2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.2直線及其方程2.2.4點(diǎn)到直線的距離課后提升訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第一冊

2.2.4點(diǎn)到直線的距離課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.原點(diǎn)到直線x+2y-5=0的距離為()A.1 B.3 C.2 D.5解析d=|0+2答案D2.設(shè)兩條直線的方程分別為x+y-a=0,x+y+b=0,已知a,b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的兩個實(shí)數(shù)根,則這兩條直線之間的距離是()A.24 B.C.22 D.解析∵a,b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的兩個實(shí)數(shù)根,∴Δ=1-4c≥0,a+b=-1,則這兩條直線之間的距離=|a+b|答案C3.已知直線3x+my-3=0與6x+4y+1=0相互平行,則它們之間的距離是()A.4 B.21313 C.513解析∵3x+my-3=0與6x+4y+1=0平行,∴36=m4,∴m=2,化6x+4y+1=0為3x+2y+12=答案D4.已知點(diǎn)A(1,3),B(3,1),C(-1,0),則△ABC的面積等于()A.3 B.4 C.5 D.6解析設(shè)AB邊上的高為h,則S△ABC=12|AB|·h|AB|=(3-1)AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到直線AB的距離,AB邊所在的直線方程為y-即x+y-4=0.點(diǎn)C到直線x+y-4=0的距離為|-1+0-4|2=52,因此,S△ABC答案C5.直線l過點(diǎn)A(3,4),且與點(diǎn)B(-3,2)的距離最遠(yuǎn),則直線l的方程為()A.3x-y-5=0 B.3x-y+5=0C.3x+y+13=0 D.3x+y-13=0解析由題意知,當(dāng)l與AB垂直時,符合要求,因?yàn)閗AB=4-所以直線l的斜率k=-3.所以直線l的方程為y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0.答案D6.已知0<k<4,直線l1:kx-2y-2k+8=0和直線l2:2x+k2y-4k2-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形,則使得這個四邊形面積最小的k值為()A.12 B.14 C.18解析l1:k(x-2)-2y+8=0過定點(diǎn)(2,4),l2:k2(y-4)=4-2x也過定點(diǎn)(2,4),如圖所示,點(diǎn)A(0,4-k),B(2k2+2,0),S=12×2k2×4+(4-k+4)×2×12=4k2-k+當(dāng)k=18時,S取得最小值答案C7.直線4x-3y+5=0與直線8x-6y+5=0之間的距離為.

解析直線8x-6y+5=0化簡為4x-3y+52=0,則由兩條平行直線之間的距離公式得5答案18.經(jīng)過點(diǎn)P(-3,4),且與原點(diǎn)的距離等于3的直線l的方程為.

解析(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時,原點(diǎn)到直線l:x=-3的距離等于3,滿意題意.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-4=k(x+3),即kx-y+3k+4=0.原點(diǎn)到直線l的距離d=|3k解得k=-724直線l的方程為7x+24y-75=0.綜上可知,直線l的方程為x=-3或7x+24y-75=0.答案x=-3或7x+24y-75=09.平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,2),B(-3,4),C(0,6).(1)求BC邊上的高所在的直線方程;(2)求△ABC的面積.解(1)直線BC的斜率kBC=6-則BC邊上高所在直線斜率k=-32則BC邊上的高所在的直線方程為y-2=-32(x+1),即3x+2y-1=0(2)BC的方程為y=23x+即2x-3y+18=0.點(diǎn)A到直線BC的距離d=|2×(-1則△ABC的面積S=12|BC|d=12×10.已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,且點(diǎn)P(4,3)到直線l的距離為32,求直線l的方程.解由題意知,若截距為0,可設(shè)直線l的方程為y=kx,由題意知|4k-3解得k=-12±3142,直線l的方程為y=-12+3142若截距不為0,設(shè)所求直線l的方程為x+y-a=0,由題意知|4+3-a|解得a=1或a=13,直線l的方程為x+y-1=0或x+y-13=0.綜上所述,所求直線l的方程為y=-12+314y=-12-3142x,x+y-1=0或?qū)嵙μ嵘?.已知直線過兩直線x-y+1=0和x+y-1=0的交點(diǎn),且原點(diǎn)到該直線的距離等于1,這樣的直線共有()A.0條 B.1條 C.2條 D.3條解析聯(lián)立x∴兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),由交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1可知,只有1條直線符合條件.答案B2.點(diǎn)P(sinθ,3cosθ)到直線x+y+8=0的距離的最小值為()A.4 B.23 C.32 D.52解析點(diǎn)P(sinθ,3cosθ)到直線x+y+8=0的距離為d=|sinθ+3cosθ+8|1+1即θ=2kπ+7π6,k∈Z時,d取得最小值為3故選C.答案C3.設(shè)直線l1:x+3y-7=0與直線l2:x-y+1=0的交點(diǎn)為P,則P到直線l:x+ay+2-a=0的距離最大值為()A.10 B.4 C.32 D.11解析聯(lián)立x解得x=1,y=2.可得P(1,2).直線l:x+ay+2-a=0化為x+2+a(y-1)=0,因此直線經(jīng)過定點(diǎn)Q(-2,1).P到直線l:x+ay+2-a=0的距離最大值為|PQ|=(1+2故選A.答案A4.已知直線l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線l1與直線l2:3x+3y-1=0間的距離為()A.423 BC.22或2 D.解析∵直線l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,∴m+4m=m+42,m=2.∴直線l1:x+y-3=0,即3x+3y-9=0.故直線l1與直線l2:3x+3y-1=0答案A5.若直線l1:ax+y-1=0與直線l2:x+ay+1=0平行,則兩條平行直線之間的距離為()A.1 B.2 C.2 D.22解析直線l1:ax+y-1=0與直線l2:x+ay+1=0平行,則a2-1=0,解得a=±1.當(dāng)a=-1時,直線l1:x-y+1=0與直線l2:x-y+1=0重合,故舍去.當(dāng)a=1時,直線l1:x+y-1=0與直線l2:x+y+1=0平行.故兩條平行直線之間的距離d=|-1故選B.答案B6.已知兩條平行直線l1,l2分別過點(diǎn)P(1,1),Q(0,-1),當(dāng)l1,l2間的距離最大時,直線l1的方程為.

解析由題意可得,l1,l2間的距離最大時,PQ和這兩條直線都垂直.由于PQ的斜率為1+11-故直線l1的斜率為-12故它的方程是y-1=-12(x-1),化簡為x+2y-3=0答案x+2y-3=07.已知直線過兩直線x-3y+1=0和3x+y-3=0的交點(diǎn),且原點(diǎn)到該直線的距離為12,則該直線的方程為.解析聯(lián)立x-3y+1=0,3①當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A的直線的斜率不存在時,其方程為x=12,原點(diǎn)(0,0)到直線x=12的距離為12②當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A的直線的方程為y-32=kx即kx-y-12k+32由于原點(diǎn)(0,0)到方程為kx-y-12k+32=0的直線的距離d=解得k=33,故所求直線的方程為x-3y+1=0答案x=12或x-3y+1=8.已知三角形的三個頂點(diǎn)分別是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A的平分線的方程.解設(shè)P(x,y)為角A的平分線上任一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線AB與到直線AC的距離相等,由兩點(diǎn)式得直線AB的方程為y-即4x-3y-13=0,直線AC的方程為y-即3x+4y-16=0.所以由點(diǎn)到直線的距離公式,得|4即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|,即4x-3y-13=±(3x+4y-16),整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0.易知x-7y+3=0是角A的外角平分線的方程,7x+y-29=0是角A的平分線的方程.9.如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,邊AB所在直線方程為2x-y-2=0,點(diǎn)C(2,0),|BC|=1,B為第一象限上的點(diǎn).(1)求點(diǎn)B坐標(biāo);(2)求AB邊上的高CE所在直線的方程;(3)求直線AB與直線CD之間的距離.解(1)設(shè)B(a,2a-2),∵C(2,0),|BC|=1,∴(a-2)2+(2a∵B為第一象限上的點(diǎn),∴2a-2>0,即a>1.∴a=75,則B7(2)∵邊AB所在直線方程為2x-y-2=0,∴kCE=-1kAB=-又∵CE經(jīng)過點(diǎn)C(2,0),∴AB邊上的高CE所在直線的方程為y=-12x+1,即x+2y-2=0(3)∵AB∥CD,∴kCD=kAB=2.∵點(diǎn)C(2,0),∴直線CD的方程為y=2(x-2),即2x-y-4=0.又AB所在直線方程為2x-y-2=0,則直線AB與直線CD之間的距離d=|-4素養(yǎng)培優(yōu)練1.(多選)S=直線lsinθmx+cosθny=1,m,n為正常數(shù),θ∈[0,2π),下列結(jié)論中錯誤的是(A.當(dāng)θ=π4時,S中直線的斜率為B.S中全部直線均經(jīng)過同一個定點(diǎn)C.當(dāng)m≥n時,S中的兩條平行直線之間的距離的最小值為2nD.S中的全部直線可覆蓋整個直角坐標(biāo)平面解析當(dāng)θ=π4時,sinθ=cosθ,S中直線的斜率為-nm,故A依據(jù)sinθmx+cosθny=1,可知S中全部直線不行當(dāng)m≥n時,S中的兩條平行直線間的距離為d=2sin2θm2+cos2(0,0)不滿意方程,∴S中的全部直線不行覆蓋整個平面,D不正確.答案ABD2.已知P為等腰△ABC的底邊BC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),PM⊥AB于點(diǎn)M,PN⊥AC于點(diǎn)N,證明:|PM|+|PN|為定值.證明以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示