2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.5空間直線平面的平行8.5.1直線與直線平行學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE1-8．5空間直線、平面的平行8．5.1直線與直線平行[目標(biāo)]1.能用基本領(lǐng)實(shí)4解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題；2.理解等角定理，能用等角定理解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題．[重點(diǎn)]基本領(lǐng)實(shí)4的應(yīng)用．[難點(diǎn)]等角定理．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一基本領(lǐng)實(shí)4[填一填][答一答]1．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，DC∥AB，A′B′∥AB，DC與A′B′平行嗎？提示：平行．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二等角定理[填一填][答一答]2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠B′A′C′＝(C)A．30°B．150°C．30°或150°D．大小無(wú)法確定解析：兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角是相等或互補(bǔ)關(guān)系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.3．若兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且兩個(gè)角的開(kāi)口方向相同，那么這兩個(gè)角的關(guān)系是什么？提示：相等．典例講練破題型類型一基本領(lǐng)實(shí)4的應(yīng)用[例1]如圖，E、F分別是長(zhǎng)方體A1B1C1D1-ABCD的棱A1A、C1C的中點(diǎn)，求證：四邊形B[分析]平行四邊形是平面圖形，若能證得四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形就是平行四邊形．[證明]取DD1的中點(diǎn)點(diǎn)Q，連接EQ、QC1.∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EQ綉A1D1.又在矩形A1B1C1D1中A1D1綉B(tài)1C∴EQ綉B(tài)1C1∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，∴B1E綉C1Q，又∵Q、F是矩形DD1C∴QD綉C1F∴四邊形DQC1F∴C1Q綉DF.又∵B1E綉C1Q，∴B1E綉DF，∴四邊形B1EDF為平行四邊形．基本領(lǐng)實(shí)4表明白平行線的傳遞性，它可以作為推斷兩直線平行的依據(jù)，同時(shí)也給出空間兩直線平行的一種證明方法.[變式訓(xùn)練1]如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′中，M、N分別為CD、AD的中點(diǎn)，求證：四邊形MNA′C′是梯形．證明：連接AC.∵M(jìn)、N為CD、AD的中點(diǎn)，∴MN綉eq\f(1,2)AC.由正方體性質(zhì)可知AC綉A′C′.∴MN綉eq\f(1,2)A′C′.∴四邊形MNA′C′是梯形．類型二等角定理的應(yīng)用[例2]如右圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，BC的中點(diǎn)．求證：△EFG∽△C1DA1[證明]連接B1C.因?yàn)镚，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點(diǎn)，所以GF綉eq\f(1,2)B1C.又ABCD-A1B1C1D1所以CD綉AB，A1B1綉AB，由基本領(lǐng)實(shí)4知CD綉A1B1，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，所以A1D綉B(tài)1C又B1C∥FG，由基本領(lǐng)實(shí)4知A1D∥FG同理可證：A1C1∥EG，DC1∥EF又∠DA1C1與∠EGF，∠A1DC1與∠EFG，∠DC1A1與∠GEF的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且均為銳角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1所以△EFG∽△C1DA1.等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是基本領(lǐng)實(shí)4的干脆應(yīng)用，并且當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同或相反時(shí)，它們相等，否則它們互補(bǔ).[變式訓(xùn)練2]如圖，已知線段AA1、BB1、CC1交于O點(diǎn)，且eq\f(OA,OA1)＝eq\f(OB,OB1)＝eq\f(OC,OC1)，求證：△ABC∽△A1B1C1.證明：∵AA1與BB1交于點(diǎn)O.且eq\f(OA,OA1)＝eq\f(OB,OB1)，∴A1B1∥AB.同理A1C1∥AC，B1C1∥又∵A1B1和AB，A1C1和AC∴∠BAC＝∠B1A1C1，同理∠ABC＝∠A1B∴△ABC∽△A1B1C1課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．和直線l都平行的直線a，b的位置關(guān)系是(C)A．相交B．異面C．平行D．平行、相交或異面解析：由基本領(lǐng)實(shí)4可知，和直線l都平行的直線a，b的位置關(guān)系是平行．2．空間兩個(gè)角α，β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且α＝60°，則β為(D)A．60° B．120°C．30° D．60°或120°解析：如圖所示，因?yàn)榭臻g兩個(gè)角α，β的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，所以這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故由α＝60°，得β＝60°或120°.3．已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，則AC與A1解析：如圖所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，由圖可知AC與A4．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是三棱錐A-BCD棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，AC與BD所成角為60°，且AC＝BD＝2，則EG＝1或eq\r(3).解析：因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別是三棱錐A-BCD棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EF為△ABC的中位線，故EF∥AC且EF＝eq\f(1,2)AC，同理GH為△ACD的中位線，故GH∥AC且GH＝eq\f(1,2)AC，所以EF綉GH，所以四邊形EFGH是平行四邊形且EF＝eq\f(1,2)AC＝1.同理FG∥BD且FG＝eq\f(1,2)BD＝1.因?yàn)锳C與BD所成角為60°，所以∠EFG＝60°或120°，當(dāng)∠EFG＝60°時(shí)，EG＝1.當(dāng)∠EFG＝120°時(shí)，EG＝eq\r(3).5．如圖所示，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是△PAB，△PBC的重心．求證：DE∥AC，DE＝eq\f(1,3)AC.證明：如圖，連接PD，PE并延長(zhǎng)，分別交AB于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，則G，H分別是AB與BC的中點(diǎn)，連接GH，則GH∥AC，且GH＝eq\f(1,2)AC.在△PHG中，eq\f(PE,PH)＝eq\f(PD,PG)＝eq\f(2,3).所以DE∥GH，且DE＝eq\f(2,3)GH.所以DE∥AC，DE＝eq\f(1,3)AC.——本課須駕馭的三大問(wèn)題1．求證兩直線平行，目前有兩種途徑：一是應(yīng)用基本領(lǐng)實(shí)4，即找到第三條直線，證明這兩條直線都與之平行，要充分用好平面幾何學(xué)問(wèn)，如有中點(diǎn)時(shí)用好中位