北京市師達(dá)中學(xué)2020-2021學(xué)年8下期中試卷（解析版）

北京市師達(dá)中學(xué)2020-2021學(xué)年度第二學(xué)期期中練習(xí)初二數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共20分，每小題2分．第1-10題均有4個選項，符合題意的選項只有一個．）1.以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A.1，，3 B.1，，2 C.4，6，8 D.4，5，6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷較小兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，則可以判斷各個選項的三條線段能否構(gòu)成直角三角形，本題得以解決．【詳解】解：A、12+（）2≠32，故不能構(gòu)成直角三角形；B、12+22=（）2，故能構(gòu)成直角三角形；C、42+62≠82，故不能構(gòu)成直角三角形；D、42＋52≠62，故不能構(gòu)成直角三角形．故選：B．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答．2.下列各式中，運算正確是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)合并同類二次根式法則，二次根式的性質(zhì)，逐一判斷即可．【詳解】解：A.，不是同類二次根式，不能合并，故該選項錯誤；B.，不是同類二次根式，不能計算，故該選項錯誤；C.，故該選項正確；D.，故該選項錯誤，故選C．【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)和運算法則，掌握合并同類二次根式法則和二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.下列二次根式中，是最簡二次根式是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A.=3，不是最簡二次根式，B.=2，不是最簡二次根式，C.=，不是最簡二次根式，D.是最簡二次根式，故選D．【點睛】本題考查了最簡二次根式．解題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的概念．最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式，不能含有分母．4.下列給出的條件中，能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A.AB∥CD，AD＝BC B.∠B＝∠C；∠A＝∠DC.AB＝CD，CB＝AD D.AB＝AD，CD＝BC【答案】C【解析】【分析】平行四邊形的判定定理①兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，判斷即可．【詳解】解：A、根據(jù)AD∥CD，AD＝BC不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項錯誤；B、根據(jù)∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項錯誤；C、根據(jù)AB＝CD，AD＝BC，得出四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項正確；D、根據(jù)AB＝AD，BC＝CD，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了對平行四邊形的判定定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能熟練地運用平行四邊形的判定定理進行推理，此題是一道比較容易出錯的題目．5.一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖所示，當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是（）A.x＞0 B.x＜0 C.x＞﹣2 D.x＜﹣2【答案】C【解析】【分析】當(dāng)y＞0時，即函數(shù)圖象在x軸上方時對應(yīng)的x的取值范圍，結(jié)合圖象可求得答案．【詳解】解：由圖象可知當(dāng)x＝﹣2時，y＝0，且y隨x的增大而增大，∴當(dāng)y＞0時，x＞﹣2，故選C．【點睛】本題主要考查了利用一次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)求不等式的解集，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.6.北京市6月某日10個區(qū)縣的最高氣溫如下表：(單位：℃)區(qū)縣大興通州平谷順義懷柔門頭溝延慶昌平密云房山最高氣溫32323032303229323032則這10個區(qū)縣該日最高氣溫的中位數(shù)是（）.A.32 B.31 C.30 D.29【答案】A【解析】【詳解】∵從小到大排列后，排在中間位置的兩個數(shù)都是32，∴中位數(shù)是32.故選A.7.如圖，一根長5米的竹竿斜靠在豎直的墻上，這時為4米，若竹竿的頂端沿墻下滑2米至處，則竹竿底端外移的距離（）A.小于2米 B.等于2米 C.大于2米 D.以上都不對【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理可求出OB、OD的長，即可得出BD的長，再根據(jù)無理數(shù)的估算，估算出BD的長即可得答案．【詳解】∵AB=5，OA=4，AC=2，AB=CD=5，∴OB==3，OD==，∴BD=-3，∵16＜21＜25，∴4＜＜5，∴1＜-3＜2，即BD的長小于2米，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用及無理數(shù)的估算，靈活運用勾股定理、熟練運用“夾逼法”估算無理數(shù)是解題關(guān)鍵．8.若一次函數(shù)圖象上有兩點、，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.無法確定【答案】A【解析】【分析】在y＝kx＋b中，當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大．利用一次函數(shù)的增減性進行判斷即可．【詳解】解：在一次函數(shù)中，∵k＝2＞0，∴y隨x的增大而增大，∵-1＞?2，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵，在y＝kx＋b中，當(dāng)k＞0時y隨x的增大而增大，當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減?。?.如圖，是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是2，直角三角形較長的直角邊為m，較短的直角邊為n，那么的值為（）A.23 B.24 C.25 D.26【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理，知兩條直角邊的平方等于斜邊的平方，此題中斜邊的平方即為大正方形的面積13，2mn即四個直角三角形的面積和，從而不難求得（m＋n）2．【詳解】解：（m＋n）2＝m2＋n2＋2mn＝大正方形的面積＋四個直角三角形的面積和＝13＋（13?2）＝24．故選：B．【點睛】本題考查勾股定理、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、完全平方公式等知識，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型．10.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程數(shù)“燃油效率越高表示汽車每消耗1升汽油行駛的里程數(shù)越多：“燃油效率越低表示汽車每消耗1升汽油行駛的里程數(shù)越少．如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況，根據(jù)圖中提供的信息，下列說法：①以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多；②以低于80km/h的速度行駛時，行駛相同路程，三輛車中，乙車消耗汽油最少；③以高于80km/h的速度行駛時，行駛相同路程，乙車比丙車省油；④以80km/h的速度行駛時，行駛100km，甲車消耗的汽油量約為10L．正確的是（）A.①③ B.②③ C.②④ D.③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：由圖可得，以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故①錯誤，以低于80km/h的速度行駛時，行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故②錯誤，以高于80km/h的速度行駛時，行駛相同路程，乙車比丙車省油，故③正確，以80km/h速度行駛時，行駛100公里，甲車消耗的汽油量約為10升，故④正確，故選D．【點睛】本題考查函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．二、填空題（本題共24分，每小題3分）11.二次根式中字母x的取值范圍是________．【答案】x2【解析】【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案．【詳解】解：∵有意義，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握定義是解題關(guān)鍵．12.如圖，A，B兩地被池塘隔開，小明通過下面的方法測出A，B間的距離：先在AB外選一點C，連接AC，BC．分別取AC，BC的中點D，E，測得米，由此他知道了A，B間的距離為___________米，這種做法的依據(jù)是_______________．【答案】①.30②.三角形中位線性質(zhì)定理【解析】【分析】根據(jù)三角形中位線性質(zhì)定理解答即可．【詳解】解：∵點D，E是AC，BC的中點，∴AB＝2DE＝30（m），小石的依據(jù)是三角形中位線定理，故答案為：30；三角形中位線性質(zhì)定理．【點睛】本題考查的是三角形中位線性質(zhì)定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．13.如圖，在ABCD中，BC=7，CD=4，BE平分∠ABC交AD于點E，則DE的長為__________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)四邊形為平行四邊形可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得出，繼而可得，然后根據(jù)已知可求得的長度．【詳解】解：四邊形為平行四邊形，，，平分，，，，，，．故答案為：3．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出．14.已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為________．【答案】5或【解析】【詳解】試題分析：已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時：第三邊的長為：；②長為3、4的邊都是直角邊時：第三邊的長為：；∴第三邊的長為：或5．考點：1．勾股定理；2．分類思想的應(yīng)用．15.若直線向上平移a個單位后，與直線的交點在第一象限，則符合條件的a值可以是___________．（寫出滿足題意的一個值）【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】直線向上平移a個單位后可得：y＝?2x+a，求出直線y＝?2x+a與直線的交點，再由此點在第一象限可得出a的取值范圍，進而即可求解．【詳解】解：直線向上平移a個單位后可得：y＝?2x+a，聯(lián)立兩直線解析式得：，解得：，即交點坐標(biāo)為（，），∵交點在第一象限，∴，解得：a＞1．∴a可取2，故答案為2．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換、兩直線的交點坐標(biāo)，注意第一象限的點的橫坐標(biāo)大于0、縱坐標(biāo)大于0．16.已知一組數(shù)據(jù)，，，……，，的方差是m，那么另一組數(shù)據(jù)，，，……，的方差是___________．（用含有m的代數(shù)式表示）【答案】m【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)，直接求解即可．【詳解】解：∵數(shù)據(jù)，，，……，的方差是m，∴由于另一組數(shù)據(jù)，，，……，是在原數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上每個數(shù)據(jù)都減去3，∴新數(shù)據(jù)的波動幅度沒有發(fā)生改變，∴另一組數(shù)據(jù)，，，……，的方差是m，故答案是：m．【點睛】本題主要考查方差，解題的關(guān)鍵是掌握方差的性質(zhì)：在原來每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個數(shù)，數(shù)據(jù)的方差不變．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正方形ABCO，．點D為x軸上一動點，以AD為邊在AD的右側(cè)作等腰，，連接OE，則OE的最小值為___________．【答案】2【解析】【分析】如圖，作EH⊥x軸于H，連接CE．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠ECH＝45°，推出點E在∠BCH的角平分線所在直線上運動，作OE’⊥CE，求出OE’的長即可解決問題．【詳解】解：如圖，作EH⊥x軸于H，連接CE．∵∠AOD＝∠ADE＝∠EHD＝90°，∴∠ADO＋∠EDH＝90°，∠EDH＋∠DEH＝90°，∴∠ADO＝∠DEH，∵AD＝DE，∴△ADO≌△DEH（AAS），∴OA＝DH＝OC，OD＝EH，∴OD＝CH＝EH，∴∠ECH＝45°，∴點E在∠BCH的角平分線所在直線上運動，作OE’⊥CE，則△OCE’是等腰直角三角形，∵OC＝4，∴OE'＝2，∴OE的最小值為2，故答案為：2．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．18.已知四邊形ABCD為凸四邊形，點M、N、P、Q分別為AB、BC、CD、DA上的點（不與端點重合），下列說法正確的是______（填序號）①對于任意凸四邊形ABCD，一定存在無數(shù)個四邊形MNPO是平行四邊形；②如果四邊形ABCD為任意平行四邊形，那么一定存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；③如果四邊形ABCD為任意矩形，那么一定存在一個四邊形為正方形；④如果四邊形ABCD為任意菱形，那么一定存在一個四邊形為正方形．【答案】④【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定和性質(zhì)，逐一判斷各個選項，即可．【詳解】解：①對于任意凸四邊形ABCD，當(dāng)點M、N、P、Q分別為AB、BC、CD、DA上的中點時，四邊形MNPO是平行四邊形，故原說法錯誤；②如果四邊形ABCD為任意平行四邊形，那么一定存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形，故原說法錯誤；③如果四邊形ABCD為任意矩形，不一定存在一個四邊形為正方形，故原說法錯誤；④如果四邊形ABCD為任意菱形，那么一定存在一個四邊形為正方形，原說法正確．故答案是：④.【點睛】本題主要考查四邊形綜合，熟練掌握平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．三、解答題（19題8分，20題、21題各5分，22題、23題各7分，24題26題各8分，共56分）19.計算：（1）（2）【答案】（1）5；（2）-2【解析】【分析】（1）先算二次根式的乘除法，再算加法運算，即可求解；（2）先化簡二次根式，求絕對值和零指數(shù)冪，再算加減法，即可求解．【詳解】解：（1）原式===5；（2）原式==．【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)和運算，掌握二次根式的運算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E、F分別是OA、OC的中點．求證：BE＝DF【答案】詳見解析【解析】【分析】根據(jù)題意可得BO=DO,再由E、F是AO、CO的中點可得EO=FO,即可證全等求出BE=DF．【詳解】∵ABCD是平行四邊形,∴BO=DO,AO=CO,∵E、F分別是OA、OC的中點,∴EO=FO,又∵∠COD=∠BOE,∴△BOE≌△DOF(SAS),∴BE=DF．【點睛】本題考查三角形全等,關(guān)鍵在于由平行四邊形的性質(zhì)得出有用的條件,再根據(jù)圖形判斷全等所需要的條件．21.凈月某中學(xué)為了抗疫宣傳，在七八年級開展了“防疫知識”大賽．為了解參賽學(xué)生的成績情況，從兩個年級中各隨機抽取10名學(xué)生的成績，數(shù)據(jù)如下：七年級：889490948494999499100八年級：84938894939893989799整理數(shù)據(jù)：按如下分段整理樣本數(shù)據(jù)并補全表格：成績x人數(shù)年級80≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100七年級1153八年級a144分析數(shù)據(jù)：補全下列表格中的統(tǒng)計量：統(tǒng)計量年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級93.694b24.2八年級93.7c9320.4得出結(jié)論：（1）a＝，b＝，c＝．（2）由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，年級選手的成績比較接近．（3）學(xué)校規(guī)定，成績不低于90分的選手可以獲獎，若該校七年級有200人參加比賽，請估計有多少人獲獎．【答案】（1）1，94，93.5；（2）八；（3）估計有160人獲獎．【解析】【分析】（1）由樣本數(shù)據(jù)可直接得出a的值，將八年級成績重新排列后可得其中位數(shù)c的值，根據(jù)眾數(shù)的概念可得b的值；（2）根據(jù)方差的意義可得答案；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中成績不低于90分的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的比例即可得．【詳解】解：（1）由樣本數(shù)據(jù)知八年級在80≤x＜85的人數(shù)a＝1，將八年級10名學(xué)生的成績重新排列為84，88，93，93，93，94，97，98，98，99，所以其中位數(shù)c＝（93+94）÷2＝93.5，七年級94分人數(shù)最多，故眾數(shù)b＝94；故答案為：1、94、93.5；（2）由表知八年級成績的方差20.4小于七年級成績的方差24.2，∴八年級的成績更穩(wěn)定，即成績比較接近；（3）估計七年級獲獎人數(shù)為200×＝160（人），∴估計有160人獲獎．【點睛】本題考查統(tǒng)計數(shù)據(jù)和用樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是掌握各個統(tǒng)計數(shù)據(jù)的定義和求法，以及用樣本估計總體的方法．22.某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行了研究．探究過程如下，請補全完整．（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：x…-3-2-1012345…y…4m2101234…其中，_________．（2）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點，并畫出了函數(shù)圖像的一部分，請畫出該函數(shù)圖像的另一部分．（3）觀察函數(shù)圖像，寫出一條函數(shù)性質(zhì)____________________________．（4）進一步探究函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)：①方程的解是________________；②方程的解是__________________；③關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是____________．【答案】（1）3；（2）見詳解；（3）當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而增大；（4）①x=1；②x=-0.5或x=2.5；③-1＜k＜1【解析】【分析】（1）把x=-2代入，即可求解；（2）用射線把各個點連接起來即可；（3）根據(jù)函數(shù)的增減性，寫出一條函數(shù)的性質(zhì)，即可；（4）①根據(jù)直線y=0與的圖像的交點坐標(biāo)為（1，0），即可求解；②根據(jù)直線y=1.5與的圖像的交點坐標(biāo)為（2.5，0），（-0.5，0），即可求解；③根據(jù)的圖像和的圖像有兩個交點，分別求出當(dāng)直線過（1，0）時，k=-1，當(dāng)直線與射線平行時，k=1，進而即可得到k的范圍．【詳解】解：（1）當(dāng)x=-2時，=3，故m=3，故答案是：3；（2）函數(shù)圖像如圖所示：（3）根據(jù)函數(shù)圖像可知：當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而增大，故答案是：當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而增大；（4）①∵直線y=0與的圖像的交點坐標(biāo)為（1，0），∴方程的解是x=1，故答案是：x=1；②∵直線y=1.5與的圖像的交點坐標(biāo)為（2.5，0），（-0.5，0），∴方程的解是x=-0.5或x=2.5；③∵關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，∴的圖像和的圖像有兩個交點，又∵直線過點（-1，2），當(dāng)直線過（1，0）時，k=-1，當(dāng)直線與射線平行時，k=1，∴的圖像和的圖像有兩個交點時，-1＜k＜1，故答案是：-1＜k＜1．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及函數(shù)圖像和方程的解的關(guān)系，掌握函數(shù)圖像的交點橫坐標(biāo)就是對應(yīng)方程的解，是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AE⊥BC交CB延長線于E，CF∥AE交AD延長線于點F．（1）求證：四邊形AECF是矩形；（2）連接OE，若AD＝5，BE＝3，求線段OE的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，推出四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到AE=4，CE=8，求得AC=，從而得出答案．【詳解】解:（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，即AF∥EC，∵CF∥AE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴平行四邊形AECF是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD為菱形，四邊形AECF為矩形，且BE=3，AD=5，∴AB=BC=AD=5，DF=BE=3，∴AE==4，CE=BE+BC=8，∴，∵對角線AC，BD交于點O，∴OA=OC，∵四邊形AECF為矩形，∴點O是對角線AC與EF的交點，∴．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理．正確識別圖形是解題的關(guān)鍵．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸、y軸交于點B、C，且與直線交于點A．（1）求出點A的坐標(biāo)；（2）若D是線段OA上的點，且的面積為12，求直線的解析式；（3）在（2）的條件下，設(shè)P是射線上的點，在平面內(nèi)是否存在點Q，使以O(shè)、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）直線解析式為；（3）存在點P，使以O(shè)、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形，坐標(biāo)為或或【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，通過列二元一次方程組并求解，即可得到答案；（2）設(shè)，根據(jù)題意列一元一次方程并求解，得；根據(jù)一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，計算得；設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式是，通過求解二元一次方程組，即可得到答案；（3）根據(jù)題意，設(shè)，且；分當(dāng)，且點Q再點P下方和上方、三種情況，根據(jù)菱形及兩點之間距離的性質(zhì)計算，通過求解一元二次方程和一元一次方程，即可得到答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，∴，∴；（2）根據(jù)題意，設(shè)，在直線：中，當(dāng)時，，∴∵的面積為12，∴，解得：，∴，∵∴符合題意設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式是，把，代入得：，解得：，∴直線解析式為；（3）根據(jù)題意，設(shè)，且如圖，當(dāng)，且點Q再點P下方時，得菱形∴∴∴∴；如圖，當(dāng)，且點Q再點P上方時，得菱形∴∴∴∴或（舍去）∴，即如圖，當(dāng)，得菱形∴∴∴∴∴，即∴存在點P，使以O(shè)、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形，坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了菱形、一元二次方程、二元一次方程組、二次根式、一元一次方程、直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形、直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、一元二次方程、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．25.如圖①，在正方形ABCD中，點E為BC邊上任意一點（點E不與B、C重合），點F在線段AE上，過點F的直線，分別交AB、CD于點M、N．（1）求證：（2）如圖②，當(dāng)點F為AE中點時，其他條件不變，連接正方形的對角線BD、MN與BD交于點G，連接BF．求證：．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【解析】【分析】（1）作輔助線，構(gòu)建平行四邊形PMND，再證明△ABE≌△DAP，即可得出結(jié)論；（2）連接AG、EG、CG，構(gòu)建全等三角形和直角三角形，證明AG＝EG＝CG，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得∠AGE＝90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BF＝AE，F(xiàn)G＝AE，則BF＝FG．詳解】證明：（1）如圖，過點D作PD∥MN交AB于P，則∠APD＝∠AMN，

∵正方形ABCD，∴AB＝AD，AB∥DC，∠DAB＝∠B＝90°，∴四邊形PMND是平行四邊形且PD＝MN，∵∠B＝90°，∴∠BAE＋∠BEA＝90°，∵MN⊥AE于F，∴∠BAE＋∠AMN＝90°，∴∠BEA＝∠AMN＝∠APD，又∵AB＝AD，∠B＝∠DAP＝90°，∴△ABE≌△DAP（AAS），∴AE＝PD＝MN．（2）如圖，連接AG、EG、CG，由正方形的軸對稱性△ABG≌△CBG，∴AG＝CG，∠GAB＝∠GCB，∵MN⊥AE于F，F(xiàn)為AE中點，∴AG＝EG，∴EG＝CG，∠GEC＝∠GCE，∴∠GAB＝∠GEC，由圖可知∠GEB＋∠GEC＝180°，∴∠GEB＋∠GAB＝180°，又∵四邊形ABEG的內(nèi)角和為360°，∠ABE＝90°，∴∠AGE＝90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE為斜邊，F(xiàn)為AE的中點，∴BF＝AE，F(xiàn)G＝AE，∴BF＝FG．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、全等三角形，在有中點和直角三角形的前提條件下，可以利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半來證明兩條線段相等．26.對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形M，N，給出如下定義：如果點P為圖形M上任意一點，點Q為圖形N上任意一點，那么稱線段長度的最小值為圖形M，N的“近距離”，記作，特別地，當(dāng)圖形M與圖形N存在公共點時，圖形M，N的“近距離”為0．若圖形M，N的“近距離”小于或等于1，則稱圖形M，N互為“可及圖形”若圖形M為邊長等于2的正方形ABCD，其對角線的交點記為正方形的中心G．（1）