2024-2025學(xué)年上海位育中學(xué)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（2025.01）（含答案）

參考答案一、填空題1.；2.點(diǎn)朝上點(diǎn)朝上點(diǎn)朝上點(diǎn)朝上）,點(diǎn)朝上點(diǎn)朝上；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；11.在平行六面體中，，且，則________．【答案】【解析】因?yàn)樗运裕蚀鸢笧椋?2．正三棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，空間向量，滿足，，則的最大值為________【答案】4【解析】由三棱錐是正三棱錐，可得，且，由化簡(jiǎn)得，根據(jù)化簡(jiǎn)得.

設(shè)，代入，，分別化簡(jiǎn)得且，

因此，點(diǎn)在以為直徑的球面上，半徑在以為直徑的球面上，半徑分別取線段的中點(diǎn)，則，故，故答案為：4．二、選擇題13.D；14.B；15.B；16.A15.個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同．每次將球充分?jǐn)噭蚝螅我饷?個(gè)球記下顏色后再放回盒子．經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0．1左右，則據(jù)此估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（）A．40個(gè) B．45個(gè) C．50個(gè) D．55個(gè)【答案】【解析】設(shè)盒子中球的總數(shù)為，由題意可知，，解得，

所以估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為個(gè)．故答案為：．16．，分別為菱形的邊，的中點(diǎn)，將菱形沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)不在平面內(nèi)，則在翻折過程中，對(duì)于下列兩個(gè)命題：①直線恒與平面平行；②異面直線與恒垂直．以下判斷正確的是（）A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題【答案】【解析】對(duì)于①：由于分別為菱形的邊，的中點(diǎn)，

所以，由于平面平面，故直線恒與平面平行；

故①正確；對(duì)于②，取的中點(diǎn)，連接和，如圖所示：

根據(jù)菱形的性質(zhì)，所以，故平面；由于平面，所以，

由于，所以，故②正確．故選：．三、解答題17.證明略18.（1）（2）19.（1）0.91（2）甲分配獎(jiǎng)金78.4元，乙分配獎(jiǎng)金21.6元20.如圖①，有一個(gè)圓柱形狀的玻璃水杯，底面圓的直徑為，高為，杯內(nèi)有深的溶液?，F(xiàn)將水杯傾斜，且傾斜時(shí)點(diǎn)始終在桌面上。在傾斜過程中一直保持溶液不會(huì)溢出，且設(shè)直徑所在直線與桌面所成的角為（圖②）．（1）求圖②圓柱的母線與液面所在平面所成的角（用表示）；（2）要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出，求角的最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）如圖，過點(diǎn)作，交于，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于，則，

∴圖②中圓錐的母線與液面所在平面所成的角為：

圖②圓柱的母線與液面所在平面所成的角為；

（2）根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示，過作，交所在的直線于，在直角中，，，且點(diǎn)在線段上，，此時(shí)容器內(nèi)能容納的溶液量為：

而容器內(nèi)原有溶液量為

令，解得

所以，即的最大角為時(shí)，溶液不會(huì)溢出21.如圖，在三棱錐中，側(cè)面，是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個(gè)側(cè)面是正三角形．（1）求證：；（2）求二面角的大小；【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）作面于，連．，又，，

∴，