專題01 集合與常用邏輯用語-2025年春季高考數(shù)學(xué)沖刺總復(fù)習(xí)（江蘇專用）

PAGE1專題01集合與常用邏輯用語目錄TOC\o"1-2"\h\u考情解讀 1知識(shí)梳理 1考點(diǎn)精講 1考點(diǎn)一：集合的含義與表示 3考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系 5考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算 7考點(diǎn)四：充分條件與必要條件 8考點(diǎn)五：全稱量詞與存在量詞 11實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練 13明晰學(xué)考要求集合的考查重點(diǎn)是集合與集合之間的關(guān)系與運(yùn)算，考試形式多以選擇題為主．近年來試題加強(qiáng)了對集合計(jì)算和化簡能力的考查，并向無限集方向發(fā)展，考查學(xué)生的抽象思維能力，在解決這些問題時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)軸法和特殊值法解題，應(yīng)加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)化和化簡的訓(xùn)練．充分必要條件的判斷、含有一個(gè)量詞的命題的否定是常用邏輯用語考查的重點(diǎn)，只需要根據(jù)推出關(guān)系即可判斷充分必要條件；而寫出一個(gè)含一個(gè)量詞的命題的否定，只需要按先改變量詞再否定結(jié)論的步驟解答即可.基礎(chǔ)知識(shí)梳理1、元素與集合（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的.②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的，如集合應(yīng)滿足.③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分.如集合和是同一個(gè)集合.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于（）或不屬于（）.如對于集合.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖.①列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“”括起來表示集合的方法.②描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.注意集合的代表元素表示的不同含義，如集合表示數(shù)集，表示點(diǎn)集；表示函數(shù)的定義域，表示函數(shù)的值域.（4）常見數(shù)集的符號(hào)表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或2、集合間的基本關(guān)系（1）子集：集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，則集合為集合的子集，即（或）.（2）真子集：若集合，但存在元素，且，則集合是集合的真子集，即（或）.①元素與集合的關(guān)系用或表示，注意與兩個(gè)集合間的關(guān)系相區(qū)分.如，，.②是的必要不充分條件.（3）相等：且.同時(shí)注意，對于兩個(gè)有限集，利用兩個(gè)集合的元素完全相同進(jìn)行判斷更直接.（4）空集的性質(zhì)：把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.列舉一個(gè)集合的子集或求子集個(gè)數(shù)時(shí)，不要遺漏.3、集合的基本運(yùn)算（1）交集：與的交集，記作，即．（2）并集：與的并集，記作，即．若兩個(gè)集合包含相同元素，列舉時(shí)，相同元素只取其中一個(gè).（3）補(bǔ)集：集合的補(bǔ)集，記作，即．4、充分條件、必要條件與充要條件的概念（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；（2）若且，則是的充分不必要條件；（3）若且，則是的必要不充分條件；（4）若，則是的充要條件；（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.5、全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示.（2）存在量詞短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示.（3）全稱量詞命題及其否定①全稱量詞命題：對中的任意一個(gè)，有成立，即.②全稱量詞命題的否定：.（4）存在量詞命題及其否定①存在量詞命題：存在中的元素，有成立，即.②存在量詞命題的否定：.6、常用結(jié)論（1）若,則.（2）若，則,.（3）條件，條件,則是的充分不必要條件.（4）命題和的真假性相反.考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)一：集合的含義與表示【典型例題】例題1．已知集合，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系【分析】直接由元素與集合的關(guān)系即可求解.【詳解】由元素與集合的關(guān)系可知：若集合，則.故選：B.例題2．已知集合，則A中元素個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】由列舉法即可判斷【詳解】，共有9個(gè)元素.故選：B例題3．已知數(shù)集含有（）個(gè)元素，定義集合．(1)若，寫出；(2)寫出一個(gè)集合，使得；(3)當(dāng)時(shí)，是否存在集合，使得？若存在，寫出一個(gè)符合條件的集合；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析.【知識(shí)點(diǎn)】判斷元素與集合的關(guān)系、集合新定義【分析】（1）根據(jù)集合的新定義，寫出中元素即可得解；（2）根據(jù)條件分析集合中元素即可得解；（3）根據(jù)題意可得不存在，利用反證法證明即可.【詳解】（1）因?yàn)椋詾橹性?，?（2）取，此時(shí)，滿足.（3）當(dāng)時(shí)，不存在集合，使得.（反證法）假設(shè)時(shí)，存在集合，使得，不妨設(shè)，且，則，所以為中7個(gè)不同的元素，所以，由解得.此時(shí)，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故不存在這樣的集合.列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據(jù)集合基本運(yùn)算的定義求解的方法.【即時(shí)演練】1．圖中陰影區(qū)域所表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】列舉法求集合中元素的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)集合的定義以及表示方法，即可求解.【詳解】陰影中有兩個(gè)數(shù)字，分別是1，2所以表示的集合為.故選：C2.已知集合，則（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】由元素與集合的關(guān)系即可求解.【詳解】,故選：B.3．設(shè)集合，則下列選項(xiàng)正確是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：由元素與集合的關(guān)系可知，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：由元素與集合的關(guān)系可知，故B正確；對于選項(xiàng)C：由元素與集合的關(guān)系可知，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：由集合與集合的關(guān)系可知，故D錯(cuò)誤.故選：B考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系【典型例題】例題1．設(shè)集合，，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)【分析】根據(jù)集合相等直接得解.【詳解】因?yàn)椋?，且，所?故選：D例題2．已知集合，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、并集的概念及運(yùn)算、判斷元素與集合的關(guān)系、交集的概念及運(yùn)算【分析】根據(jù)交集、并集的定義求出，，再根據(jù)元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，，，故A、B、C正確，D錯(cuò)誤；故選：D例題3．設(shè)集合A=x1<x<3，，若，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)列出不等式即可求解.【詳解】因?yàn)锳=x1<x<3，，故答案為：.兩個(gè)有限集集相等，只需要令它們的元素分別相等；計(jì)算一個(gè)集合的子集個(gè)數(shù)時(shí)，不要遺漏.【即時(shí)演練】1．設(shè)集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】對于，求出的解集，化為區(qū)間的形式，進(jìn)而與進(jìn)行比較，即可得答案．【詳解】對有，，對于，有，解可得，或；則；所以，，.故選：C．2．已知全集為U，，則下面的圖形表示的關(guān)系正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，可得，結(jié)合韋恩圖的意義判斷作答.【詳解】全集為U，，則有，選項(xiàng)BCD不符合題意，選項(xiàng)A符合題意.故選：A考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算【典型例題】例題1．（2024高二上·江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A.例題2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)集合求并集.【詳解】，.例題3．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）對于兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合和，我們把集合記作.若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】計(jì)算，得到元素個(gè)數(shù).【詳解】，則，則中元素的個(gè)數(shù)為故選：C【即時(shí)演練】1．集合，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A2．已知集合，，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、交集的概念及運(yùn)算【分析】根據(jù)集合的交集求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?故選：A3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】由，，則，故選：B.考點(diǎn)四：充分條件與必要條件【典型例題】例題1．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)確定正確答案.【詳解】，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A例題2．（2024高三上·江蘇南京·學(xué)業(yè)考試）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、用和、差角的正切公式化簡、求值【分析】化簡得,再根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)判斷即可.【詳解】因?yàn)?所以，解得.所以“”是“”的充要條件.故選：C.例題3．已知兩條直線和平面，若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、判斷線面平行【分析】利用空間直觀想象與線面平行的判定定理，結(jié)合充分必要條件的判定方法即可得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，與可能異面，即充分性不成立；當(dāng)時(shí)，由線面平行的判定定理可知，即必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.由條件p推出條件q,則p是q的充分條件，由q能推出p，則p是q的必要條件.【即時(shí)演練】1．“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由當(dāng)為整數(shù)時(shí)，必為整數(shù)；當(dāng)為整數(shù)時(shí)，不一定為整數(shù)；即可選出答案.【詳解】當(dāng)為整數(shù)時(shí)，必為整數(shù)；當(dāng)為整數(shù)時(shí)，不一定為整數(shù)，例如當(dāng)時(shí)，.所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【分析】若，則，充分性成立，取特殊值，當(dāng)“”成立時(shí)，“”不一定成立，則可得答案.【詳解】若，則，充分性得證；若，則，但不成立，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．已知平面，是與無公共點(diǎn)的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充要條件的定義即可求解.【詳解】若，則與無交點(diǎn)，若與無交點(diǎn)，則，故是與無公共點(diǎn)的充要條件，故選：C考點(diǎn)五：全稱量詞與存在量詞【典型例題】例題1．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）命題：“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得：命題“”的否定為：“”.故選：C.例題2．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)命題否定的定義判斷.【詳解】特稱命題的否定是全稱命題，因此命題“”的否定是故選：D.寫全稱量詞命題的否定，先將改為，再將結(jié)論否定；寫存在量詞命題的否定，先將改為，再將結(jié)論否定.【即時(shí)演練】1．命題“”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷【分析】利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接判斷得解.【詳解】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定是：，.故選：D2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，即可作出判斷.【詳解】由命題“，”的否定是“，”,故選：C.實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練1．設(shè)集合，則不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合A，再根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系及子集的性質(zhì)逐一判斷.【詳解】，顯然A正確；B不正確；因?yàn)槭侨魏渭系淖蛹蝗魏渭隙际撬旧淼淖蛹蔆、D正確；故選：B.2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】根據(jù)集合交集的概念與運(yùn)算，即可求解.【詳解】集合，根據(jù)集合交集的運(yùn)算，可得.故選：A.3．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算【分析】利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A.4．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】先解一元二次不等式，再結(jié)合交集求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.5.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由集合的包含關(guān)系，對集合是否是空集分類討論即可求解.【詳解】集合，若，則若，則滿足題意；若，且，則，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：6．已知集合，若有且僅有3個(gè)不同元素，則的值可以為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、交集的概念及運(yùn)算【分析】先求出集合，然后結(jié)合集合的交集運(yùn)算即可求解．【詳解】因?yàn)榧?，若有且僅有3個(gè)不同元素，則這3個(gè)元素為3，2，1，故，即．故可取1，故選：A．7．設(shè)命題，則p為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】全稱命題的否定及其真假判斷【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可．【詳解】該命題含有量詞“”，故該命題是一個(gè)全稱命題，其否定是一個(gè)特稱命題，故p為：．故選：B8．已知，，則“且”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、充分和必要條件等