2024-2025學年高考數(shù)學考點第十二章坐標系與參數(shù)方程不等式選講不等式的證明理_第1頁
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PAGEPAGE1不等式的證明不等式的證明方法:作差比較法(1)作差比較法的理論依據(jù):a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=b.(2)作差比較法解題的一般步驟:①作差;②變形整理;③判定符號;④得出結(jié)論.其中變形整理是解題的關(guān)鍵,變形整理的目的是為了能夠干脆判定與0的大小關(guān)系,常用的方法:因式分解,配方,通分,分子或分母有理化等.作商比較法(1)作商比較法:若a>0,b>0,要證明a>b,只要證明eq\f(a,b)>1;要證明b>a,只要證明eq\f(a,b)<1.這種證明不等式的方法,叫做作商比較法.(2)作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì):①b>0,若eq\f(a,b)>1,則a>b;若eq\f(a,b)<1,則a<b;②b<0,若eq\f(a,b)>1,則a<b;若eq\f(a,b)<1,則a>b.(3)作商比較法解題的一般步驟:①判定a,b符號;②作商;③變形整理;④判定與1的大小關(guān)系;⑤得出結(jié)論.(1)綜合法①定義:一般地,從已知條件動身,利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法叫做綜合法,綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чǎ谔攸c:由因?qū)Ч?,即從“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.③證明的框圖表示用P表示已知條件或已有定義、定理、公理等,用Q表示所要證明的不等式,則綜合法可用框圖表示為eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)(2)分析法①定義:證明命題時,經(jīng)常從要證的結(jié)論動身,逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種“執(zhí)果索因”的思索和證明方法.②特點:執(zhí)果索因,即從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”.③證明過程的框圖表示用Q表示要證明的不等式,則分析法可用框圖表示為eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個明顯成立的條件)反證法(1)反證法的定義:先假設(shè)要證明的命題不成立,以此為動身點,結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)沖突的結(jié)論,以說明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立.(2)反證法證明不等式的一般步驟:①假設(shè)命題不成立;②依據(jù)假設(shè)推理論證;③推出沖突以說明假設(shè)不成立,從而斷定原命題成立.放縮法(1)放縮法證明的定義證明不等式時,通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小,簡化不等式,從而達到證明的目的.這種方法稱為放縮法.(2)放縮法的理論依據(jù)①不等式的傳遞性.②等量加(減)不等量為不等量.③同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較.基本不等式(1)定理1:假如a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時,等號成立).(2)定理2:假如a,b>0,那么eq\f(a+b,2)≥eq\r(ab)(當且僅當a=b時,等號成立).(3)引理:若a,b,c∈R+,則a3+b3+c3≥3abc(當且僅當a=b=c時,等號成立).(4)定理3:假如a,b,c∈R+,那么eq\f(a+b+c,3)≥eq\r(3,abc)(當且僅當a=b=c時,等號成立).(5)推論:若a1,a2,…,an∈R+,則eq\f(a1+a2+…+an,n)≥eq\r(n,a1a2…an).當且僅當a1=a2=…=an時,等號成立;二維形式的柯西不等式(1)二維形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是實數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.(2)柯西不等式的向量形式:設(shè)α,β是兩個向量,則|α·β|≤|α||β|,當且僅當β是零向量,或存在實數(shù)k,使α=kβ時,等號成立.(3)二維形式的三角不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2∈R,那么eq\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))+eq\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2))≥eq\r(x1-x22+y1-y22).一般形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實數(shù),則(aeq\o\al(2,1)+aeq\o\al(2,2)+…+aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)+beq\o\al(2,2)+…+beq\o\al(2,n))≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2.當且僅當bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時,等號成立.排序不等式設(shè)a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn為兩組實數(shù),c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,則a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn.數(shù)學歸納法:一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的全部正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:①證明當n=n0時命題成立;②假設(shè)當n=k(k∈N*,且k≥n0)時命題成立,證明n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的全部正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學歸納法.1.(2024?新課標Ⅲ)設(shè),,,,.(1)證明:;(2)用,,表示,,的最大值,證明:,,.【解析】(1),,,,,,,均不為0,,;(2)不妨設(shè),則,,,而,與假設(shè)沖突,故,,.2.(2024?新課標Ⅲ)設(shè),,,,.(1)證明:;(2)用,,表示,,中的最大值,證明:,,.【解析】(1),,,,,,,均不為0,,;(2)不妨設(shè),則,,,而,與假設(shè)沖突,故,,.3.(2024?新課標Ⅲ)設(shè),,,且.(1)求的最小值;(2)若成立,證明:或.【解析】(1),,,且,由柯西不等式可得,可得,即有的最小值為;(2)證明:由,柯西不等式可得,可得,即有的最小值為,由題意可得,解得或.4.(2024?新課標Ⅰ)已知,,為正數(shù),且滿意.證明:(1);(2).【解析】(1)分析法:已知,,為正數(shù),且滿意.要證(1);因為.就要證:;即證:;即:;;,,為正數(shù),且滿意.;;恒成立;當且僅當:時取等號.即得證.故得證.(2)證成立;即:已知,,為正數(shù),且滿意.為正數(shù);為正數(shù);為正數(shù);;當且僅當時取等號;即:時取等號;,,為正數(shù),且滿意.;;;當且僅當,;時取等號;即:時取等號;;當且僅當時取等號;故.得證.故得證.5.(2024?新課標Ⅱ)已知,,.證明:(1);(2).【解析】(1)由柯西不等式得:,當且僅當,即時取等號,(2),,,,,由均值不等式可得:,,,,當且僅當時等號成立.1.(2024?新課標Ⅲ)設(shè),,,,.(1)證明:;(2)用,,表示,,的最大值,證明:,,.【解析】(1),,,,,,,均不為0,,;(2)不妨設(shè),則,,,而,與假設(shè)沖突,故,,.2.(2024?新課標Ⅲ)設(shè),,,,.(1)證明:;(2)用,,表示,,中的最大值,證明:,,.【解析】(1),,,,,,,均不為0,,;(2)不妨設(shè),則,,,而,與假設(shè)沖突,故,,.3.(2024?新課標Ⅲ)設(shè),,,且.(1)求的最小值;(2)若成立,證明:或.【解析】(1),,,且,由柯西不等式可得,可得,即有的最小值為;(2)證明:由,柯西不等式可得,可得,即有的最小值為,由題意可得,解得或.4.(2024?新課標Ⅰ)已知,,為正數(shù),且滿意.證明:(1);(2).【解析】(1)分析法:已知,,為正數(shù),且滿意.要證(1);因為.就要證:;即證:;即:;;,,為正數(shù),且滿意.;;恒成立;當且僅當:時取等號.即得證.故得證.(2)證成立;即:已知,,為正數(shù),

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