黃金卷03（江蘇專用）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（解析版）

PAGE1試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2222頁(yè)【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．重慶某校高三年級(jí)20個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得分如下：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.5【答案】D【分析】將比分從小到大排序，再結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解.【詳解】將比分從小到大排序可得：，，即這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.故選：D.2．已知，則的虛部為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)式子求，根據(jù)求出即可知的共軛復(fù)數(shù)，求出的虛部即可.【詳解】，所以，，，所以的虛部為13.故選：C.3．已知，則（

）A． B． C． D．-【答案】D【分析】根據(jù)角的變換及二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：D4．設(shè)向量，，若，則A．5 B．2 C．1 D．0【解析】向量，，，，可得，．故選：．5．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用拋物線的知識(shí)可以知道點(diǎn)，然后再利用切線和垂直即可求解.【詳解】由題意易得，過(guò)上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且，且，將點(diǎn)代入拋物線方程可得，即，，解得.故選：D.6．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思是：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第四天走了（

）A．24里 B．48里 C．96里 D．192里【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式直接求解.【詳解】設(shè)第天走的路程里數(shù)為，因?yàn)閺牡诙炱?，每天走的路程為前一天的一半，所以是公比為的等比?shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和為，因?yàn)?天走完378里路，所以，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得，所以，所以，即第四天走了24里路.故選：A.7．若函數(shù)，的值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用可得，再由三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可知若，則可得；顯然當(dāng)時(shí)，可得，由的值域?yàn)椋萌呛瘮?shù)圖像性質(zhì)可得，解得，即的取值范圍是.故選：D8．已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，其定義域?yàn)?，滿足：當(dāng)時(shí)，；任意的x，，均有.若，則x的取值范圍是（

）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，解得，再令，得到，從而是奇函數(shù)，用替代，結(jié)合是奇函數(shù)，得到，再由時(shí)，，利用單調(diào)性定義得到在上遞增，則在上遞增，將轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】解：令，即，則，令，即，則，因?yàn)槎x域?yàn)?，所以是奇函?shù)，由，用替代，得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，且，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，即，所以在上遞增，又是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以在上遞增，則等價(jià)于，解得，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知曲線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是圓，其半徑為B．若，，則是兩條直線C．若時(shí)，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上D．若時(shí)，則是雙曲線，其漸近線方程為【答案】AB【分析】根據(jù)選項(xiàng)條件分別化簡(jiǎn)曲線為圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后逐一分析，即可求解．【詳解】對(duì)于A，，，則是圓，半徑為，故A正確；對(duì)于B，若，時(shí)，，則是兩條直線，故B正確；對(duì)于C，若時(shí)，，則，則為焦點(diǎn)在軸的橢圓，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若時(shí)，則是雙曲線，漸近線方程為，故D錯(cuò)誤；故選：AB．10．若某正方體的棱長(zhǎng)為，則（

）A．該正方體的體積為5 B．該正方體的內(nèi)切球的體積為C．該正方體的表面積為30 D．該正方體的外接球的表面積為【答案】BCD【分析】根據(jù)正方體的體積表面積公式即可求解AC，根據(jù)內(nèi)切球和外接球的直徑即可得半徑，由球的體積公式以及表面積公式求解BD.【詳解】因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為，所以其體積為，表面積為，A錯(cuò)誤，C正確．該正方體的內(nèi)切球的直徑為，所以內(nèi)切球的體積為，B正確．該正方體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，所以外接球的表面積為，D正確．故選：BCD

11．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.若函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的極大值點(diǎn)為B．有且僅有3個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對(duì)稱中心D．【答案】BCD【分析】求出，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得極值，要注意極值點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，可判斷A項(xiàng)；根據(jù)極大值、極小值的正負(fù)，可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即判斷B項(xiàng)；根據(jù)的解的情況，可判斷C項(xiàng)；由對(duì)稱中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判斷D項(xiàng).【詳解】由題意知.令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；令，解得，所以在上單調(diào)遞減.又，.所以，在處有極大值，在處有極小值.所以的極大值點(diǎn)為-2，A項(xiàng)錯(cuò)誤；又極大值，極小值，作出的圖象，有圖象可知，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確；，令，解得，又，由題意可知，點(diǎn)是的對(duì)稱中心，故C正確；因?yàn)辄c(diǎn)是的對(duì)稱中心，所以有，即.令，又，所以，，所以.故D正確.故選：BCD.第II卷（非選擇題）填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知集合，若，則的最小值為．【答案】【分析】由可得，解出集合后結(jié)合集合的關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】由，故，由，得，故有，即，即，即的最小值為.故答案為：.13．在等差數(shù)列an中，若a8=6,a11【答案】20【分析】根據(jù)條件先計(jì)算出公差d，然后根據(jù)a8=a【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)閍8=6,a所以d=?2，所以a8所以a1故答案為：20.14．一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動(dòng)一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次跳動(dòng)至少一個(gè)單位.若小青蛙經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位于的點(diǎn)處，則小青蛙不同的跳動(dòng)方式共有種.【答案】105【詳解】分析：根據(jù)題意，分4種情況討論：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單位，②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，由加法原理計(jì)算可得答案．詳解：根據(jù)題意，分4種情況討論：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單位，有C51=5種情況，②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，有C52=10種情況，③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，有C52A33=60種情況，④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，有C52C32=30種情況，則一共有5+10+60+30=105種情況，即有105種不同的跳動(dòng)方式．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系即可證明.【詳解】（1）,，,所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得，，所以切線方程為：.（5分）（2）由題可得，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即.（13分）16．（15分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且(1)求；(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，，求線段長(zhǎng)度的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由題設(shè)條件重新組合后將證明替換成，再利用正、余弦定理即可求得；（2）利用三角形中線的向量表達(dá)式和向量數(shù)量積的定義式，可推得，根據(jù)余弦定理和基本不等式求得，代入即可計(jì)算得到.【詳解】（1）由，得(*).因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，代入?）得，.由正弦定理，得，由余弦定理的推論，得.（7分）（2）由余弦定理，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故得.又，兩邊平方可得，，所以，即線段長(zhǎng)度的最大值為.（15分）17．（15分）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)..

(1)證明：；(2)求平面與平面所成的二面角正弦值的最小值及此時(shí)點(diǎn)的位置.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，點(diǎn)為靠近的的四等分點(diǎn)【詳解】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，又底面，所以，，又因?yàn)?，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

，，，，，，，，設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，?（8分）（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以，令，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面DEF所成的二面角為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取得最大值，所以，所以平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值為，此時(shí)點(diǎn)為靠近的的四等分點(diǎn).（15分）18．（17分）在某地區(qū)進(jìn)行高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求的值，估計(jì)該地區(qū)高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)為進(jìn)一步了解這名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行訪談，記在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望；(3)以頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用“”表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的概率，當(dāng)最大時(shí)，求的值.【答案】(1)，平均時(shí)間為小時(shí)(2)分布列見解析，期望(3)【分析】（1）根據(jù)頻率和為，可得，再根據(jù)平均數(shù)公式直接計(jì)算平均數(shù)即可；（2）分別計(jì)算時(shí)間在，的頻數(shù)，結(jié)合分層抽樣可得兩組分別抽取人，根據(jù)超幾何分布的概率公式分別計(jì)算概率，可得分布列與期望；（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的頻率，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可得，根據(jù)最值可列不等式，解不等式即可.【詳解】（1）由已知，解得，所以平均數(shù)為.（4分）（2）這名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在，兩組內(nèi)的學(xué)生分別有人，和人；所以根據(jù)分層抽樣可知人中在的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為人，所以隨機(jī)變量的可能取值有，，所以，，則分布列為期望；（10分）（3）由頻率分布直方圖可知運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的頻率為，則，若為最大值，則，即，即，解得，又，且，則.（17分）19．（17分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：x2a2+y2b(1)求Γ的方程；(2)對(duì)于給定的點(diǎn)集M，N，若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為d(M,N).（ⅰ）若M，N分別為線段AB與圓O上任意一點(diǎn)，P為圓O上一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求d(M,N)；（ⅱ）若d(M,N)，d(N,M)均存在，記兩者中的較大者為H(M,N).已知H(X,Y)，H(Y,Z)，H(X,Z)均存在，證明：H(X,Z)+H(Y,Z)≥H(X,Y).【答案】(1)x2(2)（?。?2【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出a，再結(jié)合離心率求出b即得.（2）（?。┰谥本€l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，借助判別式求出圓心O到l距離，列出△PAB的面積關(guān)系求解，再驗(yàn)證斜率不存在的情況；（ⅱ）利用新定義，結(jié)合對(duì)稱性推理即得.【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)l垂直于x軸時(shí)，|AB|=26，而直線l:x=±a與Γ相切，則23a又橢圓Γ的離心率為63，則橢圓Γ的半焦距c=2，所以Γ的方程為x23（2）（i）當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：y=kx+m，由y=kx+mx2+3y2由直線l與橢圓Γ相切，得Δ=(6km)2于是圓心O到直線l的距離d=|m|則△PAB的面積為S△PAB設(shè)f(d)=(3?d)(d+3)3,1≤d<當(dāng)1≤d<32時(shí)，f'(d)>0，函數(shù)f(d)單調(diào)遞增，當(dāng)32因此當(dāng)d=32時(shí)，f(d)取得最大值，此時(shí)當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，由（1）知，S≤1由(934)2對(duì)于線段AB上任意點(diǎn)E，連接OE并延長(zhǎng)與圓O交于點(diǎn)F，則F是