工程數(shù)學(xué)-概率論復(fù)習(xí)考試題庫(kù)(成教、自考)資料

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(經(jīng)管類(lèi))》復(fù)習(xí)題

一、單項(xiàng)選擇題：1．設(shè)A，B為兩隨機(jī)事件，且，則下列式子正確的是（）。A.B.C.D.2．設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為，隨機(jī)變量的可能取值為,如果,則隨機(jī)變量與（）。A.一定不相關(guān)B.一定獨(dú)立C.一定不獨(dú)立D.不一定獨(dú)立3．下列函數(shù)為正態(tài)分布密度的是（）。A.B.C.D.4．對(duì)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，如果，則可斷定不服從（）。A.二項(xiàng)分布B.指數(shù)分布C.泊松分布D.正態(tài)分布5．若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，則系數(shù)（）。A.B.C.D.6．事件A，B相互獨(dú)立，且（）。7．設(shè)隨機(jī)變量服從,其分布密度函數(shù)為,則（）。A.0B.1C.D.8．設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則（）。A.B.C.D.9．從裝有2只紅球，2只白球的袋中任取兩球，記：，則（）。A.取到2只紅球B.取到1只紅球C.沒(méi)有取到白球D.至少取到1只紅球10．設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則()。A.0B.C.1D.11．設(shè)對(duì)于隨機(jī)事件A、B、C,有,，，,,則三個(gè)事件A、B、C,至少發(fā)生一個(gè)的概率為（）。A.B.C.D.12．設(shè)隨機(jī)向量（X,Y）滿(mǎn)足E(XY)=EX·EY，則（）。、Y相互獨(dú)立、Y不獨(dú)立、Y相關(guān)、Y不相關(guān)13．已知隨機(jī)變量服從，且，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為（）。A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.114．設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為，則（）。A.;B.2;C.;D.15．設(shè)隨機(jī)變量與隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布,且，,則下列各式中成立的是（）。A.B.C.D.16．設(shè)A，B為隨機(jī)事件，則（）。A.AB.BC.ABD.17．設(shè)隨機(jī)變量X～N(1,1)，其概率密度函數(shù)為p(x)分布函數(shù)是F(x)，則正確的結(jié)論是（）。A.P{X≤0}=P{X≥0}B.C.F(-x)=F(x)D.p(x)=p(-x)18．設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，，，，則對(duì)于，有（）。A.B.C.D.19．設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(B)>0,P(A│B)=1則有（）。A.P(A∪B)>P(A)B.P(A∪B)>P(B)C.P(A∪B)=P(A)D.P(A∪B)=P(B)20．每張獎(jiǎng)券中尾獎(jiǎng)的概率為，某人購(gòu)買(mǎi)了20張?zhí)柎a雜亂的獎(jiǎng)券，設(shè)中尾獎(jiǎng)的張數(shù)為X，則X服從（）。A.二項(xiàng)分布B.泊松分布C.指數(shù)分布D.正態(tài)分布21．對(duì)擲一枚硬幣的試驗(yàn),“出現(xiàn)正面”稱(chēng)為（）。A.樣本空間B.必然事件C.不可能事件D.隨機(jī)事件22．設(shè)隨機(jī)變量，的期望與方差都存在,則下列各式中成立的是（）。A.B.C.D.23．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）。A.0B.1C.D.24．事件A，B相互獨(dú)立，且,,（）。25．進(jìn)行一系列獨(dú)立的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率為p，則在成功2次之前已經(jīng)失敗3次的概率為（）。A.B.C.D.26．下列函數(shù)為隨機(jī)變量密度的是（）。A.B.C.D.27.設(shè)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則E(2X－1)=（）。A.9B.6C.4D.28．對(duì)于隨機(jī)變量X,F(x)=P{X≤x}稱(chēng)為隨機(jī)變量X的（）。A.概率分布B.概率C.概率密度D.分布函數(shù)29．設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且都服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，則下列隨機(jī)變量中服從均勻分布的有（）。A.B.C.D.30．設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和，則下列結(jié)論正確的是（）。A.B.C.D.二、填空題：1．若事件A與B互斥，P(A)=0.6,P(A∪B)=0.8,則。2．隨機(jī)變量X服從區(qū)間[1，4]上的均勻分布，則P{0<X<3}=.3．設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為：則a=,b=。4．設(shè)服從正態(tài)分布，則D(-2X+1)=。5.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，則.6．設(shè)A，B，C是三個(gè)事件,則A，B，C中至多有2個(gè)事件發(fā)生可表示為。7．一批零件的次品率為0.2,連取三次,每次一件(有放回),則三次中恰有兩次取到次品的概率為。8．設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布,且P｛X=1｝=P｛X=2｝,則DX=。9．設(shè)隨機(jī)變量,都服從均勻分布，且與相互獨(dú)立,則隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度。10.設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為、方差，則由切比雪夫不等式有。11．設(shè)A，B，C是三個(gè)事件，則A不發(fā)生但B，C中至少有1個(gè)事件發(fā)生可表示為_(kāi)__________12．設(shè),,則________。13．設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且服從，服從，則隨機(jī)變量服從__________分布。14．設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且P（X=1）=P（X=2），E（3X-1）=__________。15.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為,()，則__________。三、計(jì)算題：1．設(shè)系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的部件組成,運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞的概率為0.1,至少有85個(gè)部件是完好時(shí)系統(tǒng)才能正常工作。用中心極限定理求系統(tǒng)正常工作的概率。()。2．設(shè)打一次電話(huà)所用時(shí)間（分鐘）服從參數(shù)為的指數(shù)分布，如果某人剛好在你前面走進(jìn)公用電話(huà)亭，求你等待時(shí)間在10分鐘到20分鐘之間的概率。3．已知隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布為（1）求的邊緣分布；（2）判斷與是否獨(dú)立；（3）求.4．已知袋中裝有5個(gè)球，其中2個(gè)白球，3個(gè)黑球?，F(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)隨機(jī)變量為取得的白球的個(gè)數(shù)。求：（1）隨機(jī)變量的分布；（2）數(shù)學(xué)期望，方差。5．抽樣表明某市新生兒體重（單位：公斤）近似地服從正態(tài)分布，求新生兒體重超過(guò)4公斤的概率。（）6.設(shè)隨機(jī)變量服從均勻分布,服從指數(shù)分布，且與相互獨(dú)立。求：（1）二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)；（2）.7．一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠燈信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅或綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等。以表示該汽車(chē)未遇紅燈而連續(xù)通過(guò)的路口數(shù)。求：（1）的概率分布；(2）。8．設(shè)的聯(lián)合密度為，（1）求邊緣密度和；（2）判斷與是否相互獨(dú)立。9.某市有50%住戶(hù)訂日?qǐng)?bào)，有65%住戶(hù)訂晚報(bào)，有85%住戶(hù)至少訂這兩種報(bào)紙中的一種，求同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶(hù)的概率。四、應(yīng)用題：1.設(shè)某產(chǎn)品的合格率為80%。檢驗(yàn)員在檢驗(yàn)時(shí)合格品被認(rèn)為合格的概率為97%，次品被認(rèn)為合格的概率為2%。（1）求任取一產(chǎn)品被檢驗(yàn)員檢驗(yàn)合格的概率；（2）若一產(chǎn)品通過(guò)了檢驗(yàn)，求該產(chǎn)品確為合格品的概率。2.對(duì)敵人陣地進(jìn)行100次炮擊，每次炮擊命中目標(biāo)的炮彈的數(shù)學(xué)期望是4，標(biāo)準(zhǔn)差是。求100次炮擊中有370至430顆炮彈命中目標(biāo)的概率。（）3.一箱產(chǎn)品共100件,其中次品個(gè)數(shù)從0到2是等可能的。開(kāi)箱檢驗(yàn)時(shí)，從中隨機(jī)抽取10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收。（1）求通過(guò)驗(yàn)收的概率；（2）若已知該箱產(chǎn)品已通過(guò)驗(yàn)收，求其中確實(shí)沒(méi)有次品的概率。五、證明題：1.設(shè)，，（，均大于0）。證明：。2.已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，證明：事件與也是相互獨(dú)立的。3.設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，證明隨機(jī)變量與任一常數(shù)的協(xié)方差是零。第二章矩陣及其運(yùn)算1.已知線(xiàn)性變換:求從變量x1x2x3到變量y1y2y3的線(xiàn)性變換.解由已知:故2.已知兩個(gè)線(xiàn)性變換求從z1z2z3到x1x2x3的線(xiàn)性變換.解由已知所以有3.設(shè),求3AB2A及ATB解4.計(jì)算下列乘積:(1);解(2);解(132231)(10)(3);解(4);解(5);解(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a5.設(shè),問(wèn):(1)ABBA嗎?解ABBA因?yàn)樗訟BBA(2)(AB)2A22ABB2解(AB)2A22ABB2因?yàn)榈?AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2嗎?解(AB)(AB)A2B2因?yàn)槎?AB)(AB)A2B26.舉反列說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的:(1)若A20則A0;解取則A20但A0(2)若A2A,則A0或AE;解取則A2A,但A0且AE(3)若AXAY,且A0,則XY.解取則AXAY,且A0,但XY.7.設(shè),求A2A3Ak解8.設(shè),求Ak.解首先觀(guān)察用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)k2時(shí),顯然成立.假設(shè)k時(shí)成立，則k1時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法原理知:9.設(shè)AB為n階矩陣，且A為對(duì)稱(chēng)矩陣，證明BTAB也是對(duì)稱(chēng)矩陣.證明因?yàn)锳TA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB從而B(niǎo)TAB是對(duì)稱(chēng)矩陣.10.設(shè)AB都是n階對(duì)稱(chēng)矩陣，證明AB是對(duì)稱(chēng)矩陣的充分必要條件是ABBA證明充分性:因?yàn)锳TABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是對(duì)稱(chēng)矩陣.必要性:因?yàn)锳TABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA11.求下列矩陣的逆矩陣:(1);解.|A|=1,故A-1存在.因?yàn)?故.(2);解.|A|=110,故A-1存在.因?yàn)?所以.(3);解.|A|=210,故A-1存在.因?yàn)?所以.(4)(a1a2×××an10).解,由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知.12.解下列矩陣方程:(1);解(2);解(3);解(4).解13.利用逆矩陣解下列線(xiàn)性方程組:(1)解方程組可表示為故從而有(2)解方程組可表示為故故有14.設(shè)AkO(k為正整數(shù)),證明(EA)1EAA2Ak1證明因?yàn)锳kO所以EAkE又因?yàn)镋Ak(EA)(EAA2Ak1所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推論知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1證明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)兩端同時(shí)右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115.設(shè)方陣A滿(mǎn)足A2A2EO,證明A及A2E都可逆,并求A1及(A2E)1.證明由A2A2EOA2A2E,即A(AE)2E或,由定理2推論知A可逆且由A2A2EOA2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推論知(A2E)可逆且證明由A2A2EO得A2A2E|A2A|2即|A||AE|2,故|A|0所以A可逆,而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆.由A2A2EOA(AE)A1A(AE)2A1E又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)116.設(shè)A為3階矩陣,,求|(2A)-1-5A*|.解因?yàn)?所以=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8′2=-16.17.設(shè)矩陣A可逆,證明其伴隨陣A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.證明由,得A*=|A|A-1,所以當(dāng)A可逆時(shí)有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-110,從而A*也可逆.因?yàn)锳*=|A|A-1,所以(A*)1|A|1A又所以(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18.設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*證明:(1)若|A|0,則|A*|0;(2)|A*||A|n1證明(1)用反證法證明.假設(shè)|A*|0則有A*(A*)1E由此得AAA*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O這與|A*|0矛盾，故當(dāng)|A|0時(shí)有|A*|0(2)由于,則AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0則|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此時(shí)命題也成立因此|A*||A|n119.設(shè),ABA2B求B.解由ABA2E可得(A2E)BA故20設(shè)且ABEA2B求B解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)因?yàn)樗?AE)可逆從而21設(shè)Adiag(121)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A8[A(A*2E)]18(AA*2A)8(|A|E2A)8(2E2A)4(EA)14[diag(212)]12diag(121)