2025年北師大版高一數學上冊階段測試試卷含答案

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大版高一數學上冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、在等差數列中，+=10則的值為A.5B.6C.8D.102、已知函數f(x)=sin(x+)在（π）單調遞減。則的取值范圍是A.[]B.[]C.(O,]D.(0,2]3、空間直角坐標系中,點關于平面對稱的點的坐標為（）A.B.C.D.4、【題文】設集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<5，x∈R}，若A∩B＝?，則實數a的取值范圍是()A.{a|0≤a≤6}B.{a|a≤2，或a≥4}C.{a|a≤0，或a≥6}D.{a|2≤a≤4}5、下面4個實數中，最小的數是（）A.sin1B.sin2C.sin3D.sin46、下列區(qū)間是函數y=2|cosx|的單調遞減區(qū)間的是（）A.（0，π）B.（﹣0）C.（2π）D.（﹣π，﹣）7、cos75°cos15°﹣sin435°sin15°的值是（）A.0B.C.D.-8、正方體的體積是64，則其表面積是（）A.64B.16C.96D.無法確定9、已知α、β是兩個不同的平面，m、n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若m∥n，m?α則n∥αB.若m∥α，a∩β=n，則m∥nC.若m⊥α，m⊥β則α∥βD.若m⊥β，α⊥β，則m∥α評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)10、用配方法把方程x2-6x-1=0化成（x+m）2=n的形式，得____．11、在平面直角坐標系中,若為坐標原點,則三點在同一直線上的等價于存在唯一的實數使得成立,此時稱實數為“向量關于和的終點共線分解系數”.若已知且向量與向量垂直,則“向量關于和的終點共線分解系數”為_________________．12、若sin（π+α）=0.2，則sinα=____．13、已知滿足條件則目標函數的最大值為_____________14、【題文】函數的定義域為____.15、【題文】正四棱錐的一個對角面的面積是一個側面面積的倍，則側面與底面所成二面角的大小是___________。16、給出下列結論：①y=1是冪函數；

②定義在R上的奇函數y=f（x）滿足f（0）=0

③函數是奇函數。

④當a＜0時，

⑤函數y=1的零點有2個；

其中正確結論的序號是____（寫出所有正確結論的編號）．17、已知f（x）=x3+2x-a在區(qū)間（1，2）內存在唯一一個零點，則實數a的取值范圍為______．18、某公司有職員160人，其中高級管理人員10人，中級管理人員30人，職員120人．要從中抽取32人進行體檢，如果采用分層抽樣的方法，則中級管理人員應該抽取______人．評卷人得分三、證明題(共6題，共12分)19、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、如圖，已知：D、E分別為△ABC的AB、AC邊上的點，DE∥BC，BE與CD交于點O，直線AO與BC邊交于M，與DE交于N，求證：BM=MC．21、求證：（1）周長為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋．22、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點；弦AD與邊BC相交于點E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．23、如圖；過圓O外一點D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．24、如圖，設△ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G．求證：AD⊥BF．評卷人得分四、解答題(共4題，共20分)25、已知函數f（x）的定義域為（-2；2），函數g（x）=f（x-1）+f（3-2x）．

（1）求函數g（x）的定義域；

（2）若f（x）是奇函數且在定義域內單調遞減；求不等式g（x）≤0的解集．

26、設△ABC的頂點A（3；3），B（1，0），C（4，0），過BC邊上的點P（x，0）作BC的垂線，將△ABC分為兩部分，若靠近頂點B的一側的這一部分圖形的面積記為x的函數f（x）．

（Ⅰ）試求f（x）的解析式；

（Ⅱ）請作出函數f（x）的圖象．

27、某商品在近30天內每件的銷售價格p（元）與時間t（天）的函數關系是該商品的日銷售量Q（件）與時間t（天）的函數關系是求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天？28、【題文】如圖所示；多面體EF﹣ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，四邊形ACFE為矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，AD＝DC＝BC＝CF＝1，AC⊥BC，∠ADC＝120°

（1）求證：BC⊥AF

（2）求平面BDF與平面CDF所成夾角的余弦值．評卷人得分五、計算題(共3題，共12分)29、x，y，z為正實數，且滿足xyz=1，x+=5，y+=29，則z+的值為____．30、相交兩圓半徑分別是5厘米、3厘米，公共弦長2厘米，那么這兩圓的公切線長為____厘米．31、已知關于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有兩個不相等的實數根x1，x2．

（1）求k的取值范圍；

（2）是否存在實數k，使方程的兩實數根互為相反數？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、A【分析】【解析】試題分析：在等差數列{an}中，由+=10，可得2=+=10，求得的值【解析】

在等差數列{an}中，+=10，則2=+=10，∴=5，故答案為A考點：等差數列【解析】【答案】A2、A【分析】【解析】試題分析：∵∴由題意∴即的取值范圍是[]，故選A考點：本題考查了三角函數的性質【解析】【答案】A3、C【分析】試題分析：空間直角坐標系中關于平面對稱的兩點,橫坐標相同,縱坐標相同,豎坐標是互為相反數,所以點的坐標為故選C.考點：空間直角坐標系.【解析】【答案】C4、C【分析】【解析】A＝{x||x－a|<1，x∈R}＝{x|a－1<1＋a}，因為A∩B＝?，所以有a－1≥5或1＋a≤1，即a≥6或a≤0，選C．【解析】【答案】C5、D【分析】【解答】因為0

可知sin4＜0．

故選：D．

【分析】判斷角所在象限，然后判斷三角函數符號，推出結果。6、D【分析】【解答】解：結合函數y=2|cosx|的圖象可得函數y=2|cosx|的減區(qū)間為（kπ，kπ+）；k∈z．

結合所給的選項；

故選：D．

【分析】結合函數y=2|cosx|的圖象可得函數y=2|cosx|的減區(qū)間．7、A【分析】【解答】解：cos75°cos15°﹣sin435°sin15°=cos75°cos15°﹣sin（360°+75°）+sin15°

=cos75°cos15°﹣sin75°sin15°

=cos（75°+15°）

=cos90°

=0．

故選：A．

【分析】應用誘導公式，兩角和的余弦函數公式，直接把所給式子化為cos90°，再求出90°的余弦值即可得解．8、C【分析】解：∵正方體的體積是64；

∴正方體的邊長為4；

∴它的表面積S=6×42=96．

故選C．

由正方體的體積是64；能求出正方體的邊長為4，由此能求出正方體的表面積．

本題考查正方體的體積和表面積的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．【解析】【答案】C9、C【分析】解：A不正確；m∥n，m?α，由于n可能在α內，故推不出n∥α；

B不正確；m∥α，α∩β=n，m不一定在β內，故不能推出m∥n；

C正確；垂直于同一條直線的兩個平面平行；

D不正確；m⊥β，α⊥β，由于m?α的可能性存在，故m∥α不正確．

故選C．

對于選項A；若m∥n，m?α則n∥α，可通過線面平行的判定定理進行判斷。

對于選項B；可通過線面平行的性質定理進行判斷；

對于選項C；可通過面面平行的判定條件進行判斷；

對于選項D；可通過線面位置關系判斷．

本題考查線面，線線、面面的平行關系的判斷，重點考查了空間的感知能力與空間中線面之間位置關系的判斷能力．【解析】【答案】C二、填空題(共9題，共18分)10、略

【分析】【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，在把常數項-1移項后，左右兩邊應該同時加上一次項系數-6一半的平方．【解析】【解答】解：∵x2-6x-1=0

∴x2-6x=1

∴x2-6x+9=1+9

∴（x-3）2=10．11、略

【分析】【解析】試題分析：向量與向量=（1，1）垂直，則由兩向量垂直數量積為零，我們可設出向量的坐標，然后根據易P1（3，1）、P2（-1，3）的坐標，我們可以構造一個關于λ的方程組，解方程組即可求出λ的值．得（t，-t）=λ（1，3）+（1-λ）（-1，3）=（4λ-1，3-2λ），4λ-1="t,"3-2λ=-t,解得兩式相加得2λ+2=0，∴λ=-1．故答案為-1.考點：三點共線【解析】【答案】-112、略

【分析】

由誘導公式可得sinα=-sin（π+α）=-0.2；

故答案為-0.2．

【解析】【答案】根據誘導公式可得sinα=-sin（π+α）；由已知求得結果．

13、略

【分析】【解析】試題分析：根據題意，作出滿足滿足條件的平面區(qū)域，然后圍成了一個三角形，那惡魔可知當過點（1，0）時，目標函數的縱截距最大，則對應的z最大，可知為2，故答案為2.考點：線性規(guī)劃【解析】【答案】214、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】(1,2〕15、略

【分析】【解析】設地面邊長為高為斜高則。

即【解析】【答案】16、②③【分析】【解答】解：根據冪函數的定義可得y=1不是冪函數；故排除①．

由奇函數的定義可得定義在R上的奇函數y=f（x）滿足f（0）=0；故②正確．

∵∴==﹣=﹣f（x）；

故函數是奇函數；故③正確．

當a＜0時，=（﹣a）3=﹣a3；故④不正確．

由于函數y=1沒有零點；故⑤不正確．

故答案為②③．

【分析】根據冪函數的定義排除①．由奇函數的性質可得②正確．根據奇函數的定義可得③正確．根據a＜0化簡的結果為=﹣a3，故④不正確．根據函數y=1沒有零點，得⑤不正確．由此得出結論．17、略

【分析】解：∵f（x）=x3+2x-a；

∴f′（x）=3x2+2＞0在區(qū)間（1；2）上恒成立；

∴f（x）在（1；2）上單調遞增；

∵f（x）=x3+2x-a在區(qū)間（1；2）內存在唯一一個零點；

∴f（1）＜0且f（2）＞0；

即

解得3＜a＜12；

故答案為：（3；12）

利用導數得到函數為增函數；由題意可得f（1）＜0且f（2）＞0，解得即可．

本題考查了函數的單調性，函數的零點個數判斷，屬于中檔題．【解析】（3，12）18、略

【分析】解：分層抽樣的抽取比例為=

∴中級管理人員應該抽取的人數為×30=6（人）；

故答案為：6．

計算分層抽樣的抽取比例；根據比例計算中級管理人員應該抽取的人數．

本題考查了分層抽樣方法，熟練掌握分層抽樣方法的特征是解題的關鍵．【解析】6三、證明題(共6題，共12分)19、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉化為三角形函數，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】延長AM，過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．根據平行線分線段成比例的性質和逆定理可得CF∥BE，根據平行四邊形的判定和性質即可得證．【解析】【解答】證明：延長AM；過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

從而四邊形OBFC為平行四邊形；

所以BM=MC．21、略

【分析】【分析】（1）關鍵在于圓心位置；考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點疊合．

（2）“曲“化“直“．對比（1），應取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心．【解析】【解答】

證明：（1）如圖1；設ABCD的周長為2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P為周界上任意一點，不妨設在AB上；

則∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周長為2l的平行四邊形ABCD可被以O為圓心；半徑為的圓所覆蓋；命題得證．

（2）如圖2，在線圈上分別取點R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l．又設RQ中點為G，M為線圈上任意一點，連MR、MQ，則GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G為圓心，長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈．22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據角平分線性質推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根據等腰三角形性質求出AF=CF，根據三角函數的定義求出即可；

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據銳角三角函數的定義求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F為AC中點；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF過圓心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．23、略

【分析】【分析】要證E為中點，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長需要借助相似，得出比例式，之間的關系可以求出．【解析】【解答】（1）證明：連接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圓O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

?OE∥AD

=＞E為的中點．

（2）解：連CE；則∠AEC=90°，設圓O的半徑為x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE?EF=AD?CF

DE?EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC?FA=3x（3+2）=15

∴EF=24、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF?AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．【解析】【解答】證明：作DE⊥AC于E；

則AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中點；

∴AG=ED．

∴ED2=AF?AE；

∴5ED2=AF?AE；

∴AB?ED=AF?AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．四、解答題(共4題，共20分)25、略

【分析】

（1）∵數f（x）的定義域為（-2；2），函數g（x）=f（x-1）+f（3-2x）．

∴∴＜x＜函數g（x）的定義域（）．

（2）∵f（x）是奇函數且在定義域內單調遞減；不等式g（x）≤0；

∴f（x-1）≤-f（3-2x）=f（2x-3），∴∴＜x≤2；

故不等式g（x）≤0的解集是（2]．

【解析】【答案】（1）由題意知，解此不等式組得出函數g（x）的定義域．

（2）等式g（x）≤0，即f（x-1）≤-f（3-2x）=f（2x-3），有解此不等式組；

可得結果．

26、略

【分析】

（Ⅰ）如圖所示：

①當1≤x≤3時，由A（3，3），B（1，0），∴=∴直線AB的方程為即3x-2y-3=0；

∵PM⊥x軸，∴則S△BMP==（1≤x≤3）．

②當3＜x≤4時，由A（3，3），C（4，0），∴∴直線AC的方程為y=-3（x-4），即3x+y-12=0．

∵PN⊥x軸，∴N（x，12-3x），∴S四邊形ABPN=S△ABC-S△CPN==．

∴f（x）=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的f（x）的解析式可畫出如下圖象：

【解析】【答案】（Ⅰ）先求出過P點且與x垂直的直線方程與邊AB；AC的交點坐標；進而即可求出陰影部分的面積，即f（x）；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的解析式畫出圖象即可．

27、略

【分析】設日銷售金額為y（元），則y=pQ．當t=10時，(元)；當t=25時，（元）．由1125>900，知ymax=1125（元），且第25天，日銷售額最大.【解析】【答案】28、略

【分析】【解析】本試題主要考查了立體幾何中線線垂直的證明以及二面角平面角的求解的綜合運用。(1)∵平面ACFE⊥平面ABCD且平面ACFE∩平面ABCD＝AC

又∵BC⊥AC∴BC⊥平面ACFE

又∵AF平面ACFE∴BC⊥AF

(2)建立空間直角坐標系；得到點的坐標，從而求解平面的法向量的坐標，進而運用數量積。

的性質得到夾角的求解。

（1）證明：

∵平面ACFE⊥平面ABCD且平面ACFE∩平面ABCD＝AC

又∵BC⊥AC∴BC⊥平面ACFE

又∵AF平面ACFE∴BC⊥AF

方法二：建系后用向量證之（略）

（2）解：由已知；以C為坐標原點，CA，CB，CF所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz，連接BD交AC于O點，連接OF，要使AM∥平面BDF，易得AM∥OF

∵AD＝DC＝BC＝CF＝1；∠ADC＝120°

∴AC＝BD＝OC＝

即B（0，1，0），D（0），F（0，0，1）

∴＝（－1），＝（0，1，－1），＝（0；0，－1）

設平面BDF的法向量為＝（x；y，z）

令z＝1，則y＝1，x＝∴＝（1，1）

設平面CDF的法向量為＝（x；y，z）

令x＝1，則y＝z＝0，∴＝（1，0）

設平面BDF與平面CDF的夾角為α

【解析】【答