【教無憂】2024-2025學年高二數學同步講義（人教A版2019）4．3．1 等比數列的概念（八大題型）

4．3．1等比數列的概念目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 5題型一：等比數列的判斷 5題型二：等比數列的通項公式及其應用 9題型三：等比數列的證明 11題型四：等比中項及應用 14題型五：等比數列的實際應用 16題型六：等比數列通項公式的推廣及應用 19題型七：等比數列性質的應用 22題型八：靈活設元求解等比數列問題 24

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一、等比數列的定義一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母表示（），即：．知識點詮釋：①由于等比數列每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q可不能是0；②“從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數”，這里的項具有任意性和有序性，常數是同一個；③隱含條件：任一項且；“”是數列成等比數列的必要非充分條件；④常數列都是等差數列，但不一定是等比數列．不為0的常數列是公比為1的等比數列；⑤證明一個數列為等比數列，其依據．利用這種形式來判定，就便于操作了．知識點二、等比中項如果三個數、、成等比數列，那么稱數為與的等比中項．其中．知識點詮釋：①只有當與同號即時，與才有等比中項，且與有兩個互為相反數的等比中項．當與異號或有一個為零即時，與沒有等比中項．②任意兩個實數與都有等差中項，且當與確定時，等差中項唯一．但任意兩個實數與不一定有等比中項，且當與有等比中項時，等比中項不唯一．③當時，、、成等比數列．④是、、成等比數列的必要不充分條件．知識點三、等比數列的通項公式等比數列的通項公式首相為，公比為的等比數列的通項公式為：推導過程：（1）歸納法：根據等比數列的定義可得：∴；；；……當n=1時，上式也成立∴歸納得出：（2）疊乘法：根據等比數列的定義可得：，，，……，把以上個等式的左邊與右邊分別相乘（疊乘），并化簡得：，即又a1也符合上式∴．（3）迭代法：∴．知識點詮釋：①通項公式由首項和公比完全確定，一旦一個等比數列的首項和公比確定，該等比數列就唯一確定了．②通項公式中共涉及、、、四個量，已知其中任意三個量，通過解方程，便可求出第四個量．等比數列的通項公式的推廣已知等比數列中，第項為，公比為，則：證明：∵，∴∴由上可知，等比數列的通項公式可以用數列中的任一項與公比來表示，通項公式可以看成是時的特殊情況．知識點四、等比數列的性質設等比數列的公比為①若，且，則，特別地，當時．②下標成等差數列且公差為的項，，，…組成的新數列仍為等比數列，公比為．③若，是項數相同的等比數列，則、、（是常數且）、、（，是常數）、、也是等比數列；④連續(xù)項和（不為零）仍是等比數列．即，，，…成等比數列．知識點五、等比數列中的函數關系等比數列中，，若設，則：（1）當時，，等比數列是非零常數列．它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點．（2）當時，等比數列的通項公式是關于的指數型函數；它的圖象是分布在曲線（）上的一些孤立的點．①當且時，等比數列是遞增數列；②當且時，等比數列是遞減數列；③當且時，等比數列是遞減數列；④當且時，等比數列是遞增數列．（3）當時，等比數列是擺動數列．知識點詮釋：常數列不一定是等比數列，只有非零常數列才是公比為1的等比數列．【方法技巧與總結】等比數列常用的兩種解題方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步驟：運用方程思想列出基本量和的方程組，然后利用通項公式求解；（2）優(yōu)缺點：適應面廣，入手簡單，思路清晰，但有時運算稍繁．2、性質法（利用等比數列的性質解題）（1）基本思想：充分發(fā)揮項的“下標”的指導作用，分析等比數列項與項之間的關系，選擇恰當的性質解題；（2）優(yōu)缺點：簡單快捷，但是適應面窄，有一定的思維含量．【典型例題】題型一：等比數列的判斷【典例1-1】（2024·高二·全國·專題練習）數列是各項均為實數的等比數列，則“”是“數列為遞增數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設數列的公比為q（），，，可得，于是數列為遞增數列；反之不成立，例如數列是遞增數列，但．“”是“數列為遞增數列”的充分不必要條件．故選：A．【典例1-2】（2024·高二·河南·階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則“”是“a，b，c成等比數列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為a，b，c是的三邊，所以a，b，c均不為0，則由，可得，所以a，b，c成等比數列，反之，當a，b，c成等比數列，可得，所以“”是“a，b，c成等比數列”的充要條件．故選：C.【方法技巧與總結】一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母表示（），即：．【變式1-1】（2024·高二·湖北·期中）“數列{}是等比數列”是“數列是等比數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若是等比數列，設的公比為q，則，則數列是公比為的等比數列.假設數列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，則數列是等比數列，但是數列不是等比數列.故數列“是等比數列”是“數列是等比數列”的充分不必要條件.故選：A.【變式1-2】（2024·高二·福建·期中）已知數列各項都是正數的數列，下列說法正確的是（

）A．若是等差數列，則是等差數列B．若是等比數列，則是等比數列C．若是等差數列，則是等比數列D．若是等比數列，則是等差數列【答案】C【解析】對于AC選項，若數列為等差數列，設其公差為，則為正常數，所以，數列是等比數列，但不是常數，故數列不是等差數列，A錯C對；對于BD選項，若數列為等比數列，設其公比為，則不是常數，故數列不是等比數列，不是常數，故數列不是等差數列，BD都錯.故選：C.【變式1-3】（2024·江蘇揚州·模擬預測）設是公比不為1的無窮等比數列，則“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若為遞增數列，當，且時，有，此時為遞增數列，當對任意,，故“為遞增數列”不是“存在正整數，當時，”的充分條件；若存在正整數，當時，，此時，，故，，假設存在，使得，則有，則，又且，故，則當時，，與條件矛盾，故不存在，使，即在上恒成立，即，又，，故，即對任意的，，即為遞增數列，故“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的必要條件；綜上所述，“為遞增數列”是“存在正整數，當時，”的必要不充分條件.故選：B.【變式1-4】（2024·高二·湖北·階段練習）記數列的前項和是，前項積是．①若是等差數列，則是等差數列；②若和都是等差數列，則是等差數列；③若是等比數列，則是等比數列；④若是等比數列，則是等比數列．其中真命題的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】對于①，若是等差數列，則，故，其中為常數,故，整理得到：，故，此時，故是等差數列，故①正確.對于②，因為為等差數列，則，其中常數為公差，則即，因為為等差數列，故，故，此時，故是等差數列，故②正確.對于③，設等比數列的通項為，則，此時不是等比數列，故③錯誤.對于④，設等比數列的通項為，則，此時，此時，故不為常數，故不是等比數列，故選：B.題型二：等比數列的通項公式及其應用【典例2-1】（2024·高二·江蘇蘇州·期中）已知等比數列滿足，則.【答案】【解析】設公比為.因為，故，解得或者，若，則且，此時，若，則且，此時，故答案為：.【典例2-2】（2024·高二·上?！て谥校┮阎獢盗袨榈缺葦盗?，、，則【答案】【解析】因為數列為等比數列，、，所以，所以，又，所以，即，所以.故答案為：-2【方法技巧與總結】等比數列的通項公式涉及4個量，，，，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，在這四個量中，和是等比數列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解．【變式2-1】（2024·福建·模擬預測）已知是單調遞增的等比數列，，則公比q的值是．【答案】2【解析】由等比數列性質知，聯立，解得或，因為是單調遞增的等比數列，所以，即．故答案為：2【變式2-2】（2024·高二·西藏林芝·期中）在等比數列中.(1)若它的前三項分別為，，，求；(2)若，，，求；(3)已知，，求；【解析】（1）在等比數列中，，而，所以.（2）依題意，，則，所以.（3）依題意，.【變式2-3】（2024·高二·全國·專題練習）已知數列為等比數列，若，，求數列的通項公式.【解析】將代入，得，解得．設數列的公比為q（），則的前三項依次為，2，2q，則有，整理得，解得或．所以或，所以或．【變式2-4】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知數列為正項等比數列，為等差數列，若，，則．【答案】8【解析】由題得，即，，又，即，則，所以．故答案為：8.【變式2-5】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在正項等比數列中，，則．【答案】486【解析】由得．因為，所以，所以，即，所以，所以，故．故答案為：486.【變式2-6】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在等比數列中，，且，則公比．【答案】2【解析】依題意得，兩式相除得，所以，即.利用試根法分解因式得，解得．故答案為：2.題型三：等比數列的證明【典例3-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知數列，，證明數列是等比數列，并求出數列的通項公式．【解析】因為所以.由，知，從而.所以.所以是以為首項，2為公比的等比數列．所以，即.【典例3-2】（2024·高二·江西南昌·階段練習）已知數列滿足.(1)證明：數列是等比數列，并指出其首項及公比；(2)求數列的通項公式．【解析】（1），，，，數列是以為首項，為公比的等比數列；（2）由（1）得，當時，，當時，也滿足上式，故【方法技巧與總結】1、定義法：（常數）為等比數列；2、中項法：（）為等比數列；3、通項公式法：（，為常數）為等比數列．4、構造法：在條件中出現關系時，往往構造數列，方法是把與對照，求出即可．【變式3-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在數列中，為其前項和，且滿足．判斷數列是否為等比數列，并說明理由．【解析】因為，所以當時，，當時，，整理可得，因為，又.所以數列是以為首項，以為公比的等比數列．【變式3-2】（2024·高二·江蘇蘇州·期中）已知數列滿足且.(1)求；(2)證明數列是等比數列，并求.【解析】（1）當時，，當時，，（2）∵，∴得到，∴，又滿足上式，∴，則代入①得：，則∴，且，∴數列是以1為首項，3為公比的等比數列，∴，∴【變式3-3】（2024·高二·全國·專題練習）已知數列中，，，滿足.求證：數列為等比數列，并求數列的通項公式.【解析】∵，∴，∴，即．∵，∴．∵，∴，∴，∴數列為等比數列，首項為2，公比為2，∴．∵，∴．【變式3-4】（2024·高二·全國·專題練習）在數列中，，且.(1)證明：數列是等比數列；(2)求數列的通項公式.【解析】（1）由于，所以．又，所以．所以數列是以2為首項，3為公比的等比數列．（2）由（1）知，所以．【變式3-5】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若數列滿足，且．證明：數列為等比數列．【解析】因為，所以，則，因為，所以，所以，又，所以數列為等比數列．題型四：等比中項及應用【典例4-1】（2024·高二·甘肅蘭州·期中）在等比數列中，各項均為正數，且，，則與的等比中項是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解析】等比數列中，各項均為正數，，則，所以與的等比中項為.故選：B.【典例4-2】（2024·高二·北京大興·期末）若數列是等比數列，則實數的值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為數列是等比數列，所以，解得或，當時，不滿足，故舍去；當時，經檢驗符合題意，所以.故選：B【方法技巧與總結】（1）由等比中項的定義可知，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項．（2）在一個等比數列中，從第二項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項和后一項的等比中項．（3）a，G，b成等比數列等價于．【變式4-1】（2024·高二·山東淄博·期中）等比數列中，，，則與的等比中項為（

）A．12 B． C． D．30【答案】C【解析】記與的等比中項為G，則，所以.故選：C【變式4-2】（2024·四川巴中·一模）已知，，若a，b，c三個數成等比數列，則（

）A．5 B．1 C． D．或1【答案】D【解析】由題意知，，a，b，c三個數成等比數列，則，故，故選：D【變式4-3】（2024·高二·江蘇無錫·期末）等比數列中，，則與的等比中項為（

）A．24 B． C． D．【答案】C【解析】與的等比中項，即48與12的等比中項，則與的等比中項為．故選：C．【變式4-4】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知數列是公差為2的等差數列，若成等比數列，則（

）A．9 B．12 C．18 D．27【答案】D【解析】由成等比數列，得，所以，解得，所以.故選：D【變式4-5】（2024·高二·湖北十堰·期末）若是函數的兩個不同的零點，且這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】D【解析】由題可知，，則，這三個數可適當排序后成等比數列，則3必是等比中項，則，這三個數可適當排序后成等差數列，則3必不是等差中項，若是等差中項，則，又，解得，則，故，若是等差中項，則，又，解得，則．故．故選：D.題型五：等比數列的實際應用【典例5-1】（2024·高二·全國·單元測試）從2017年起，某人每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動轉為新的一年的定期，到2021年的5月1日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢（元）的總數為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設自2018年起每年到5月1日存款本息合計為，，，.則，，，.故選：D【典例5-2】（2024·高二·福建漳州·期中）已知一小球從地面豎直向上射出到10m高度后落下，每次著地后又彈回到前一次高度的處，則該小球第6次落地時，經過的路程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設小球第一次落地時經過的路程為，第次落地到第次落地經過的路程為，由題意，，數列從第二項起構成以首項為，公比為的等比數列，則第6次著地后經過的路程為（），故選：D【方法技巧與總結】等比數列實際應用問題的關鍵是：建立數學模型即將實際問題轉化成等比數列的問題，解數學模型即解等比數列問題．【變式5-1】（2024·高二·全國·專題練習）我國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關．”其大意是：有一個人要去某關口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天到達該關口．則此人第二天走的路程為（

）A．80里 B．86里 C．90里 D．96里【答案】D【解析】由題意可知此人每天走的路程構成公比為的等比數列，由題意和等比數列的求和公式可得，解得，∴此人第二天走的路程為（里）．故選：D【變式5-2】（2024·高二·遼寧沈陽·期中）某牧場今年年初牛的存欄數為1200頭，預計以后每年存欄數的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛.若該牧場從今年起每年年初的計劃存欄數構成數列，，則大約為（參考數據：（

）A．1420 B．1480 C．1520 D．1580【答案】B【解析】依題意，當時，，則，于是數列是首項為，公比為1.1的等比數列，則，即，所以.故選：B【變式5-3】（2024·山東·一模）如圖所示，在等腰直角三角形中，斜邊，過點作邊的垂線，垂足為，過點作邊的垂線，垂足為，過點作邊的垂線，垂足為，…，依此類推．設，，，…，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，數列的相鄰兩項分別為同一個等腰直角三角形的底邊和腰，即，因此數列是首項，公比的等比數列，，所以.故選：B【變式5-4】（2024·高二·福建·期中）一個彈力球從1m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的處，那么在第n次著地后，它經過的總路程超過5m，則n的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】設小球第一次落地時經過的路程為，第次落地到第次落地經過的路程為，由題意，，數列從第二項起構成以首項為，公比為的等比數列，則第n次著地后經過的路程為，即，結合選項，檢驗時，，時，成立，故選：A【變式5-5】（2024·高二·廣西柳州·階段練習）中國古代數學名著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬、“馬主曰：“我馬食半牛，”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟、羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例償還，他們各應償還多少？該問題中，1斗為10升，則馬主人應償還（

）升粟.A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，羊、馬、牛主人應償還量構成公比為2的等比數列，設馬主人應償還升粟，則，解得，所以馬主人應償還升粟.故選：C題型六：等比數列通項公式的推廣及應用【典例6-1】（2024·全國·高二課時練習）在等比數列中，公比，若，則______．【答案】【解析】等比數列中，公比，所以．故答案為：．【典例6-2】（2024·全國·高二單元測試）已知數列滿足，，則______．【答案】【解析】因為，且，所以令，則，即數列是首項為，公比為的等比數列，所以，故．故答案為：．【方法技巧與總結】（1）應用，可以憑借任意已知項和公比直接寫出通項公式，不必再求．（2）等比數列的單調性由，共同確定，但只要單調，必有．【變式6-1】（2024·廣西·平桂高中高二階段練習）數列是等比數列，且，，則___________．【答案】16【解析】設的公比為q，則，∴，∴﹒故答案為：16．【變式6-2】（2024·全國·高二課時練習）已知數列滿足，且，則______．【答案】47【解析】∵，∴數列是公比的等比數列，∴，∴．故答案為：47【變式6-3】（2024·江蘇·高二專題練習）在等比數列中，存在正整數m，有，，則＝________．【答案】1536【解析】由題意知q5＝＝8，則．故答案為：1536【變式6-4】（2024·浙江杭州·模擬預測）已知等差數列公差不為0，正項等比數列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設等差數列{an}公差為，正項等比數列{b因為，所以，即，所以，又，所以，由得，，，所以時，，時，．，，由，，即，（*），令，，（*）式為，其中，且，由已知和是方程的兩個解，記，且，是一次函數，是指數函數，由一次函數和指數函數性質知當它們同增或同減時，圖象才能有兩個交點，即方程才可能有兩解（題中時，，時，，滿足同增減）．如圖，作出和的圖象，它們在和時相交，無論還是，由圖象可得，，，時，，時，，因此，，，，即，故選：B題型七：等比數列性質的應用【典例7-1】（2024·高三·廣東江門·階段練習）設等比數列滿足，則.【答案】【解析】因為等比數列滿足，所以，又，解得，故，，所以.故答案為：【典例7-2】（2024·江西上饒·一模）已知數列、均為正項等比數列，、分別為數列、的前項積，且，則的值為.【答案】【解析】推導出數列、為等差數列，由此可得出，即可得解.設等比數列的公比為，則（常數），所以，數列為等差數列，同理可知，數列也為等差數列，因為，同理可得，因此，.故答案為：.【方法技巧與總結】利用等比數列的性質解題（1）基本思路：充分發(fā)揮項的“下標”的指導作用，分析等比數列項與項之間的關系，選擇恰當的性質解題．（2）優(yōu)缺點：簡便快捷，但是適用面窄，有一定的思維含量．【變式7-1】（2024·高二·遼寧大連·期中）已知數列成等差數列，成等比數列，則的值為.【答案】/0.5【解析】由題意得，因為成等比數列，設公比為，則且，解得，故.故答案為：【變式7-2】（2024·高二·浙江寧波·開學考試）（1）在等差數列中，，則的值；（2）在等比數列中，，則．【答案】15；12.【解析】（1）∵，∴根據等差數列的性質可得，∴；（2）∵數列為等比數列，∴，，也成等比數列，∴，故答案為：15；12.【變式7-3】（2024·高二·廣西南寧·階段練習）已知正項數列{}是公比不等于1的等比數列，且若則.【答案】【解析】由等比數列性質可得；，又因為函數，所以，即，所以；令，則；所以，即.故答案為：.題型八：靈活設元求解等比數列問題【典例8-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知四個數成等比數列，其乘積為1，第2項與第3項之和為－，求這四個數．【解析】設四個數依次為a，aq，aq2，aq3，則，解得或，故所求四個數依次為或【典例8-2】（2024·高一·廣西北?！て谀┯?/p>