《備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)》課時(shí)作業(yè)-第十章-第6節(jié)-離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練離散型隨機(jī)變量的分布列1,8離散型隨機(jī)變量的期望與方差2,3,4,5,6,710,1114離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的創(chuàng)新應(yīng)用912,131.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X012P0.51-2q13則P(X∈Z)=(A)A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.6解析:由分布列的性質(zhì)得0.5+1-2q+13q=1,解得q=0.3,所以P(XP(X=0)+P(X=1)=0.5+1-2×0.3=0.9.故選A.2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123P84m1則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=(B)A.23 B.1 C.32解析:由827+49+m+127所以E(X)=0×827+1×49+2×29+33.隨機(jī)變量X的分布列如表,且E(X)=2,則D(2X-3)=(C)X02aP1p1A.2 B.3 C.4 D.5解析:因?yàn)閜=1-16-13=所以E(X)=0×16+2×12+a×所以D(X)=(0-2)2×16+(2-2)2×12+(3-2)2×所以D(2X-3)=22D(X)=4.故選C.4.甲、乙兩人獨(dú)立地從六門選修課程中任選三門進(jìn)行學(xué)習(xí),記兩人所選課程相同的門數(shù)為X,則E(X)為(B)A.1 B.1.5 C.2 D.2.5解析:X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=C63CP(X=1)=C61×C52×C32C0×120+1×920+2×920+35.(多選題)設(shè)0<a<1,則隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P111則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),(AD)A.E(X)增大B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大解析:由分布列得E(X)=0×13+a×13+1×13=1D(X)=0-(13a+13)2×13+a-1)=29當(dāng)0<a<12時(shí),D(X)減小;當(dāng)1所以D(X)先減小后增大,故選項(xiàng)D正確.故選AD.6.某日A,B兩個(gè)沿海城市受臺(tái)風(fēng)襲擊(相互獨(dú)立)的概率相同,已知A市或B市至少有一個(gè)城市受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率為0.36,若用X表示這一天受臺(tái)風(fēng)襲擊的城市個(gè)數(shù),則E(X)=.

解析:設(shè)A,B兩市受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率均為p,則A市和B市均不受臺(tái)風(fēng)襲擊的概率為(1-p)2=1-0.36,解得p=0.2或p=1.8(舍去),則P(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32,P(X=2)=0.2×0.2=0.04,所以E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.答案:0.47.(2021·浙江高三模擬)已知箱子中裝有10個(gè)除顏色不同其他都相同的小球,其中2個(gè)紅球,3個(gè)黑球和5個(gè)白球.現(xiàn)從該箱中有放回地依次取出3個(gè)小球,若變量ξ為取出3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),則ξ的方差D(ξ)=.

解析:由題意得,ξ的所有可能取值為0,1,2,3,P(ξ=0)=8310P(ξ=1)=2×82×P(ξ=2)=22×8×CP(ξ=3)=23103所以E(ξ)=0×5121000+1×3841000+2×96所以D(ξ)=(0-35)2×5121000+(1-35)2×3841000+(2-3581000答案:128.為檢測(cè)某產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)抽取5件產(chǎn)品,測(cè)量產(chǎn)品中微量元素x,y的含量(單位:mg),測(cè)量數(shù)據(jù)如表,編號(hào)12345x169178166175180y7580777081如果產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175,且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品.現(xiàn)從上述5件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,則抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列為.

解析:5件抽測(cè)品中的2件為優(yōu)等品,則X的可能取值為0,1,2.P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C2所以優(yōu)等品數(shù)X的分布列為X012P0.30.60.1答案:X012P0.30.60.19.一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件組成,假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中,部件1,2,3需要調(diào)整的概率分別為0.1,0.2,0.3,各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立.(1)求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中,部件1,2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率;(2)記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解:(1)設(shè)部件1,2,3需要調(diào)整分別為事件A,B,C,由題P(A)=0.1,P(B)=0.2,P(C)=0.3,各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立,所以部件1,2都不需要調(diào)整的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.9×1個(gè)需要調(diào)整的概率為1-P(AB)=1-0.72=0.28.(2)X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.8P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.1×0.8×0.7+0.9×0.20.7+0.9×0.8×0.3=0.398,P(X=3)=P(ABC)=0.1×0.2×0.3=0.006,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1-0.504-0.398-0.006=0.092,所以X的分布列為X0123P0.5040.3980.0920.006E(X)=0×0.504+1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6.10.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止,設(shè)甲在每局中獲勝的概率為23,乙在每局中獲勝的概率為1A.24181 B.26681 C.27481解析:由已知,ξ的可能取值是2,4,6.設(shè)每兩局比賽為一輪,則該輪比賽停止的概率為(23)2+(13)2=若該輪結(jié)束時(shí)比賽還要繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時(shí),該輪比賽結(jié)果對(duì)下一輪比賽是否停止沒有影響.所以P(ξ=2)=59,P(ξ=4)=49×59=2081,P(ξ=6)=(49)59+4×2081+6×168111.(多選題)某學(xué)校共有6個(gè)學(xué)生餐廳,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每人隨機(jī)地選擇一家餐廳就餐(選擇每個(gè)餐廳的概率相同),則下列結(jié)論正確的是(ACD)A.四人去了四個(gè)不同餐廳就餐的概率為5B.四人去了同一餐廳就餐的概率為1C.四人中恰有兩人去了第一餐廳就餐的概率為25D.四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的期望為2解析:四人去餐廳就餐的情況共有64種,其中四人去了四個(gè)不同餐廳就餐的情況有A64種,則四人去了四個(gè)不同餐廳就餐的概率為A6464=518,故A正確;同理,四人去了同一餐廳就餐的概率為6641)=C41×5364ξ01234P5CCC1則四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的期望E(ξ)=0×5464+1×C42×5264+3×12.(2021·湖南師大附中模擬)在某校的校園歌手大賽決賽中,有6名參賽選手(1號(hào)至6號(hào))登臺(tái)演出,由現(xiàn)場(chǎng)的100名同學(xué)投票選出最受歡迎的歌手,每名同學(xué)需彼此獨(dú)立地在投票器上選出3名候選人,其中甲同學(xué)是1號(hào)選手的同班同學(xué),必選1號(hào),另在2號(hào)至6號(hào)選手中隨機(jī)選2名;乙同學(xué)不欣賞2號(hào)選手,必不選2號(hào),在其他5名選手中隨機(jī)選出3名;丙同學(xué)對(duì)6名選手的演唱沒有偏愛,因此在1號(hào)至6號(hào)選手中隨機(jī)選出3名.(1)求甲同學(xué)選中3號(hào)且乙同學(xué)未選中3號(hào)選手的概率;(2)設(shè)3號(hào)選手得到甲、乙、丙三名同學(xué)的票數(shù)之和為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:設(shè)A表示事件“甲同學(xué)選中3號(hào)選手”,B表示事件“乙同學(xué)選中3號(hào)選手”,C表示事件“丙同學(xué)選中3號(hào)選手”.(1)P(A)=C41C52=2所以甲同學(xué)選中3號(hào)且乙同學(xué)未選中3號(hào)選手的概率為P(AB)=P(A)P(B)=25×(1-35)=(2)P(C)=C52CP(X=0)=P(ABC)=(1-25)×(1-35)×(1-12)=35×P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×25×12+35×35×12+35P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×35×12+25×25×12+35P(X=3)=P(ABC)=25×35×12所以X的分布列為X0123P319193故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×325+1×1950+2×1950+3×313.(2021·江蘇南通高三模擬)有750粒試驗(yàn)種子需要播種,現(xiàn)有兩種方案:方案一,將750粒種子分種在250個(gè)坑內(nèi),每坑3粒;方案二,將750粒種子分種在375個(gè)坑內(nèi),每坑2粒.已知每粒種子發(fā)芽的概率均為35(1)用X元表示播種費(fèi)用,分別求出兩種方案的數(shù)學(xué)期望;(2)如果在某塊試驗(yàn)田對(duì)該種子進(jìn)行試驗(yàn),你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案?解:(1)方案一:一個(gè)坑內(nèi)三粒種子都不發(fā)芽的概率為p1=(1-35)3=8125,所以一個(gè)坑內(nèi)至少有一粒種子發(fā)芽的概率p2=1-p1=用X1元表示一個(gè)坑的播種費(fèi)用,則X1的可能取值是2,3,所以P(X1=2)=p2,P(X1=3)=p1,所以X1的分布列為X123P1178所以E(X1)=2×117125+3×8125=所以E(X)=250E(X1)=250×258125方案二:一個(gè)坑內(nèi)兩粒種子都不發(fā)芽的概率為p3=(1-35)2=425,所以一個(gè)坑內(nèi)至少有一粒種子發(fā)芽的概率p4=1-p3=用X2元表示一個(gè)坑的播種費(fèi)用,則X2的可能取值為2,3,所以P(X2=2)=p4,P(X2=3)=p3,所以X2的分布列為X223P214所以E(X2)=2×2125+3×425=所以E(X)=375E(X2)=375×5425(2)設(shè)收益為Y元,方案一:用Y1元表示一個(gè)坑的收益,則Y1的可能取值為0,125,Y1的分布列為Y10125P(25)1-(25)所以E(Y1)=0×(25)6+125×[1-(25)6]=所以E(Y)=250E(Y1)=250×15方案二:用Y2元表示一個(gè)坑的收益,則Y2的可能取值為0,125,Y2的分布列為Y20125P(25)1-(25)所以E(Y2)=0×(25)4+125×[1-(25)4]=所以E(Y)=375E(Y2)=375×6095因?yàn)榉桨付璧牟シN費(fèi)用比方案一只多了294元,但是收益比方案一多14553元,故應(yīng)該選擇方案二.14.(多選題)已知A=B={1,2,3},分別從集合A,B中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a,b,得到平面上一個(gè)點(diǎn)P(a,b),事件“點(diǎn)P(a,b)恰好落在直線x+y=n上”對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量為X,P(X=n)=Pn,X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X),D(X),則(BCD)A.P4=2P2 B.P(3≤X≤5)=7C.E(X)=4 D.D(X)=4解析:因?yàn)锳=B={1,2,