初中數(shù)學(xué)自主招生訓(xùn)練 16 三角形一邊平行線定理（含解析）

專題16三角形一邊平行線定理

一.選擇題（共9小題）

1.（2020?浙江自主招生）等腰△ABC中，AB=AC,E、尸分別是AB、AC上的點(diǎn)，且8E

=A尸，連接C￡、BF交于點(diǎn)P，若空=2,則座的值為（）

PE4AF

B.J.

§c號(hào)，號(hào)

2.（2019?順慶區(qū)校級(jí)自主招生）已知三萼，那么下列等式中，不成立的是（）

y4

A.上=1B.x-y1

x+y7y-4

C."（產(chǎn)-4a）D.4x=3y

y+4a4

3.（2018?臺(tái)兒莊區(qū)校級(jí)自主招生）已知點(diǎn)G是等邊△45C的重心，A5=6,。為A5邊上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則P、G兩點(diǎn)間距離的最小值是（）

A.2B.返D.2V3

2

4.（2017?青羊區(qū)自主招生）若a,力，。均為實(shí)數(shù)，且-_=上=_2_=工，則X的值為

b+ca+ca+b

A.1B.J.c.2?或1D.2或-1

~222

5.（2017?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在△A8C中，。、E分別為AC,A8中點(diǎn)，尸在AC

上且A〃=2〃C,AO與EV交于點(diǎn)G,則一也遐一=（）

S四邊形DCK；

A.3：7B.4：9C.5：IID.6：13

6.（2017?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）若“：y=\z3,2y=3z,則空E的值是（）

2x-y

A.-5B.-歿C.—D.5

33

7.（2017?余姚市校級(jí)自主招生）如果實(shí)數(shù)機(jī)#〃，且細(xì)&=空工，則加+〃=（）

8n+mn+1

A.7B.8C.9D.10

8.（2017?諸暨市校級(jí)自主招生）在梯形4BCO中，AB//CD,AB=3CD,E是對(duì)角線AC的

中點(diǎn)，直線BE交AO于點(diǎn)凡則AF：FD=（）

9.（2012?樂平市自主招生）在△ABC中，P、Q分別在AB、4。上，且況厚=］則P。

APQA

一定經(jīng)過△ABC的（）

A.垂心B.外心C.重心D.內(nèi)心

二.填空題（共14小題）

10.（2020?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）若4：b：c=3：5：8,3a+h-c=18>則a=.

11.（2020?南安市校級(jí)自主招生）如圖所示，△4BC中，已知40和BE分別是邊8C,AC

上的中線，且AOJ_BE,垂足為G,若GD=2,GE=3,則線段CG為.

12.（2020?浙江自主招生）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，GAYGB,48=5,則AC^+BC2

的值為.

B

13.（2020?浙江自主招生）G是△ABC的重心,過G的直線交A3于M,交AC于N,則典②

AMAN

14.（2020?浙江自主招生）如圖，梯形A8C。中，AD//BC,E為BC上任意一點(diǎn)，連接AE、

DE、Gi、G2、G3分別為△ABE,△AOE,△OEC的重心，BC=2AD=12,梯形的高為6,

15.（2020?浙江自主招生）如圖，已知△ABC中，。為8c中點(diǎn)，E,尸為A8邊三等分點(diǎn),

16.12。18?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，已知NAO8=60°,點(diǎn)尸在邊上，。尸=1。，

點(diǎn)M,N在邊OB上，PM=PM點(diǎn)。為線段。戶上任意一點(diǎn)，CD〃ON交PM、PN分

17.（2017?金牛區(qū)校級(jí)自主招生）如圖所示，設(shè)M是△48C的重心，過M的直線分別交

AB、AC于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn).則更皿=

PAQA

18.（2017?慈溪市校級(jí)自主招生）如圖所示，設(shè)M是△ABC的重心，過M的直線分別交邊

AB,AC于尸，Q兩點(diǎn)，且或=m，—=/?,則』+2=____.

PBQCmn

19.（2014?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）已知，在△48C中，AC=BC=1,ZC=36°,PWAABC

的面積是?

20.（2016秋?溫江區(qū)校級(jí)月考）如圖，。是BC上一點(diǎn)，E是A8上一點(diǎn)，AO、CE交于點(diǎn)

P,且AE：EB=3：2,CP：CE=5：6,那么￡>&CD=.

21.（2012?麻城市校級(jí)自主招生）已知a,b,。均為非零實(shí)數(shù)，滿足：殳￡亙=電電=

ab

a+b-c則（a+b）（b+c）（c+a）的值為.

cabc

22.（2009?蒲江縣校級(jí)自主招生）已知，在△ABC中，G是三角形的重心，AG1GC,AG

=5cm,GC=\2cm,則BG=.

23.（2007?安慶校級(jí)自主招生）如圖，在△43C中，E為A8邊的中點(diǎn)，P為BE上一點(diǎn)、,

過點(diǎn)P作PQ〃4c交4c于。，交,CE于M,若PM=2,MQ=3,則8C=

A

24.（2018?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）G為重心，DE過重心，SAABC=1,求SAADE的最值，并

證明結(jié)論.

25.（2017?青羊區(qū)自主招生）在A4BC中，已知點(diǎn)。是NA的內(nèi)角平分線上的一點(diǎn)，E,F

分別為AB,AC延長線上的點(diǎn).箱CD//BF,且8與AB交于點(diǎn)G,BD//CE,且8。

與4C交于點(diǎn)凡

（1）求證:BE=CF；

(2)若M,N分別為CE,8尸的中點(diǎn)，求證：AD1MN.

26.（2015?長沙縣校級(jí)自主招生）如圖，已知M、N為△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且滿足

BM=MN=NC,一條平行于4C的直線分別交A8、4M和AN的延長線于點(diǎn)。、E和兄

求旦2的值.

DE

27.（2015?成都校級(jí)自主招生）如圖，AB//CD.AD//CE,產(chǎn)、G分別是AC和f。的中點(diǎn),

過G的直線依次交A4、AD.CD.CE于點(diǎn)M、N、P、Q,

求證：MN+PQ=2PN.

專題16三角形一邊平行線定理

參考答案與試題解析

一.選擇題(共9小題)

1.【解答］解：作￡O〃AC交BF于。，如圖，

*：ED//FC,

?ED=EP=4

??其PC§，

設(shè)ED=4x,BE=y,則FC=3x,AF=yf

*：AB=AC,

：.AE=FC=3x,

*：DE//AF,

??.些=匹，即

BAAFy+3xy

整理得y2-4xy-12X2=0,

(y+2x)(y-6x)=0,

**.y=6x?

.?屈=至=2

AF6x2

故選：A.

2.【解答】解：A、???三=X

y4

?,.」-=旦，此選項(xiàng)正確，不合題意；

x+y7

B、??,三月

y4

???衛(wèi)=-工，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意;

y4

「VX???x—319

y4

江9=2,此選項(xiàng)正確，不合題意;

y+4a4

/.4x=3y,此選項(xiàng)正確，不合題意；

故選：B.

3.【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A5中點(diǎn)位置時(shí)，

???點(diǎn)G是等邊AABC的重心，

：.CP.LAB,CG=2PGEPGP=^CP.

3

此時(shí)GP最短，且5P=3,BC=6,

根據(jù)勾股定理可得：

CP=7^P=3加，

?,?G尸=加.

故選：C.

4.【解答】解：???一—=」_=_￡_=X,

b+ca+ca+b

???①當(dāng)a+HcWO時(shí)，x=————=1,

b+c+a+c+a+b2

②當(dāng)a+Hc=O時(shí)，a=-（b+c）,則x=——=,—（b+c）=7

b+cb+c

故選：D.

5.【解答】解：連接。E,如圖，AF=2FC,則A尸=當(dāng)（7,

3

???。、E分別為8C,4B中點(diǎn)，

JOE為△ABC的中位線，

：.DE//AC,DE=^AC,

2

*：DE//AF,

JAC

?DG=EG=DE=2_=3

T

**AGGFAF2AC

3

設(shè)SdDEG=3x,貝|JS“EG=4X,

S

vAAEGEG3

^△AGFGF4

.*.5A4GF=-i^v￥,

3

'：AE=BEt

'?25A4DE=2(3x+4x)=14x,

?:BD=CD,

S&ADC=S^ABD=14x?

；?S四邊形CDGP=14x-—.r,

33

?SaAEG_4x_6

S四邊形DCF；型x13

3x

故選：D.

6.【解答］解：由％:y=\：3,得y=3x.

2x+y=2x+3x=5x=_5,

2x-y2x-3x-x

故選：A.

7.【解答］解：根據(jù)比例的性質(zhì)，

由原式得，(8m+n)+(8rrhn)=(m+l)+(n+l)

(8m+n)-(8n+m)(m+l)-(n+l)

整理得，9(/n)=mW+2,

7(m-n)m-n

2Cm+n')=14,

m+n=7.

故選：A.

8.【解答］解：延長8尸交CO的延長線與點(diǎn)G,連接4G,如圖,

,:AB〃CD,E是對(duì)角線4c的中點(diǎn)，

???四邊形ABCG是平行四邊形，

：.GC=AB,

又AB=3CD,

：.GD=2CD,

.AF=AB=3.

**FDGD~2

故選：D.

9.【解答】解：作BC邊上的中線A。，交PQ于G,過8作BE〃尸。交4。于E,過C作

CF//PQ交AD的延長線于F.

則O是8C的中點(diǎn)，BE//CF,

由ABEDgACFD得ED=FD,

??BP_CQ=EG.FG=EG+FG_(DG+DF)+(DG-DE)_2義DG

'APAQAGAGAGAGAG

???根據(jù)己知條件肚旦=1，得絲幽=i,即毀=2,

APQAAGAG2

故G是△ABC的重心,

故選：C.

10.【解答］解：設(shè)。=3々，b=5k,c=Sk(2W0),

*/3a+b-c=18,

.??3X32+52-82=18,

6女=18,

解得：A=3,

，。=3左=9,

故答案為：9.

11.【解答］解：延長CG交48于"，如圖,

???BO和CE分別是邊AC,48上的中線，

.?.點(diǎn)G是△ABC的重心，

.*.AG=2GZ)=4,BG=2GE=6,CG=2GH,

〈AD上BE,

AZ4GB=90°,

：,AB=yJAG2+BG2=742+62=2^>

又:”是48的中點(diǎn)，

：.GH=^AB=y[}2,

/.CG=2GH=2V13-

12.【解答]解：延長8G交AC于￡延長AG交8c于如圖,

?.?點(diǎn)G是△48C的重心，

：.AE=1AC,BF=ABC,BG=2GE,AG=2GF,

22

在RtZ\4BG中，AG^BG1=AB2=25,

在中，

RtZXAEGAG2+EG2=AE2=J4c2,

4

.?.AG2+ABG2=-1AC2,①

44

在RtAMF中，3G2+G產(chǎn)=B產(chǎn)=28不，

4

.,.j?G2+X4G2=A5C2,②

44

①+②得旦4G2+9BG2=,

4444

.*MC2+BC2=5X25=125.

故答案為125.

B

13.【解答］解：如圖，過點(diǎn)8作8七〃AG,過點(diǎn)C作CF〃月G,

.BM=BECN=CF

AM而'ANAG'

???G是△ABC的重心，

:?DG是梯形BCFE的中位線，

:.BE+CF=2GD,

?BM.CN=BE.CF=2GD=1

AMANAGAGAG

14.【解答】解：連接AGi,并延長交8。于點(diǎn)凡連接OG3,并延長交BC于點(diǎn)K,連接

ES,并延長交4。于點(diǎn)。，交G1G3于點(diǎn)P,

VGi>G2、G3分別為△ABE,△AOE,△OEC的重心，

.\AD//FK//G\G3,EF=1BE,EK=』EC,

22

???FK=EF+EK=2BE+LEC=LBC,

222

'：BC=2AD=\2f

：.FK=AD,

???四邊形AFKD是平行四邊形，

：.AD=FK=G\G3=6,

*：G2Q=^EQ,EP：EQ=G3K：DK=\：3,

即EP=^EQ,

；.G2P=^EQ,

???梯形的高為6,

.?.△GiG2G3的高為：—X6=2,

3

???△GiG2G3的面積為：-lx6X2=6.

2

故答案為：6.

15.【解答】解：如圖，作PO〃8凡QE//BC,

;。為的中點(diǎn)，

：?PD：B尸=1：2,

■:E,尸為4B邊三等分點(diǎn)，

:.PD：A尸=1：4,

:?DN：NA=PD：AF=\：4,

：.ND=^AD,AQ：AD=QE：BD=AEtAB=\：3,

：.AQ=^AD,QM=^-QD=1-X-^4D=XAD,

34436

：,AM=AQ+QM=X\D,

MN=AD-AM-ND=^~AD

10

：.AM：MN：ND=5：3：2.

,:PM=PN,

:?MQ=NQ=&,

2

在RlAOPQ中，O尸=10,N4OB=60°,

???NOPQ=30°,

：.OQ=5,

則OM=OQ-QM=9

???CO〃OM

.CDJDJE

??麗,而

7_

?CD口=2;」

*'DETN~37

17.【解答】解：分別過點(diǎn)8,C作跖〃AO,CF//AD,交PQ于點(diǎn)E,F,則

則根據(jù)梯形的中位線定理得:

:例。是梯形的中位線,

：.BE+CF=2MD,

?PBCQBECF-BE4CF2MD.

PAQAAMAMAMAM

故答案為1.

18.【解答】解：分別過點(diǎn)8,。作5七〃AO,CF//AD,交PQ于點(diǎn)E,F,則8七〃40〃。尸,

???點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

???M。是梯形的中位線，

工BE+CF=2MD,

?1+1PBCQBE_CF_BEKB2MD一

mnAPAQAMAMAMAM

19.【解答】解：作CO_LA8于Q,在8C上截取一點(diǎn)F,使得AP=A4.

,:CA=CB,NACB=36°,

：.ZB=ZAFB=12°,

TN物B=NC4尸=36°=N4CB,

：,AH=AF=CF,T^AR=AF=CF=X.

由△ABFs/\CBA,

：,AB1=BF*BC,

，/=(1-x)?l,

?x—遙T

■?419

2

YCA=CB,CDLAB,

：.AD=DB=&L,

4___________________

?rn—I22—l-2~,行-1、2—Yl°+2j^

??CD_VAC-AD2-JJ—4—'

，S“BC=L?A8?。。=也運(yùn)通.

2_______8

故答案為=也運(yùn)逅.

8

20.【解答】解：過E點(diǎn)作E/〃EC,交AO于F.

V4E：EB=3：2,CP：CE=5：6,

:?EF：BO=3：(3+2)=3：5,EF：CD=(6-5)：5=1：5=3：15,

ADB：CD=5：15=1：3.

故答案為：1：3.

21.【解答】解：(1)當(dāng)a+b+cWO時(shí)：b+ca=.c+ab=a+bc,

abc

利用等比性質(zhì)得到：(b+cf)+(c+a-b)+(a+b-c)a+b+c_b+c-a-c+a-b=

a+b+ca+b+cab

a+b-c=?.

c

而更，=也一1=1，

aa

，也;2,同理心=史t=2,

abc

...(a+b)(b+c)(c+a)=g.

abc

(2)當(dāng)a+b+c=0時(shí)，貝I]b+c=-afa+b=?c,c+a=-b,則(a+b)(b+c)(c+a)=

abc

(-a)(-b)(-c)=_j

以直線GC為x軸，以直線4G為），軸建立平面直角坐標(biāo)系，則G（O,0）,A（0,5）,

C（12,0）,

設(shè)8的坐標(biāo)是（x,y）,

由重心坐標(biāo)公式得：0=°+12+x,o=上也，

33

解得：x=-12,y=-5,

即5的坐標(biāo)是（?12,-5）,

由勾股定理得：BG={]22+52=13，

故答案為：13,

23.【解答］解：過E作E尸〃8c交AC于尸,

設(shè)4￡=AE=x,EP=y,

YEF//BC,E為A3的中點(diǎn),

???尸為4c的中點(diǎn)，

:,EF〃BC,EF=^BC,

2

，：BC〃PQ,

：.EF//BC//PQ,

.AP=PQEP=PM

*'AEWBEBC，

?y+X__2+3_y_2

xLBCxBC

2

即2+i=U—,

BCyBC

解得：4c=8,

故答案為：8.

三.解答題（共4小題）

24.【解答】解：S“DE的最大值為2，最小值為冬.

29

證明：假設(shè)△ABC面積為Si,△4DE面積為S2,

設(shè)4Q=〃?A8,AE=nAC,

為△ABC重心，

△d=3,

mn

???S2=Lo?gsiM=^mAB*nAC*sinA=mnS\>

22

當(dāng)2=』=3時(shí)，工■工有最大值a,貝卜而有最小值名，

mn2mn49

而無論。、七任何移動(dòng)，mn

??.&|WS2W4,

92

???S”DE的最大值為工，最小值為芻.

29

25.【解答】（1）證明：過點(diǎn)G作GQ_LBD于Q,過點(diǎn)H作