,求b的坐標(biāo).核心素養(yǎng)專練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知a,b是直線上的向量,滿意|a-b|=1的是()A.a,b的坐標(biāo)分別為-1,+1B.a,b的坐標(biāo)分別為0,2C.a,b的坐標(biāo)分別為-1,0D.a,b的坐標(biāo)分別為-2,02.已知a,b是數(shù)軸上的向量,且滿意|a+b|=|a|+|b|,下列敘述正確的是()A.a,b都與數(shù)軸正方向相同B.a,b都與數(shù)軸正方向相反C.a,b中一個與數(shù)軸正方向相同,另一個與數(shù)軸正方向相反D.a,b都與數(shù)軸的正方向相同或相反,或者a,b中至少有一個為零向量3.數(shù)軸上,點(diǎn)A(-2)關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B(x),點(diǎn)O與點(diǎn)C(y)的中點(diǎn)是B.則y=.

4.如圖所示,求出直線上向量a,b的坐標(biāo).5.設(shè)數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為-1,3,求:(1)向量AB的坐標(biāo)以及點(diǎn)A與B的距離;(2)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo).實(shí)力提升6.已知a,b是直線上的向量,滿意2a+3b=e的一組向量a,b的坐標(biāo)分別為.(答案不唯一)

創(chuàng)新猜想7.(多選題)已知a,b是同始終線上的向量,下列選項中肯定不成立的是()A.||a|-|b||<|a+b|B.||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|C.|a+b|=|a-b|D.|a|+|b|=|a+b|參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究一、x相同零向量相反例1解:(1)∵e的坐標(biāo)為1,又a=2e,b=-3e,∴a的坐標(biāo)為2,b的坐標(biāo)為-3.(2)∵e的坐標(biāo)為1,又a=-13e,b=4e∴a的坐標(biāo)為-13,b的坐標(biāo)為4訓(xùn)練1解:因?yàn)橄蛄縜的起點(diǎn)在原點(diǎn),因此由a的終點(diǎn)坐標(biāo)可知a的坐標(biāo)為-1;把向量b的起點(diǎn)平移到原點(diǎn),則其終點(diǎn)坐標(biāo)為2,故b的坐標(biāo)為2.思索:略二、略例2解:(1)a-b的坐標(biāo)為-3-4=-7.(2)15b的坐標(biāo)為15×4=(3)-2a+3b的坐標(biāo)為(-2)×(-3)+3×4=18.問題略訓(xùn)練2解:設(shè)點(diǎn)B(x),則x-(-3)=-5,∴x=-8.三、略例3解:(1)∵AC=10,∴|xC-xA|=10,∴xC=xA±10,∴xC=-12或8.(2)∵|AC|=3|BC|,∴|xC-xA|=3|xC-xB|,即|xC+2|=3|xC-6|,∴xC+2=3(xC-6)或xC+2=-3(xC-6),∴xC=10或4.訓(xùn)練3解:(1)由題意得OA的坐標(biāo)為2,OB的坐標(biāo)為-6,又因?yàn)锳B=OB-OA,所以AB的坐標(biāo)為-6-2=-8,而且AB=|AB|=|-8|=8.(2)設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為x,則x=2+(-6)課堂練習(xí)1.A2.解析:設(shè)a的坐標(biāo)為x,∵|a|=1,∴|xe|=|x||e|=|x|=1,∴x=±1.答案:C3.解析:由題意知M是AB的中點(diǎn),∴2=-3+x2,答案:74.解:設(shè)b的坐標(biāo)為x,則|3×1-2x|=1,即3-2x=±1,∴x=1或x=2,即向量b的坐標(biāo)為1或2.核心素養(yǎng)專練1.解析:利用直線上向量的運(yùn)算驗(yàn)證,易知C正確.答案:C2.解析:設(shè)a,b的坐標(biāo)分別為x,y,則|x+y|=|x|+|y|,所以x,y同號或至少有一個為零,故選D.答案:D3.解析:由題意知0=-2+x2x=2=0+y2,∴y=答案:44.解:因?yàn)閍的始點(diǎn)在原點(diǎn),因此由a的終點(diǎn)坐標(biāo)可知a的坐標(biāo)為2.因?yàn)閎=-4e,所以b的坐標(biāo)為-4.5.解:(1)向量AB的坐標(biāo)為3-(-1)=4,AB=|AB|=4.(2)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為-1+32=6.解析:設(shè)a,b的坐標(biāo)分別為x,y,則2x+3y=1,令x=12,則y=0答案:127.解析:∵a與b共線,∴A,B肯定不成立;對C,當(dāng)b=0時成立;對D,當(dāng)a,b同方向或a,b有一個為0時成立.答案:AB課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)1.理解直線上向量的坐標(biāo)的概念,會求直線上向量的坐標(biāo);(教學(xué)重點(diǎn))2.理解直線上向量坐標(biāo)的運(yùn)算,會求直線上向量的加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算;3.會用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決實(shí)際問題.(教學(xué)難點(diǎn))1.通過本節(jié)例1、例2的學(xué)習(xí)提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng);2.通過本節(jié)例3的學(xué)習(xí)培育學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識.自主預(yù)習(xí)一、直線上向量的坐標(biāo)1.給定一條直線l以及這條直線上一個單位向量e,由共線向量基本定理可知,對于直線l上的隨意一個向量a,肯定存在唯一的實(shí)數(shù)x,使得,此時,x稱為向量a的坐標(biāo).

2.怎樣理解a=xe?提示:x既能刻畫向量a的模,也能刻畫a的方向.(1)|a|==;

(2)當(dāng)x>0時,a的方向與e的方向;

當(dāng)x=0時,a=;

當(dāng)x<0時,a的方向與e的方向.

二、直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系1.已知兩個向量a,b的坐標(biāo)分別為x1,x2,則(1)a+b的坐標(biāo)為;

(2)ua+vb的坐標(biāo)為;

(3)ua-vb的坐標(biāo)為.

小試牛刀:已知直線上a的坐標(biāo)為-2,b的坐標(biāo)為5,求下列向量的坐標(biāo):(1)a+b;(2)15b;(3)-2a-32.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式:設(shè)點(diǎn)A(x1),B(x2),則|AB|=.

3.中點(diǎn)坐標(biāo)公式:設(shè)M(x)是線段AB的中點(diǎn),則x=.

小試牛刀:已知數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為3,-7,求:(1)向量AB的坐標(biāo)及A,B兩點(diǎn)之間的距離;(2)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo).課堂探究探究一、概念的辨析問題例1下列命題正確的個數(shù)為()(1)向量的長度大于0;(2)數(shù)軸上離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)表示的數(shù)越大;(3)AB+AC=BC.A.0 B.1 C.2 D.3變式訓(xùn)練1以下結(jié)論錯誤的為()A.0在數(shù)軸上表示的點(diǎn)是原點(diǎn)B.一千萬分之一在數(shù)軸上的對應(yīng)的點(diǎn)是不存在的C.規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸D.在數(shù)軸上表示2和-2的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等探究二、直線上向量基本公式的應(yīng)用例2已知數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn),A,B之間的距離為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3.(1)求向量OA,AB的坐標(biāo);(2)求全部滿意條件的點(diǎn)B到原點(diǎn)O的距離之和.變式訓(xùn)練2(1)已知數(shù)軸上三點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是4,-2,-6.求:AB,BC,CA的坐標(biāo)長度.(2)已知A,B,C是數(shù)軸上隨意三點(diǎn).①若點(diǎn)A(4),B(-2),求AB中點(diǎn)的坐標(biāo);②若AB的坐標(biāo)為4,CB的坐標(biāo)是2,求|AC|.探究三、直線上向量坐標(biāo)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用例3在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(3,2),B(1,0),C(-2,0),試在x軸上確定點(diǎn)D的坐標(biāo),使SΔABC=12SΔABD變式訓(xùn)練3解關(guān)于x的方程:|x-2|+|x-3|=1.課堂小結(jié)1.構(gòu)建思維脈絡(luò);2.畫學(xué)問網(wǎng)絡(luò)圖;3.駕馭兩種數(shù)學(xué)思想.課堂練習(xí)1.已知數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為3,-6,則|AB|=()A.3 B.6 C.9 D.42.在數(shù)軸上,與點(diǎn)M(-1)的距離是4的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

3.在數(shù)軸上求一點(diǎn)P,使它到點(diǎn)A(-8)的距離是它到點(diǎn)B(-4)的距離的2倍.4.已知|x-1|<1,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.作業(yè):P160練習(xí)A,B核心素養(yǎng)專練1.已知向量a,b在同一條直線上,|a|=2|b|,若b的坐標(biāo)為2,則a的坐標(biāo)為()A.4 B.-4 C.2或-2 D.4或-42.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為a,b,則向量AB的坐標(biāo)為()A.a-b B.b-a C.-a-b D.a+b3.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為-1和3,若P為數(shù)軸上一點(diǎn),且|PA|+|PB|=6,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.-3 B.-3或5 C.-2 D.-2或44.已知直線上向量a的坐標(biāo)為m,若b=-a,則向量b的坐標(biāo)為()A.m B.-m C.0 D.m或-m5.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)M,N,且|MN|=4,xM=-3,則xN=()A.1 B.2 C.-7 D.1或-76.已知直線上向量a的坐標(biāo)為-2,b的坐標(biāo)為5,則|2a+b|=()A.1 B.2 C.3 D.47.如圖,數(shù)軸上四點(diǎn)O,A,B,C,其中O為原點(diǎn),且AC=2,|OA|=|OB|,若點(diǎn)C的坐標(biāo)為a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.-a-2 B.2-a C.a-2 D.a+28.數(shù)軸上點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為-4,2,點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),則向量AC的坐標(biāo)為.

9.已知直線上向量a的坐標(biāo)為-32,b的坐標(biāo)為1,c的坐標(biāo)為-23,則|2a+3b-6c|=10.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為x1,x2,求AB,BA的坐標(biāo)及A,B兩點(diǎn)間的距離.(1)x1=2,x2=-5.3;(2)x1=10,x2=20.5.11.直線上向量a的坐標(biāo)為5,b的坐標(biāo)為-13(1)-3b;(2)a-b;(3)2a+3b;(4)-a-6b.12.數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為4,-6,x,線段AB的中點(diǎn)為D.(1)求向量AB的坐標(biāo)及點(diǎn)A,B的距離;(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)若|AC|=8,求x的值.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究[例1]A[變式訓(xùn)練1]B[例2]解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(3)或A(-3).①當(dāng)A(3)時,A,B之間的距離為1.∴B(2)或B(4),這時OA的坐標(biāo)為3,AB的坐標(biāo)為-1或1;②當(dāng)A(-3)時,∵A,B之間的距離為1,∴B(-4)或B(-2),此時OA的坐標(biāo)為-3,AB的坐標(biāo)為-1或1.(2)滿意全部條件的點(diǎn)B到原點(diǎn)O的距離之和為2+4+4+2=12.[變式訓(xùn)練2](1)解:AB=-2-4=-6;BC=-6-(-2)=-4;CA=4-(-6)=10.(2)解:①AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為4+(-2②因?yàn)锳C=AB+BC=AB-CB=4-2=2,所以|AC|=2.[例3]解:由題意知△ABC與△ABD有共同的高h(yuǎn)=2,所以使SΔABC=12SΔABD,只要|BC|=1設(shè)D(xD,0),則|1-(-2)|=12|1-xD解得xD=-5或7.所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為