2022北京房山高二(上)期末數(shù)學(教師版)VIP

1/12022北京房山高二（上）期末數(shù)學一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．設(shè)，2，，，0，，則的中點的坐標為A．，， B．，， C．，1， D．，2，2．直線的傾斜角為A． B． C． D．3．如圖，在正方體中，，，，分別為，，，的中點，則異面直線與所成的角大小等于A． B． C． D．4．若平面，平面的法向量為，1，，則平面的一個法向量可是A．，0， B．，， C．，2， D．，，5．“”是“方程表示橢圓”的A．充分不必要條件 B．必要不完分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．圓心為且與軸相切的圓的方程為A． B． C． D．7．已知為拋物線上一點，點到拋物線焦點的距離為8，到軸的距離為6，則的值為A．1 B．2 C．3 D．48．已知半徑為1的動圓經(jīng)過坐標原點，則圓心到直線的距離的最大值為A．1 B．2 C．3 D．49．已知，是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，為坐標原點，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為A． B． C． D．10．如圖，正方體中，是的中點，則A．直線與直線相交，直線平面 B．直線與直線平行，直線平面 C．直線與直線異面，直線平面 D．直線與直線垂直，直線平面二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，長方體，若，2，，則的坐標為．12．已知二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，則其準線方程為．13．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為．14．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，其中提到的“陽馬”是指底面為矩形，有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．在陽馬的表面三角形中，直角三角形的個數(shù)為．15．如圖，正方體的棱長為1，，分別是棱，上的點，如果平面，則與長度之和為．16．心臟線，也稱心形線，是一個圓上的固定一點在該圓繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周滾動時所形成的軌跡，因其形狀像心形而得名．心臟線的平面直角坐標方程可以表示為，，則關(guān)于這條曲線的下列說法：①曲線關(guān)于軸對稱；②當時，曲線上有4個整點（橫縱坐標均為整數(shù)的點）；③越大，曲線圍成的封閉圖形的面積越大；④與圓始終有兩個交點．其中，所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．（14分）在平面直角坐標系中，三個頂點坐標分別為、、．（Ⅰ）設(shè)線段的中點為，求中線所在直線的方程；（Ⅱ）求邊上的高所在直線的方程．18．（14分）已知圓與圓外切．（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）若直線與圓交于，兩點，求弦的長．19．（14分）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成的角的余弦值．20．（14分）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求點到平面的距離；（Ⅲ）判斷的中點是否在平面上？說明理由．21．（14分）已知橢圓上任意一點到兩個焦點，，，的距離的和為4．經(jīng)過點且不經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．（Ⅰ）求橢圓的標準方程，并寫出左、右頂點的坐標；（Ⅱ）求證：的面積為定值．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．【分析】利用中點坐標公式直接求解．【解答】解：，2，，，0，，的中點的坐標為，1，．故選：．【點評】本題考查中點坐標的求法，考查中點坐標公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由題意先求出直線的斜率，再利用直線的斜率和傾斜角的定義，得出結(jié)論．【解答】解：直線的斜率為，故它的傾斜角為，故選：．【點評】本題主要考查直線的斜率和傾斜角的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】取的中點，連接，，，證明，可得即為異面直線與成角的平面角，從而可得答案．【解答】解：取的中點，連接，，，因為，，，分別為，，，的中點，所以，，所以，故即為異面直線與所成的角，在正方體中，由，，分別為，，的中點，可知，即為等邊三角形，所以，即異面直線與所成的角大小等于．故選：．【點評】本題考查異面直線所成的角，考查學生的分析能力，屬于中檔題．4．【分析】利用平面與平面垂直，法向量的數(shù)量積為0，推出結(jié)果即可．【解答】解：平面，平面的法向量為，1，，則平面的一個法向量與的數(shù)量積為0，根據(jù)選項，可知平面的一個法向量可是，0，．故選：．【點評】本題考查平面與平面垂直關(guān)系的應用，法向量的數(shù)量積為0，是基礎(chǔ)題．5．【分析】利用橢圓的性質(zhì)求解的范圍，然后判斷充要條件即可．【解答】解：“方程表示橢圓”，可知，解得或；所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，故選：．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，充要條件的判斷，是基礎(chǔ)題．6．【分析】由所求圓與軸相切可得，圓心到軸的距離等于半徑，根據(jù)點坐標求出到軸的距離，得到圓的半徑，由圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程即可．【解答】解：點到軸的距離為2，所以圓的半徑為2，所以圓心為且與軸相切的圓的方程為．故選：．【點評】此題考查了圓的標準方程，要求學生會根據(jù)圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程．由圓與軸相切，根據(jù)點橫坐標的絕對值求出到軸的距離得到圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．7．【分析】根據(jù)拋物線定義即可求得答案．【解答】解：易知點的橫坐標為6，拋物線準線方程為，由拋物線的定義可知，．故選：．【點評】本題考查了拋物線的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】設(shè)的坐標，由圓的半徑為1，且過原點可得點的軌跡方程，再求圓上的點到直線的距離的最大值為，進而求解即可．【解答】解：設(shè)，因為半徑為1，且經(jīng)過坐標原點，所以點的軌跡方程為；則該圓上的點到直線的距離的最大值為，又，所以，所以，即，故距離的最大值為3．故選：．【點評】本題考查求點的軌跡方程及直線與圓相交的綜合應用，屬于中檔題．9．【分析】根據(jù)為等邊三角形，可得在△中，，在根據(jù)直角形和橢圓定義可得．【解答】解：連接，由為等邊三角形可知在△中，，，，于是，故曲線的離心率．故選：．【點評】本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓的定義的應用，屬中檔題．10．【分析】可利用正方體的性質(zhì)以及線面垂直，線面平行的判定及性質(zhì)逐一選項判斷即可．【解答】解：對于選項，連接，，如圖，在正方體中，，面，所以平面，又面，，所以直線與直線不相交，故選項錯誤；對于選項，連接，，如圖，在正方體中，，面，所以面，又面，，所以直線與直線不平行，故選項錯誤；對于選項，連接，，，在正方體中，，，，所以面，又，所以與平面不垂直，故選項錯誤；對于選項，連接，，，，，在正方體中，，，，所以面，面，所以，設(shè)，連接，如圖，，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為面，所以面，故選項正確，故選：．【點評】本題考查了空間中直線與平面平行，直線與平面垂直的判定，屬于中檔題．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．【分析】利用長方體的特征，結(jié)合已知向量，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：長方體，若，2，，可知，，則，2，．故答案為：，2，．【點評】本題考查空間向量的應用，向量坐標的求法，是基礎(chǔ)題．12．【分析】寫出拋物線的標準方程可得其準線方程．【解答】解：將拋物線方程寫為標準形式為，由此刻判斷拋物線焦點在軸正半軸，其準線方程為，故答案為：．【點評】本題考查了拋物線的準線方程，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由雙曲線的標準方程得到其漸近線方程為：，再根據(jù)雙曲線的離心率得到，得到，得到，然后求出雙曲線的漸近線方程．【解答】解：因為雙曲線的方程為：，所以雙曲線的漸近線方程為：，又因為雙曲線的離心率為，即，所以，由可得：，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：．故答案為：．【點評】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)和雙曲線的標準方程，解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線的有關(guān)性質(zhì)并且能夠進行正確的運算．14．【分析】利用線面垂直的判定定理求解即可．【解答】解：不妨設(shè)底面，如下圖所示：底面，、平面，，，，，平面，平面，，故、均為直角三角形，同理可知、均為直角三角形．因此，在陽馬表面三角形中，直角三角形的個數(shù)為4．故答案為：4．【點評】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)的特征，考查學生的推理能力，屬于中檔題．15．【分析】建立空間直角坐標系并設(shè)出，的長度，然后由線面垂直得到線線垂直，進而通過空間向量垂直的坐標運算求得答案．【解答】解：設(shè)，，以為坐標原點，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，1，，，1，，，0，，，0，，則．因為平面，所以，則，即，的長度和為1．故答案為：1．【點評】本題主要考查空間向量及其應用，空間中距離的計算等知識，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】根據(jù)曲線的方程結(jié)合圖像分析其性質(zhì)，再逐項驗證即可得出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)曲線方程畫出圖像如圖：由圖可知，曲線關(guān)于軸對稱，故①錯誤；當時，曲線方程可寫為，令，上述方程可化為，集合圖像可得，由得整數(shù)取值為0，，；當時，或，時，曲線方程可寫為，解得，此時不為整數(shù)；當時，，所以時，曲線上有4個整點分別為，，，，故②正確；由圖像可知曲線圍成的封閉圖形面積隨的增大而增大，故③正確；由圓的方程可知，圓心坐標為，半徑為，且圓經(jīng)過原點，所以曲線與圓恒有兩個交點，故④正確．故答案為：②③④．【點評】本題考查曲線與方程，由方程研究曲線的性質(zhì)，判斷兩曲線交點的個數(shù)，屬于中檔題．三、解答題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．【分析】（Ⅰ）先求出線段的中點為的坐標，再利用兩點式求出中線所在直線的方程．（Ⅱ）先求出的斜率，可得邊上的高所在直線的斜率，再利用點斜式求出邊上的高所在直線的方程．【解答】解：（Ⅰ）三個頂點坐標分別為，，，線段的中點為，求中線所在直線的方程為：，即，（Ⅱ）由于直線的斜率為：，故邊上的高所在直線的斜率為，故邊上的高所在直線的方程為，即．【點評】本題主要考查中點公式、斜率公式、兩直線垂直的性質(zhì)，用點斜式、兩點式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（Ⅰ）由圓的方程求得圓心坐標與半徑，再由圓心距等于半徑和列式求解值；（Ⅱ）求出到直線的距離，再由垂徑定理求弦長．【解答】解：（Ⅰ）由圓，得，則，半徑，由圓，得，則，半徑．兩圓外切，，即；（Ⅱ）到直線的距離，弦的長為．【點評】本題考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．19．【分析】由底面，可證，又，可證平面，進而可證；，，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，利用可求．【解答】證明：底面，底面，，四邊形是矩形，，，平面，平面，平面，平面，；解：依題意，，，，，在中，，所以為直角三解形，，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，故平面與平面所成的角的余弦值為．【點評】本題考查線線垂直的證明，以及二面角的求法，屬中檔題．20．【分析】（Ⅰ）先判斷出四邊形是平行四邊形，再由線面平行的判斷定理可得答案；（Ⅱ）以為原點，分別所在的直線為的正方向建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，再由點到平面的距離的向量公式可得答案；（Ⅲ）由是三角形△的中位線，得出，再由得出可得答案．【解答】（Ⅰ）證明：在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）解：在正方體中，以為原點，分別所在的直線為的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，0，，，0，，，2，，，2，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，令，則，，所以，點到平面的距離為．（Ⅲ）解：連接，因為是三角形△的中位線，所以，因為，所以，所以確定平面，因為三點在平面內(nèi)，所以四點共面，所以的中點在平面上．【點評】本題主要考查線面平行的證明，點面距離的計算，立體幾何中的探索性問題等知識，屬于中等題．21．【分析】（Ⅰ）由所給條件可得，，可得，即可得解；（Ⅱ）首先設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程