2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營專攻(三)-函數(shù)零點(diǎn)問題

第三單元高考專攻(三)函數(shù)零點(diǎn)問題2023屆1《高考特訓(xùn)營》·數(shù)學(xué)

01考法102考法203考法3考法1判斷函數(shù)零點(diǎn)(方程根)個數(shù)典例1

(2019·課標(biāo)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝2sinx－xcos

x－x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點(diǎn)．(2)若x∈[0，π]時，f(x)≥ax，求a的取值范圍．解：(1)設(shè)g(x)＝f′(x)，則g(x)＝cosx＋xsin

x－1，g′(x)＝－sinx＋sinx＋xcos

x＝xcos

x.

(2)由題設(shè)知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.由(1)知，f′(x)在(0，π)內(nèi)只有一個零點(diǎn)，設(shè)為x0，當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(x0，π)時，f′(x)<0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，π)上單調(diào)遞減．又f(0)＝0，f(π)＝0，所以當(dāng)x∈[0，π]時，f(x)≥0.又當(dāng)a≤0，x∈[0，π]時，ax≤0，故f(x)≥ax.因此，a的取值范圍是(－∞，0]．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)常用方法(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的單調(diào)性，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．(2)利用零點(diǎn)存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn)，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)．考法2由函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)典例2

(2020·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)當(dāng)a＝1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[思維建模]考了什么①導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點(diǎn)問題；②數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng)．怎么考的①已知函數(shù)f(x)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性；②已知函數(shù)兩個零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在定理，求參數(shù)范圍．怎么思維怎么解答解：(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝ex－x－2，則f′(x)＝ex－1.易錯點(diǎn)：求導(dǎo)數(shù)當(dāng)x<0時，f′(x)<0；當(dāng)x>0時，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．卡殼點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間(2)f′(x)＝ex－a.①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，所以f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．故f(x)至多存在一個零點(diǎn)，不合題意．卡殼點(diǎn)：確定標(biāo)準(zhǔn)對a分類討論②當(dāng)a>0時，由f′(x)＝0，可得x＝lna.當(dāng)x∈(－∞，lna)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時，f′(x)>0.易錯點(diǎn)：f(x)的單調(diào)性、最值所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．故當(dāng)x＝lna時，f(x)取得最小值，最小值為f(lna)＝－a(1＋lna)．

卡殼點(diǎn)：由零點(diǎn)存在定理和函數(shù)單調(diào)性判零點(diǎn)個數(shù)故f(x)在(lna，＋∞)上存在唯一零點(diǎn)．從而f(x)在(－∞，＋∞)上有兩個零點(diǎn)．1．函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，根據(jù)圖象的幾何直觀求解．2．與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍，也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況．考法3與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的綜合問題典例3

(2021·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b.(1)討論f(x)的單調(diào)性．(2)從下面兩個條件中選一個，證明：f(x)有一個零點(diǎn)．[拆解思路]題目考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)；開放性試題，難度較大，拆解以后，探索求解的策略．[拆解1]已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b.討論f(x)的單調(diào)性．解：由函數(shù)的解析式可得f′(x)＝x(ex－2a)，當(dāng)a≤0時，若x∈(－∞，0)，則f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，若x∈(0，＋∞)，則f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．若x∈(ln(2a)，0)，則f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，若x∈(0，＋∞)，則f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．若x∈(0，ln(2a))，則f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，若x∈(ln(2a)，＋∞)，則f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．則b>2a>1，f(0)＝b－1>0，而f(－b)＝(－1－b)e－b－ab2－b<0，而函數(shù)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間(－∞，0)上有一個零點(diǎn)．f(ln(2a))＝2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋b>2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋2a＝2aln(2a)－a[ln(2a)]2＝aln(2a)[2－ln(2a)]，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上沒有零點(diǎn)．綜上可得，題中的結(jié)論成立．則f(0)＝b－1≤2a－1<0，當(dāng)b≥0時，e2>4，4a<2，f(2)＝e2－4a＋b>0，而函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上有一個零點(diǎn)．當(dāng)b<0時，構(gòu)造函數(shù)H(x)＝ex－x－1，則H′(x)＝ex－1，當(dāng)x∈(－∞，0)時，H′(x)<0，H(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，H′(x)>0，H(x)單調(diào)遞增，注意到H(0)＝0，故H(x)≥0恒成立，從而ex≥x＋1，此時f(x)＝(x－1)ex－ax2－b≥(x－1)(x＋1)－ax2＋b＝(1－a)x2＋(b－1)，

解：由拆解3可知f(ln(2a))＝2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋b≤2a[ln(2a)－1]－a[ln(2a)]2＋2a＝2aln(2a)－a[ln(2a)]2＝aln(2a)[2－ln(2a)]，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間(－∞，0)上沒有零點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題的思路(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，