2025年仁愛科普版高一數(shù)學上冊月考試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年仁愛科普版高一數(shù)學上冊月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、已知a、b、c為正實數(shù)，且滿足===k，則一次函數(shù)y=kx+（1-k）的圖象一定經(jīng)過（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限2、設則使函數(shù)的定義域為且為奇函數(shù)的所有的值為A.B.C.D.3、下列命題中錯誤的是（）

①圖象關于原點成中心對稱的函數(shù)一定為奇函數(shù)；②奇函數(shù)的圖象一定過原點；③偶函數(shù)的圖象與y軸一定相交；④圖象關于y軸對稱的函數(shù)一定為偶函數(shù)．

A.①②

B.③④

C.①④

D.②③

4、定義兩種運算：則函數(shù)的圖象關于（）

A.x軸對稱。

B.y軸對稱。

C.原點對稱。

D.直線x-y=0對稱。

5、【題文】設直線L經(jīng)過點(-1.1),則當點(2.-1)與直線L的距離最遠時,直線L的方程是()A.3x-2y+5=0B.2x-3y-5=0C.x-2y-5=0D.2x-y+5=06、《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，徑十六步．問為田幾何？”譯成現(xiàn)代漢語其意思為：有一塊扇形的田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，問這塊田的面積是多少（平方步）？（）A.120B.240C.360D.4807、已知平面向量=（1，-3），=（4，-2），若λ-與垂直，則實數(shù)λ=（）A.-1B.1C.-2D.28、x2+y2-4y-1=0的圓心和半徑分別為（）A.（2，0），5B.（0，-2），C.（0，2），D.（2，2），59、下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(

)

A.y=tan3x

B.y=cos2x+1

C.y=2sinx鈭?1

D.y=2x

評卷人得分二、填空題(共8題，共16分)10、一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到達B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為____km．11、=____．12、函數(shù)的定義域為；13、已知數(shù)列的則=_____________14、【題文】“”是“”的____條件．15、已知α、β均為銳角，且tanβ=則tan（α+β）=____16、對a，b∈R，記max{a，b}=則函數(shù)f（x）=max{|x+1|，x+2}（x∈R）的最小值是____．17、求值：=____________．評卷人得分三、證明題(共5題，共10分)18、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．19、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．20、已知ABCD四點共圓，AB與DC相交于點E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．21、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、如圖；過圓O外一點D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．評卷人得分四、計算題(共1題，共7分)23、如圖，∠1=∠B，AD?AC=5AE，DE=2，那么BC?AD=____．評卷人得分五、綜合題(共4題，共16分)24、已知拋物線Y=x2-（m2+4）x-2m2-12

（1）證明：不論m取什么實數(shù)；拋物線必與x有兩個交點。

（2）m為何值時；x軸截拋物線的弦長L為12？

（3）m取什么實數(shù)，弦長最小，最小值是多少？25、設直線kx+（k+1）y-1=0與坐標軸所圍成的直角三角形的面積為Sk，則S1+S2++S2009=____．26、取一張矩形的紙進行折疊；具體操作過程如下：

第一步：先把矩形ABCD對折；折痕為MN，如圖（1）所示；

第二步：再把B點疊在折痕線MN上；折痕為AE，點B在MN上的對應點為B′，得Rt△AB′E，如圖（2）所示；

第三步：沿EB′線折疊得折痕EF；如圖（3）所示；利用展開圖（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論．

（2）對于任一矩形；按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由．

（3）如圖（5）；將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點A落在DC邊上的點A′處，x軸垂直平分DA，直線EF的表達式為y=kx-k（k＜0）

①問：EF與拋物線y=有幾個公共點？

②當EF與拋物線只有一個公共點時，設A′（x，y），求的值．27、已知平面區(qū)域上；坐標x，y滿足|x|+|y|≤1

（1）畫出滿足條件的區(qū)域L0；并求出面積S；

（2）對區(qū)域L0作一個內(nèi)切圓M1，然后在M1內(nèi)作一個內(nèi)接與此圓與L0相同形狀的圖形L1，在L1內(nèi)繼續(xù)作圓M2；經(jīng)過無數(shù)次后，求所有圓的面積的和．

（提示公式：）參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、C【分析】【分析】此題要分a+b+c≠0和a+b+c=0兩種情況討論，然后求出k，就知道函數(shù)圖象經(jīng)過的象限．【解析】【解答】解：分兩種情況討論：

當a+b+c≠0時，根據(jù)比例的等比性質(zhì)，得：k==2；此時直線是y=2x-1，過第一；三、四象限；

當a+b+c=0時，即a+b=-c；

∵a、b；c為正實數(shù)；

∴此種情況不存在．

故選C．2、A【分析】試題分析：當時，函數(shù)的定義域為不符合題意；當時，函數(shù)的定義域為R且為奇函數(shù)符合題意；當時，函數(shù)的定義域為不符合題意；當時，函數(shù)的定義域為R且為奇函數(shù)；所以答案選A.考點：函數(shù)的性質(zhì)【解析】【答案】A3、D【分析】

①根據(jù)奇函數(shù)的定義可知；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，則圖象關于原點成中心對稱的函數(shù)一定為奇函數(shù)；故正確。

②奇函數(shù)的定義域內(nèi)有0時，則圖象一定過原點，但是定義域內(nèi)若沒有0，則函數(shù)就不過原點，例如函數(shù)y=故錯誤。

③偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，但不一定與y軸相交，例如y=為偶函數(shù)；其圖象與y軸一定不交；故錯誤。

④由偶函數(shù)的定義可知；偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則圖象關于y軸對稱的函數(shù)一定為偶函數(shù)，故正確。

故錯誤的命題有②③

故選D

【解析】【答案】①根據(jù)奇函數(shù)的定義可知，圖象關于原點成中心對稱的函數(shù)一定為奇函數(shù)；②奇函數(shù)的定義域內(nèi)有0時，則圖象一定過原點；③例如y=為偶函數(shù)；其圖象與y軸一定相不交；

④由偶函數(shù)的定義可知；圖象關于y軸對稱的函數(shù)一定為偶函數(shù)。

4、C【分析】

∵

∴函數(shù)===（-2＜x＜2；且x≠0）

又∵f（-x）==-f（x）

故函數(shù)為奇函數(shù)。

即函數(shù)的圖象關于原點對稱。

故選C

【解析】【答案】由已知中可求出函數(shù)=（-2＜x＜2；且x≠0），化簡后，易判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，進而根據(jù)奇函數(shù)的對稱性得到答案．

5、A【分析】【解析】本題考查直線方程的求法。

由題意，當點(2.-1)與直線L的距離最遠時,設直線L應出之于過點(-1.1)與點(2.-1)的連線，故直線L的斜率為的負倒數(shù)由直線方程的點斜式可得直線L的方程為3x-2y+5="0"，選A。

【點評】讀懂題意是關鍵?！窘馕觥俊敬鸢浮緼6、A【分析】解：由題意可得：S==120（平方步）；

故選：A．

利用扇形面積計算公式即可得出．

本題考查了扇形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．【解析】【答案】A7、B【分析】解：∵=λ（1，-3）-（4，-2）=（λ-4，-3λ+2），與垂直；

∴=λ-4-3（-3λ+2）=0；解得λ=1．

故選B．

利用向量的運算法則和向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出．

熟練掌握向量的運算法則和向量垂直與數(shù)量積的關系是解題關鍵．【解析】【答案】B8、B【分析】解：x2+y2-4y-1=0的標準方程為：x2+（y-2）2=5．圓的圓心坐標（0，2），半徑為：．

故選：B．

圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程；求出圓的圓心與半徑．

本題考查圓的一般方程與圓的標準方程的互化，基本知識的考查．【解析】【答案】B9、B【分析】解：隆脽tan(鈭?3x)=鈭?tan3x隆脿y=tan3x

是奇函數(shù)；

隆脽cos(鈭?2x)+1=cos2x+1隆脿y=cos2x+1

是偶函數(shù)；

隆脽2sin(鈭?x)鈭?1=鈭?2sinx鈭?1隆脿y=2sinx鈭?1

為非奇非偶函數(shù)；

隆脽2鈭?x=12x隆脿y=2x

為非奇非偶函數(shù)．

故選B．

利用函數(shù)奇偶性的定義逐個判斷．

本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎題．【解析】B

二、填空題(共8題，共16分)10、略

【分析】

如圖；依題意有。

AB=15×4=60；

∠MAB=30°；∠AMB=45°；

在△AMB中；

由正弦定理得=

解得BM=30（km）；

故答案為30．

【解析】【答案】先根據(jù)船的速度和時間求得AB的長；進而在△AMB中根據(jù)正弦定理利用∠MAB=30°，∠AMB=45°，和AB的長度，求得BM．

11、略

【分析】

=

=

=．

故答案為：．

【解析】【答案】直接利用誘導公式化簡求值即可．

12、略

【分析】因為函數(shù)的定義域即為解得x的取值范圍是故答案為【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

【解析】【答案】10014、略

【分析】【解析】

試題分析：根據(jù)題意，則條件表示得到集合利用小集合大集合成立的充分不必要條件，可知結(jié)論，故填寫充分不必要。

考點：本試題考查了充分條件的判定運用。

點評：解決該試題的關鍵是理解充分條件的概念，能結(jié)合條件和結(jié)論之間是否可以推出來判定結(jié)論，屬于基礎題?！窘馕觥俊敬鸢浮砍浞植槐匾?5、1【分析】【解答】∵tanβ=

∴tanβ==tan（﹣α）．

又∵α、β均為銳角，∴β=﹣α，即α+β=

∴tan（α+β）=tan=1．

故答案為：1．

【分析】由條件化簡可得tanβ=tan（﹣α），再由α、β均為銳角，可得β=﹣α，即α+β=故可求tan（α+β）的值，16、【分析】【解答】解：當|x+1|≥x+2；即x+1≥x+2或x+1≤﹣x﹣2；

解得x≤﹣時；f（x）=|x+1|，遞減；

則f（x）的最小值為f（﹣）=|﹣+1|=

當|x+1|＜x+2，可得x＞﹣時；f（x）=x+2，遞增；

即有f（x）＞

綜上可得f（x）的最小值為．

故答案為：．

【分析】討論當|x+1|≥x+2，|x+1|＜x+2時，求出f（x）的解析式，由單調(diào)性可得最小值．17、略

【分析】解：因為=tan(4π-)=-tan=-．

故答案為：-．【解析】-三、證明題(共5題，共10分)18、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據(jù)三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結(jié)論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．19、略

【分析】【分析】構造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．20、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實現(xiàn)；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質(zhì)知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可證得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．21、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】要證E為中點，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長需要借助相似，得出比例式，之間的關系可以求出．【解析】【解答】（1）證明：連接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圓O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

?OE∥AD

=＞E為的中點．

（2）解：連CE；則∠AEC=90°，設圓O的半徑為x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE?EF=AD?CF

DE?EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC?FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、計算題(共1題，共7分)23、略

【分析】【分析】根據(jù)∠1=∠B，∠A=∠A判斷出△AED∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式：，則，可求得AD?AC=AE?AB，有根據(jù)AD?AC=5AE，求出AB=5，再根據(jù)△AED∽△ACB，列出比例式=，可求出AD?BC=AB?ED=5×2=10．【解析】【解答】解：∵∠1=∠B；∠A=∠A；

∴△AED∽△ACB；

∴；

即AD?AC=AE?AB；

又∵AD?AC=5AE；

可得AB=5；

又知=；

可得AD?BC=AB?ED=5×2=10．

故答案為10．五、綜合題(共4題，共16分)24、略

【分析】【分析】（1）因為△=（m2+4）2-4×1×（-2m2-12），配方后得到△=（m2+8）2，而m2+8＞0；得到△＞0，即可得到結(jié)論；

（2）令y=0，則x2-（m2+4）x-2m2-12，解方程得到x1=m2+6，x2=-2，于是L=x1-x2=m2+6-（-2）=m2+8，令L=12得到m2+8=12；解方程即可得到m的值；

（3）由L=m2+8，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題即可得到m=0時，L有最小值，最大值為8．【解析】【解答】解：（1）證明：△=b2-4ac=（m2+4）2-4×1×（-2m2-12）

=（m2+8）2；

∵m2≥0；

∴m2+8＞0；

∴△＞0；

∴不論m取什么實數(shù)；拋物線必與x有兩個交點；

（2）令y=0，x2-（m2+4）x-2m2-12；

∴x=；

∴x1=m2+6，x2=-2；

∴L=x1-x2=m2+6-（-2）=m2+8；

∴m2+8=12；解得m=±2；

∴m為2或-2時；x軸截拋物線的弦長L為12；

（3）L=m2+8；

∴m=0時，L有最小值，最小值為8．25、略

【分析】【分析】令x=0，得y=，令y=0，得x=，則Sk=?=（-），根據(jù)三角形面積公式求和．【解析】【解答】解：依題意，得直線與y軸交于（0，），與x軸交于（；0），則

則Sk=?=（-）；

S1+S2++S2009

=（1-+-++-）

=（1-）

=．

故答案為：．26、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；以及矩形性質(zhì)得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；

（2）根據(jù)矩形的長為a，寬為b，可知時，一定能折出等邊三角形，當＜b＜a時；不能折出；

（3）①由已知得出得到x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1）；再分析k即可得出答案；

②得出Rt△EMO∽Rt△A′AD，進而得出，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）△AEF是等邊三角形

證明：∵PE=PA；

B′P是RT△AB′E斜邊上的中線