2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.2圓與圓的方程2.2.2圓的一般方程課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(二十)圓的一般方程(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．圓的方程為(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，則圓心坐標(biāo)為()A．(1，－1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))C．(－1,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))D[將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝eq\f(45,4)，所以圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).]2．圓x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周長(zhǎng)等于()A.eq\r(2)π B．2πC．2eq\r(2)π D．4πC[圓的方程配方后可化為(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴圓的半徑r＝eq\r(2)，∴周長(zhǎng)＝2πr＝2eq\r(2)π.]3．假如過(guò)A(2,1)的直線l將圓x2＋y2－2x－4y＝0平分，則l的方程為()A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0A[由題意知直線l過(guò)圓心(1,2)，由兩點(diǎn)式可得l的方程為eq\f(y－1,2－1)＝eq\f(x－2,1－2)，即x＋y－3＝0.]4．圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最小值是()A．2 B.eq\r(2)－1C．2＋eq\f(\r(2),2) D．1＋2eq\r(2)B[圓的方程變?yōu)?x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圓心為(1,1)，半徑為1，圓心到直線的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，∴所求的最小值為eq\r(2)－1.]5．若Rt△ABC的斜邊的兩端點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－3,0)和(7,0)，則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為()A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D．(x－2)2＋y2＝25C[線段AB的中點(diǎn)為(2,0)，因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，C為直角頂點(diǎn)，所以C到點(diǎn)(2,0)的距離為eq\f(1,2)|AB|＝5，所以點(diǎn)C(x，y)滿意eq\r(x－22＋y2)＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．]二、填空題6．以點(diǎn)A(2,0)為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(－1,1)的圓的一般方程為_(kāi)_____．x2＋y2－4x－6＝0[由題意知，圓的半徑r＝|AB|＝eq\r(－1－22＋1－02)＝eq\r(10)，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝10，化為一般方程為x2＋y2－4x－6＝0.]7．已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對(duì)稱，則a－b的取值范圍是________．(－∞，1)[由題意知，直線y＝2x＋b過(guò)圓心，而圓心坐標(biāo)為(－1,2)，代入直線方程，得b＝4，圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，由此，得a－b<1.]8．點(diǎn)P(x0，y0)是圓x2＋y2＝16上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是OP(O為原點(diǎn))的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是________．x2＋y2＝4[設(shè)M(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y，))又P(x0，y0)在圓上，∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.]三、解答題9．若點(diǎn)A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)，D(a,1)共圓，求a的值．[解]設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入，整理得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D－E＋F＝－2，,D＋4E＋F＝－17，,4D－2E＋F＝－20，))解得D＝－7，E＝－3，F(xiàn)＝2，∴圓的方程為x2＋y2－7x－3y＋2＝0.又∵點(diǎn)D在圓上，∴a2＋1－7a－3＋2＝0，∴a＝0或a10．等腰三角形的頂點(diǎn)A(4,2)，底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5)，求另一端點(diǎn)C的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么．[解]設(shè)底邊另一個(gè)端點(diǎn)C的坐標(biāo)是(x，y)，依題意，得|AC|＝|AB|，由兩點(diǎn)間距離公式得eq\r(x－42＋y－22)＝eq\r(4－32＋2－52)，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10，這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，以eq\r(10)為半徑的圓．又因?yàn)锳，B，C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以A，B，C三點(diǎn)不共線．即點(diǎn)B，C不能重合且不能為圓A的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以點(diǎn)C不能為(3,5)且eq\f(x＋3,2)≠4，eq\f(y＋5,2)≠2，即點(diǎn)C也不能為(5，－1)，故點(diǎn)C的軌跡方程為(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去點(diǎn)(3,5)和(5，－1))，它的軌跡是以A(4,2)為圓心，eq\r(10)為半徑的圓，但除去(3,5)和(5，－1)兩點(diǎn)．1．假如圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)關(guān)于直線y＝xA．D＋E＝0 B．D＝EC．D＝F D．E＝FB[由圓的對(duì)稱性知，圓心在直線y＝x上，故有－eq\f(E,2)＝－eq\f(D,2)，即D＝E.]2．若圓x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上全部點(diǎn)都在其次象限，則aA．(－∞，2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)D[由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圓心坐標(biāo)為(－a,2a)，半徑為2，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a<0，,2a>0，,|－a|>2，))解得a>2，故選D.]3．若點(diǎn)(a＋1，a－1)在圓x2＋y2－2ay－4＝0的內(nèi)部(不包括邊界)，則a的取值范圍是________．(－∞，1)[∵點(diǎn)(a＋1，a－1)在圓x2＋y2－2ay－4＝0內(nèi)部，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋12＋a－12－2aa－1－4<0，,－2a2－4×－4>0，))即2a<2，a<1.4．已知M(0,4)，N(－6,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿意PM⊥PN，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是________．(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6)[由于PM⊥PN，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線段MN為直徑的圓(不包括端點(diǎn)M，N)，其圓心為線段MN的中點(diǎn)(－3,2)，直徑|MN|＝eq\r(36＋16)＝2eq\r(13)，于是半徑等于eq\r(13)，故軌跡方程為(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6)．]5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖像與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論．[解](1)令x＝0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由題意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，這與x2＋2x＋b＝0是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一個(gè)