【教無憂】2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）4．2．2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（九大題型）

4．2．2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：等差數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算 4題型二：等差數(shù)列前項(xiàng)和的比值問題 6題型三：等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì) 9題型四：等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題 11題型五：求數(shù)列的前項(xiàng)和 15題型六：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用 19題型七：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和判斷等差數(shù)列 21題型八：等差數(shù)列片段和的性質(zhì) 25題型九：等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和 26

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式公式一：證明：倒序相加法①②①+②：因?yàn)樗杂纱说茫汗蕉鹤C明：將代入可得：知識(shí)點(diǎn)詮釋：①倒序相加是數(shù)列求和的重要方法之一．②上面兩個(gè)公式均為等差數(shù)列的求和公式，共涉及、、、、五個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過解方程組，便可求出其余兩個(gè)量．知識(shí)點(diǎn)二、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)等差數(shù)列中，公差為，則①連續(xù)項(xiàng)的和依然成等差數(shù)列，即，，，…成等差數(shù)列，且公差為．=2\*GB3②若項(xiàng)數(shù)為，則，，③若項(xiàng)數(shù)為，則，，，，知識(shí)點(diǎn)三、等差數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）等差數(shù)列中，，令，則：（，是常數(shù)且為公差）（1）當(dāng)時(shí)，為常數(shù)函數(shù)，為常數(shù)列；它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，是的一次函數(shù)；它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)單調(diào)增，為遞增數(shù)列；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)單調(diào)減，為遞減數(shù)列．等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是關(guān)于的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)（或一次函數(shù)）由，令，，則：（，是常數(shù)）（1）當(dāng)即時(shí)，，是關(guān)于的一個(gè)一次函數(shù)；它的圖象是在直線上的一群孤立的點(diǎn)．（2）當(dāng)即時(shí)，是關(guān)于的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)；它的圖象是在拋物線上的一群孤立的點(diǎn)．=1\*GB3①當(dāng)時(shí)有最小值=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，有最大值知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、公差不為0的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)．2、（，是常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．3、公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是關(guān)于n的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)．4、（其中，為常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．【方法技巧與總結(jié)】1、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值（1）在等差數(shù)列中，當(dāng)，時(shí)，有最大值，使取得最值的可由不等式組確定；當(dāng)，時(shí)，有最少值，使取到最值的可由不等式組確定．（2），若，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)時(shí)，有最少值；當(dāng)時(shí)，有最大值．當(dāng)取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，取到最值．【典型例題】題型一：等差數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算【典例1-1】（2024·高三·福建龍巖·期中）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則的值為（

）A．64 B．14 C．10 D．3【答案】C【解析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可知：，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)“當(dāng)時(shí)，”可知：，所以.故選：C.【典例1-2】（2024·高二·浙江寧波·期中）在等差數(shù)列中，已知，，則等于（

）A．11 B．13 C．15 D．16【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，解得，則.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列中的基本計(jì)算（1）利用基本量求值：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式中有五個(gè)量和，這五個(gè)量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程組，解出和，便可解決問題．解題時(shí)注意整體代換的思想．（2）結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若，則，常與求和公式結(jié)合使用．【變式1-1】（2024·高二·江蘇蘇州·期中）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)為定值時(shí)，也是定值，則k的值為（

）A．11 B．13 C．15 D．不能確定【答案】B【解析】因?yàn)?，?dāng)為定值時(shí)，即為定值，即為定值，，所以，解得故選：B.【變式1-2】（2024·高二·河南安陽·期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其中，則（

）A．4050 B．4048 C．2025 D．2024【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，所以.故選：C.【變式1-3】（2024·高二·天津·期末）在等差數(shù)列中，已知，則的前17項(xiàng)和為（

）A．166 B．172 C．168 D．170【答案】D【解析】方法1：∵為等差數(shù)列，∴，∴，∴的前17項(xiàng)和為.方法2：∵為等差數(shù)列，設(shè)公差為，∴，解得，∴.故選：D.【變式1-4】（2024·高二·天津·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則①，②，聯(lián)立①②可得，，因此，.故選：C.題型二：等差數(shù)列前項(xiàng)和的比值問題【典例2-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，若，則．【答案】【解析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則由，可得，即．又，所以，所以．故答案為：.【典例2-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列和都為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為和，且滿足，則；．【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t設(shè)，所以；．故答案為：；.【方法技巧與總結(jié)】設(shè)，的前項(xiàng)和為，，則．【變式2-1】（2024·高二·天津東麗·階段練習(xí)）等差數(shù)列{}與{}的前項(xiàng)和分別為、，且則【答案】【解析】等差數(shù)列{}與{}的前項(xiàng)和分別為，則.故答案為：.【變式2-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則，故對(duì)任意的，，因此，數(shù)列為等差數(shù)列，且其公差為，所以，，可得，所以，，故.故答案為：.【變式2-3】（2024·高二·貴州貴陽·階段練習(xí)）等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，則；若的值為正整數(shù)，則．【答案】或.【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，因?yàn)椋?；因?yàn)椋?要使的值為正整數(shù)，所以為的約數(shù)，所以或或，因?yàn)椋曰?故答案為：；或.【變式2-4】（2024·高二·四川達(dá)州·階段練習(xí)）設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則．【答案】【解析】等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，所以.故選：【變式2-5】（2024·高二·遼寧·期末）等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則.【答案】【解析】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，故，故為常?shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，則故答案為：題型三：等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)【典例3-1】（2024·高二·河南周口·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A．60 B．45 C．30 D．15【答案】B【解析】因?yàn)?，所以．故選：B．【典例3-2】（2024·高三·吉林四平·階段練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（

）A．34 B．35 C．36 D．37【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，且，所以，即.又，所以公差，所以.故選：D．【方法技巧與總結(jié)】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)簡化計(jì)算（1）在解決等差數(shù)列問題時(shí)，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有時(shí)運(yùn)算量大些；（2）等差數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)在解題過程中，如果運(yùn)用得當(dāng)可以達(dá)到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果．（3）設(shè)而不求，整體代換也是很好的解題方法．【變式3-1】（2024·陜西渭南·一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則（

）A．12 B．6 C．4 D．3【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，所以.故選：B.【變式3-2】（2024·高二·廣西河池·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．38 B．50 C．36 D．45【答案】D【解析】．故選：D【變式3-3】（2024·高二·寧夏銀川·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為若是方程的兩根，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得，，所以，即．故選：A．【變式3-4】（2024·高二·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＋a7＝6，S11＝11，則公差d的值為（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】D【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}，，,故，故，故故選：D【變式3-5】（2024·海南海口·二模）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】因?yàn)?，又，所以，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.題型四：等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題【典例4-1】（2024·高三·江蘇南通·開學(xué)考試）在等差數(shù)列中，若，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．的最大值為 D．滿足的的最大值為【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：；對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)或時(shí)，，C正確；對(duì)于D，由得：，又，滿足的的最大值為，D錯(cuò)誤.故選：D.【典例4-2】（2024·高二·上海·階段練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若有最小值，則最小值為．【答案】【解析】取得最小值，則公差，或，（1）當(dāng)，，所以的最小值為.（2）當(dāng)，不合題意.綜上所述：的最小值為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）等差數(shù)列前項(xiàng)和最大（小）值的情形①若，，則存在最大值，即所有非負(fù)項(xiàng)之和．②若，，則存在最小值，即所有非正項(xiàng)之和．（2）求等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的方法①尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用或來尋找．②運(yùn)用二次函數(shù)求最值．【變式4-1】（2024·高二·北京·期中）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值是．【答案】4【解析】是等差數(shù)列，且，，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為的等差數(shù)列，，時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值4．故答案為：4【變式4-2】（2024·高三·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）等差數(shù)列中，設(shè)為其前項(xiàng)和，且，，則當(dāng)時(shí)，最小.【答案】7【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，不妨設(shè)其公差為d，易知，則，即是關(guān)于n的二次函數(shù)，又，所以關(guān)于對(duì)稱，由二次函數(shù)性質(zhì)知時(shí)，最小.故答案為：7【變式4-3】（2024·高二·北京懷柔·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則；前項(xiàng)和的最大值為．【答案】16【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，，當(dāng)時(shí)，的最大值為,故答案為：，16.【變式4-4】（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為．【答案】7【解析】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，解得，所以，則，這是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向上，在處取得最小值，由于，最靠近的正整數(shù)為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：7.【變式4-5】（2024·高三·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)是.【答案】4035【解析】是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，公差，,而，則使前項(xiàng)和成立的最大整數(shù)是4035故答案為：4035.【變式4-6】（2024·高二·廣東廣州·階段練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，則，所以，若，則，故，，，A對(duì)；若，則，故，，，B錯(cuò)；綜上，，C對(duì)；，當(dāng)，，此時(shí)，當(dāng)，，此時(shí)，所以，D對(duì).故選：B【變式4-7】（2024·四川自貢·三模）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，若，，則下列四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為（

）①為的最小值

②

③，

④為的最小值A(chǔ)．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】等差數(shù)列中，，則，故②正確；又，所以，故，則，故③正確；于是可得等差數(shù)列滿足，其為遞增數(shù)列，則，又，所以為的最小值，故①正確，④不正確；則四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為.故選：C.題型五：求數(shù)列的前項(xiàng)和【典例5-1】（2024·高二·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，可得,令，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，且?shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上可得，數(shù)列的前項(xiàng)和.【典例5-2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∵，∴，∵，∴

?，∴公差為，∴，∴；（2）由已知，時(shí)，；時(shí)，；綜上.【方法技巧與總結(jié)】已知等差數(shù)列，求絕對(duì)值數(shù)列的有關(guān)問題是一種常見的題型，解決此類問題的核心便是去掉絕對(duì)值，此時(shí)應(yīng)從其通項(xiàng)公式入手，分析哪些項(xiàng)是正的，哪些項(xiàng)是負(fù)的，即找出正、負(fù)項(xiàng)的“分界點(diǎn)”．【變式5-1】（2024·高二·甘肅定西·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，與的等差中項(xiàng)為，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意可知，，，所以，解得：，，所以；（2）由（1）可知，，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，所以.【變式5-2】（2024·高二·江蘇鎮(zhèn)江·期中）等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，且，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求取到最小值時(shí)的值；(2)求數(shù)列的前16項(xiàng)的和．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題可得：，即，解得，，所以；由，可得，解得，因?yàn)?，所以時(shí)，取得最小值時(shí)，；（2）由（1）可知，均為負(fù)數(shù)，且從開始，后面每一項(xiàng)均為正數(shù)，故；故數(shù)列的前16項(xiàng)的和.【變式5-3】（2024·高二·福建寧德·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值；(3)設(shè)，求．【解析】（1）由題意知在等差數(shù)列中，，設(shè)公差為，則，解得，則，故，∴通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可得前項(xiàng)和，∴當(dāng)時(shí)，取最大值；（3）∵，∴當(dāng)時(shí)，得，即時(shí)有，時(shí)有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述.【變式5-4】（2024·高二·河北邯鄲·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，再從條件：①，②，③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前10項(xiàng)的和．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，若選擇①②，由①，②，則等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，；若選擇①③，由①，③，則，公差，所以等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，；若選擇②③，由②，③，得，所以等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，；（2）令，得，則前2項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第3項(xiàng)起為正數(shù)，.【變式5-5】（2024·高二·江蘇鹽城·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求取最大值時(shí)的值；(3)設(shè)，求．【解析】（1）由題意知在等差數(shù)列中，，設(shè)公差為d，則，則，故，故通項(xiàng)公式．（2）結(jié)合（1）可得，當(dāng)時(shí)，取最大值．（3），由，得，即時(shí)有，時(shí)有，若，，若時(shí)，，綜合上述．題型六：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用【典例6-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）某校準(zhǔn)備以詩歌朗誦的形式慶祝即將到來的五四青年節(jié)，現(xiàn)將篩選出的100名學(xué)生排列成“等腰梯形”人墻，最上面一層16人，從最上面一層開始，每一層人數(shù)比上一層少1人，則該“等腰梯形”人墻最下面一層的人數(shù)為．【答案】9【解析】記最上面一層人數(shù)為，一共層，從上到下各層的人數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，則，整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（舍），故最下面一層的人數(shù)為9．故答案為：9【典例6-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）某人在銀行貸款萬元，貸款時(shí)間為年，若個(gè)人貸款月利率為，按照等額本金方式（利息部分（貸款總額已歸還本金累計(jì)額）月利率）進(jìn)行還款，則第一年支付給銀行的利息共萬元．【答案】2.616【解析】由題可得，從第一月開始，每月應(yīng)還本金為萬元，每月應(yīng)還的利息依次為，即滿足首項(xiàng)為0.24，公差為的等差數(shù)列，則，故第一年支付給銀行的利息共2.616萬元．故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（1）與等差數(shù)列前項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．（2）遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)的問題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體觀．【變式6-1】（2024·四川遂寧·一模）《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問題：今有女子善織，日增等尺，四日織24尺，且第七日所織尺數(shù)為前兩日所織尺數(shù)之積.則第十日所織尺數(shù)為？譯為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，前4天織了24尺布，且第7天所織布尺數(shù)為第1天和第2天所織布尺數(shù)的積.問第10天織布尺數(shù)為.【答案】21【解析】由題，每天織布尺數(shù)為等差數(shù)列，設(shè)為，公差為，則，因?yàn)椋?，所以，解得?故答案為：21.【變式6-2】（2024·北京延慶·一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石)塊，則上層有扇形石板塊．【答案】【解析】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，則是等差數(shù)列，且公差，，設(shè)每層有環(huán)，則，，所以，即，即，解得或（舍去），所以，則，即上層有扇形石板塊.故答案為：．【變式6-3】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個(gè)座位.若第10排有41個(gè)座位，則該報(bào)告廳座位的總數(shù)是.【答案】840【解析】設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列，其前項(xiàng)和為．根據(jù)題意，數(shù)列是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，且，故．由，因此，則該報(bào)告廳總座位數(shù)為840個(gè)座位．故答案為：840【變式6-4】（2024·高二·甘肅酒泉·期末）《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為.（注：一丈=十尺，一尺=十寸）【答案】二尺五寸（或2.5尺）【解析】由題意知：從冬至日起，依次小寒、大寒等十二個(gè)節(jié)氣日影長構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)槎痢⒘⒋?、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，所以，解得，，所以芒種日影長為（寸），即二尺五寸.故答案為：二尺五寸（或2.5尺）題型七：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和判斷等差數(shù)列【典例7-1】（2024·高三·安徽·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)，且），則“是等差數(shù)列”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以，若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)也滿足，所以，于是有是等差數(shù)列，所以“是等差數(shù)列”是“”的充要條件．故選：A【典例7-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴數(shù)列{an}∵，∴，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】（其中，為常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．【變式7-1】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和是的二次函數(shù)，且.(1)求；(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，可得，解得，所?（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，又由，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列.【變式7-2】（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足為的前項(xiàng)和，則“是等差數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)公差為，由，因此，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋詾榈炔顢?shù)列；當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，設(shè)公差為，則有，所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，，或，因?yàn)樵摂?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以舍去，因此，顯然當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列，因此“是等差數(shù)列”是“為等差數(shù)列”的充要條件，故選：C【變式7-3】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)當(dāng)時(shí)，求證：該數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求滿足條件．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，令，，所以時(shí)，，所以，此時(shí)，所以，所以，可得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（2），令，得，所以時(shí)，，所以，所以，可得時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以．【變式7-4】（2024·高三·浙江杭州·期末）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，滿足（，，，，，，c為常數(shù)）.(1)若，，求的通項(xiàng)公式；(2)若，證明為等差數(shù)列.【解析】（1）由，得，，兩式相減得，整理得.因?yàn)椋?，即?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，由，解得，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由條件知，，成等差數(shù)列，設(shè)它們的公差為d，由，得，所以，①，②，③②①得，即，④③②得，即，⑤⑤④得，由于顯然不合題意，所以，代入④解得，所以，，上述兩式相減得，因?yàn)?，∴，所以?dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.題型八：等差數(shù)列片段和的性質(zhì)【典例8-1】（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C．9 D．18【答案】B【解析】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)可知，、、成等差數(shù)列，所以，，則，故選：B.【典例8-2】（2024·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．44 B．56 C．68 D．84【答案】D【解析】由題意可得，，成等差數(shù)列，所以，因?yàn)?，，則，解得.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】連續(xù)項(xiàng)的和依然成等差數(shù)列，即，，，…成等差數(shù)列，且公差為．【變式8-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若等差數(shù)列的前m項(xiàng)的和為20，前3m項(xiàng)的和為90，則它的前2m項(xiàng)的和為（

）A．30 B．70 C．50 D．60【答案】C【解析】∵在等差數(shù)列中，，，也成等差數(shù)列，∴，∴，∴．故選:C.【變式8-2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為30，前項(xiàng)和為90，則它的前項(xiàng)和為（

）A．130 B．150 C．180 D．210【答案】C【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和中，也成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，．故選：C．【變式8-3】（2024·高二·甘肅慶陽·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．16 B．18 C．24 D．26【答案】B【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以也是