重難點(diǎn)突破：專(zhuān)題06 平行四邊形（解析版）

專(zhuān)題06平行四邊形重點(diǎn)1．平行四邊形的性質(zhì)及判定2．三角形的中位線定理難點(diǎn)添加輔助線將平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題平行四邊形性質(zhì)及判定的靈活運(yùn)用易錯(cuò)對(duì)平行四邊形性質(zhì)與判定的區(qū)分一、平行四邊形的定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．【例1】在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線交點(diǎn)，下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BCC．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB【答案】C【解析】解：A、∵AD∥BC，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），不符合題意；

B、∵AB=DC，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形），不符合題意；

C、AB∥DC，AD=BC，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，符合題意；

D、∵OA=OC，OD=OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形），不符合題意；

故答案為：C.【例2】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，下列可添加的條件不正確的是（）A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C【答案】A【解析】解：A、AB∥CD，AD=BC，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，錯(cuò)誤，符合題意；

B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，不符合題意；

C、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，不符合題意；

D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，不符合題意；

故答案為：A.二、平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，對(duì)角線互相平分．【例3】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠AEB=25°，則∠A的大小為（)A．100° B．120° C．130° D．150°【答案】C【解析】解：∵平行四邊形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠ABC=180°，∠AEB=∠EBC=25°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠EBC=2×25°=50°，

∴∠A=180°-∠ABC=180°-50°=130°.

故答案為：C.

【例4】已知□ABCD的周長(zhǎng)為36，且AB:AD=1:2，則AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．12 D．24【答案】B【解析】解：∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為36，

∴AB=CD，AD=BC

∴2（AB+AD）=36，

∴AB+AD=18；

∵AB:AD=1:2，

∴AD=2AB，

∴3AB=18，

解之：AB=6.

故答案為：B.

三、兩條平行線之間的距離兩條平行間的距離處處相等．【例5】已知直線，，互相平行，直線與的距離是，直線與的距離是，那么直線與的距離是（）A．或 B． C． D．【答案】A【解析】解：①當(dāng)與在同側(cè)時(shí)，∵直線，，互相平行，直線與的距離是，直線與的距離是，∴與的距離為5-2=3cm，②當(dāng)與在兩側(cè)時(shí)，∵直線，，互相平行，直線與的距離是，直線與的距離是，∴與的距離為5+2=7cm，綜上所述：與的距離是3cm或7cm，故答案為：A.【例6】如圖，直線.則直線,之間的距離是（）A．線段的長(zhǎng)度 B．線段的長(zhǎng)度C．線段 D．線段【答案】B【解析】解：∵直線a∥b，CD⊥b，∴直線a，b之間距離是線段CD的長(zhǎng)度，故答案為：B．四、平行四邊形的判定平行四邊形的判定有：①兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【例7】在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ADB=∠CBD，添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．∠ABD=∠CDB B．∠DAB=∠BCD C．∠ABC=∠CDA D．∠DAC=∠BCA【答案】D【解析】解：如圖

∵∠ADB=∠CBD，

∴AD∥BC，

A、∵∠ABD=∠CDB，

∴AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A不符合題意；

B、∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°，

∵∠DAB=∠BCD，

∴∠BCD+∠ABC=180°，

∴AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故B不符合題意；

C、∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°，

∵∠ABC=∠CDA，

∴∠DAB+∠CDA=180°，

∴AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故C不符合題意；

D、∵∠DAC=∠BCA，

∴AD∥BC，

只有一組對(duì)邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，故D符合題意；

故答案為：D.【例8】小玲的爸爸在釘制平行四邊形框架時(shí)，采用了一種方法：如圖所示，將兩根木條AC，BD的中點(diǎn)重疊，并用釘子固定，則四邊形ABCD就是平行四邊形，這種方法的依據(jù)是（）A．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形D．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形【答案】A【解析】解：由題意得：OA=OC，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

故答案為：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

五、平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合平行四邊形的性質(zhì)的條件和結(jié)論正好與判定的條件和結(jié)論相反，它們構(gòu)成互逆的關(guān)系．由平行四邊形這一條件，得到邊、角或?qū)蔷€的關(guān)系，這是平行四邊形的性質(zhì)；反之，由邊、角或?qū)蔷€的關(guān)系，得到平行四邊形的結(jié)論，這是平行四邊形的判定．【例9】如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使得CD=BC，過(guò)AC的中點(diǎn)E作EF∥CD(點(diǎn)F位于點(diǎn)E右側(cè))，且EF=2CD，連結(jié)DF.若AB=8，則DF的長(zhǎng)為（）

A．3 B．4 C．2 D．3【答案】B【解析】解：取BC的中點(diǎn)G，連接EG，

∵E是AC的中點(diǎn)，

∴EG是△ABC的中位線，

∴EG=AB=4，

設(shè)CD=x，則EF=BC=2x，

∴BG=CG=x，

∴EF=2x=DG，

∴EF∥CD，

∴四邊形EGDF是平行四邊形，

∴DF=EG=4.

故答案為：B.【例10】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，按下列條件得到的四邊形BFDE是平行四邊形的有（）①圖甲，DE⊥AC，BF⊥AC；②圖乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC；③圖丙，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)；④圖丁，E是AB上一點(diǎn)，EF⊥AB。A．3個(gè) B．4個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)【答案】A【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴DC∥AB，DC=AB，∠ADC=∠ABC

∴∠DCE=∠BAE，

圖甲：

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴DE∥BF，∠DEC=∠AFB=90°，

在△CDE和△ABF中

∠DEC=∠AFB∠DCE=∠BAEDC=AB

∴△CDE≌△ABF（AAS）

∴DE=BF，

∵DE∥BF

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

圖乙

∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，

∴∠CDE=∠ADC，∠ABE=∠ABC，

∴∠CDE=∠ABF，

在△CDE和△ABF中

∠CDE=∠ABF∠DCE=∠BAEDC=AB

∴△CDE≌△ABF（AAS）

∴DE=BF，∠DEC=∠AFB，

∴DE∥BF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

圖丙

∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)

∴DF=DC，BE=BA，

∴DC=BE，DC∥BE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

圖丁

∵EF⊥AB，

∴∠DFE=∠FEB=90°，不能證明△DFE≌△BEF，

六、三角形的中位線及其定理利用三角形的中位線不僅可以證明直線平行，也可以證明線段的倍分關(guān)系．【例11】如圖所示，在△ABC中，D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，連結(jié)BD.若BD平分∠ABC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC【答案】C【解析】解：∵D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，

∴DE為△ABC為中位線，

∴DE=BC，即BC=2BE，DE∥BC，

∵∠EDB=∠DBC，

∵∠ABD=∠CBD，

∴∠EDB=∠ABD，

∴EB=ED，

∴EA=EB=ED，

∴∠A=∠ADE，∠DBE=∠EDB，

∵∠A+∠ADE+∠DBE+∠EDB=180°，

∴∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°，即BD⊥AC，

∵AD=DC，

∴BD為AC的垂直平分線，

∴BA=BC，

∴∠A=∠C，

∵ED∥BC，

∴∠EDA=∠C，

∴∠A=∠EDA.

綜上，正確的有BC=2BE，∠A=∠EDA，BD⊥AC.

故答案為：C.

【例12】如圖，在中，分別是邊上的中線，于點(diǎn)O，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)是（）A．7 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，分別是邊上的中線，是的中位線，，同理可得：，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是菱形，，故答案為：B．一、單選題1．如圖，在中，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴．∵，∴，∴．故選B．2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若∠B=40°，則∠BDE的度數(shù)為（

）A．40° B．50° C．140° D．150°【答案】C【解析】解：∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，即：∠B+∠BDE=180°，∴∠BDE=180°-∠B=180°-40°=140°．故選：C．3．下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】解：A．根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B．根據(jù)平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；故選項(xiàng)正確，不符合題意；C．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等不能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D．如圖，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C．4．如圖，已知矩形ABCD中，R、P分別是DC、BC上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（

）A．線段EF的長(zhǎng)逐漸增大 B．線段EF的長(zhǎng)逐漸減小C．線段EF的長(zhǎng)不改變 D．線段EF的長(zhǎng)不能確定【答案】C【解析】解：連接AR．因?yàn)镋、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，則EF為的中位線，所以，為定值．所以線段的長(zhǎng)不改變．故選：C．5．在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為40，則平行四邊形ABCD的面積是（

）A．36 B．48 C．40 D．24【答案】B【解析】解：設(shè)BC=x，∵?ABCD的周長(zhǎng)為40，∴CD=20-x，∵?ABCD的面積=BC?AE=CD?AF，∴4x=6（20-x），解得x=12，∴?ABCD的面積=BC?AE=12×4=48．故選：B．6．在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，△BOC的周長(zhǎng)為20cm，BC＝12cm，則AC+BD的長(zhǎng)是（）A．8cm B．16cm C．24cm D．32cm【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝COAC，BO＝DOBD，∴BO+COACBD（AC+BD），∵△BOC的周長(zhǎng)＝OB+OC+BC＝20cm，BC＝12cm，∴BO+CO＝20﹣12＝8（cm），∴AC+BD＝2×8＝16（cm），故選：B．二、填空題7．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則此平行四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】28或32或36【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，若以AC，BC為邊，則平行四邊形的周長(zhǎng)=2（AC+BC）=2×（6+8）=28，若以AC，AB為邊，則平行四邊形的周長(zhǎng)=2（AC+AB）=2×（6+10）=32，若以AB，BC為邊，則平行四邊形的周長(zhǎng)=2（AB+BC）=2×（10+8）=36，綜上，此平行四邊形的周長(zhǎng)為28或32或36．故答案為：28或32或36．8．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位線，點(diǎn)E在AB上，若AD：BC＝2：3，AD＝a，則用a表示FE＝________．【答案】a【解析】∵AD：BC＝2：3，AD＝a，∴BCa，∵EF是梯形ABCD的中位線，∴EFa，故答案為：a．三、解答題9．如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，連AE并與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，求證：DC＝CF．【答案】見(jiàn)詳解【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠BAE=∠CFE，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，在△ABE和△FEC，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB=FC，∴DC=CF．10．如圖，在□ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)O且垂直于AD．(1)求證：OE＝OF；(2)若S?ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)9【解析】(1)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是AC與BD的交點(diǎn)，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF；(2)解：由（1）得OE=OF=3.5，∴EF=7，∵AD∥BC，EF⊥AD，∴EF的長(zhǎng)即為平行四邊形ABCD中AD邊上的高，∵四邊形ABCD的面積為63，∴，∴AD=9．一、單選題1．如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=10，則邊AB的長(zhǎng)可以是（

）A．1 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=8，BD=10，∴OA=OC=4，OB=OD=5，在△AOB中，由三角形三邊關(guān)系定理得：5-4＜AB＜5+4，即1＜AB＜9，所以，只有選項(xiàng)B符合題意，故選：B．2．如圖：△ABC中，DE是△ABC的中位線，連接DC，BE相交于點(diǎn)F，若S△DEF＝1，則S△ADE為（

）A．3 B．4 C．9 D．12【答案】A【解析】解：∵DE是△ABC的中位線，連接DC，BE相交于點(diǎn)F，∴點(diǎn)F是△ABC的重心，AD＝DB，∴FB＝2FE，∴S△DBF＝2S△DEF＝2×1＝2，∴S△DEB＝S△DEF+S△DBF＝1+2＝3，∵AD＝DB，∴S△ADE＝S△DEB＝3．故選：A．3．如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P、Q分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．4【答案】C【解析】解：取BC的中點(diǎn)G，連接AG．在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等邊三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接GF，

交AC于點(diǎn)P，由對(duì)稱(chēng)可知，B、A、F在一條直線上，AG＝AF，∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，∴∠F＝∠AGF＝30°，∴∠FGB＝90°，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合時(shí)，PB+PQ=PF+PG=FG，F(xiàn)G的長(zhǎng)即為PB+PQ的最小值，∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，∴BF＝4，，∴BP+PQ的最小值為2．故選：C．4．在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BD＝2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AB＝CD，∵E、F、G分別是OC、OD、AB的中點(diǎn)，∴CD＝2EF，，AB＝2BG，∴BG＝EF，，∴四邊形BGFE是平行四邊形，∴GN＝NE，故①正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC，∵BD＝2AD＝2BC，∴BO＝BC，又∵點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC，∵四邊形BGFE是平行四邊形，∴，∴GF⊥AC，即GF⊥AE，故②正確；∵BO＝BC，∴∠BOC＝∠BCO，∵∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BOC＞∠ACD，∴∠BCO≠∠ACD，∴AC不平分∠BCD，故③錯(cuò)誤；∵BO＝BC，點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC，∴∠BOE＜90°，∴AC與BD不垂直，故④錯(cuò)誤，故選：B．5．在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E、F分別是線段AC、CD的中點(diǎn)，若△ABD、△EFC的面積分別為21、7，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作△ABC的高，設(shè)為x，過(guò)點(diǎn)E作△EFC的高為，∴，∴，，∵點(diǎn)E、F分別是線段AC、CD的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB，DN⊥AC，∵AD為平分線，∴DM=DN，∵，∴，即：∴，故選：B．6．下列圖形中，三角形ABC和平行四邊形ABDE面積相等的是（）A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④【答案】C【解析】解：①三角形ABC的面積＝，平行四邊形ABDE的面積＝4×2＝8，不相等；②三角形ABC的面積＝，平行四邊形ABDE的面積＝4×2＝8，相等；③三角形ABC的面