2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)- 第十五講-橢圓(四大考向)專項(xiàng)訓(xùn)練（含解析）

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第十五講-橢圓(四大考向)-專項(xiàng)訓(xùn)練一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對(duì)橢圓的考查，重點(diǎn)是（1）橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）。（3）直線和橢圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用。橢圓的定義和弦長(zhǎng)2022·新高考Ⅰ卷，16橢圓的離心率2023·新高考Ⅰ卷，5直線與橢圓的應(yīng)用2022·新高考Ⅱ卷，162023·新高考Ⅱ卷，5橢圓的軌跡方程2024·新高考Ⅱ卷，5二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專題會(huì)解讀。Ⅱ卷考查了橢圓的軌跡方程求法，難度較易。橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，尤其是對(duì)離心率的求解，更是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查橢圓的定義和離心率。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅱ卷·5）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）高考真題練一、單選題1．（2023新高考Ⅰ卷·5）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．2．（2023新高考Ⅱ卷·5）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．二、填空題3．（2022新高考Ⅰ卷·16）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是．4．（2022新高考Ⅱ卷·16）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語(yǔ)言表示為：注意：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．二、橢圓的方程、圖形與性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)對(duì)稱性關(guān)于軸、軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱焦點(diǎn)、、焦距離心率準(zhǔn)線方程點(diǎn)和橢圓的關(guān)系切線方程（為切點(diǎn)）（為切點(diǎn)）對(duì)于過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得切點(diǎn)弦所在的直線方程焦點(diǎn)三角形面積①，（為短軸的端點(diǎn)）②③焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=（最短的過(guò)焦點(diǎn)的弦）弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，，則弦長(zhǎng)（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）【橢圓常用結(jié)論】1、過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長(zhǎng)為．①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．距離的最大值為，距離的最小值為．2、橢圓的切線①橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是；②過(guò)橢圓外一點(diǎn)，所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是；③橢圓與直線相切的條件是．名校模擬練一、單選題1．（2024·湖北荊州·三模）已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則k的值為（

）A．4 B．8 C．10 D．122．（2024·山東煙臺(tái)·三模）若橢圓與橢圓（）的離心率相同，則實(shí)數(shù)b的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·江西九江·三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,過(guò)且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在軸上,的面積為,則的方程為（

）A． B．C． D．4．（2024·河南·三模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上，若的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（

）A．3 B．4 C．1 D．25．（2024·浙江紹興·三模）已知直線與橢圓C：交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．6．（2024·江西鷹潭·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，傾斜角為且過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若，設(shè)橢圓的離心率為，則（

）A． B．C． D．7．（2024·天津河西·三模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．48．（2024·四川·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，若的內(nèi)心為，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，且，則橢圓的短軸長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．9．（2024·廣東汕頭·三模）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，是上任意一點(diǎn)，則下列不正確的是（

）A．的離心率為 B．的最小值為2C．的最大值為16 D．可能存在點(diǎn)，使得10．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)向圓引切線交橢圓于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．11．（2024·浙江·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．連接，．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題12．（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為A，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長(zhǎng)為C．C的離心率為 D．的周長(zhǎng)為813．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距分別為、和的橢圓，點(diǎn)是橢圓與其長(zhǎng)軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓與其短軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)和為其焦點(diǎn)，．點(diǎn)在橢圓上，若，則（

）A．，，成等差數(shù)列B．，，成等比數(shù)列C．橢圓的離心率D．的面積不小于的面積14．（2024·河南·三模）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．記在處的切線為，平行于OP的直線與交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．C的方程B．直線OP與的斜率之積為-1C．直線OP，l與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形D．直線PA，PB與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形15．（2024·全國(guó)·二模）已知圓O：經(jīng)過(guò)橢圓C：（）的兩個(gè)焦點(diǎn)，，且P為圓O與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且的面積為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 B．橢圓C的短軸長(zhǎng)為2C．橢圓C的離心率為 D．點(diǎn)P的坐標(biāo)為16．（2024·江西南昌·三模）將橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．橢圓的離心率為C．是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) D．17．（2024·江西宜春·三模）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．的面積為2 D．的內(nèi)切圓半徑為三、填空題18．（2024·上?！と＃┮阎獧E圓C的焦點(diǎn)、都在x軸上，P為橢圓C上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6，且，，成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．19．（2024·四川攀枝花·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且，則橢圓的離心率為．20．（2024·山西·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若C上存在一點(diǎn)P，使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則C的離心率的最小值是．21．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為.22．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓，P為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作與直線和平行的直線，分別交，交于M，N兩點(diǎn)，則的最大值為.23．（2024·重慶·三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓上存在不在軸上的兩點(diǎn)A，B滿足，且，則橢圓離心率的取值范圍為參考答案與詳細(xì)解析一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對(duì)橢圓的考查，重點(diǎn)是（1）橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）。（3）直線和橢圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用。橢圓的定義和弦長(zhǎng)2022·新高考Ⅰ卷，16橢圓的離心率2023·新高考Ⅰ卷，5直線與橢圓的應(yīng)用2022·新高考Ⅱ卷，162023·新高考Ⅱ卷，5橢圓的軌跡方程2024·新高考Ⅱ卷，5二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷橢圓的考查體現(xiàn)在大題中，后續(xù)專題會(huì)解讀。Ⅱ卷考查了橢圓的軌跡方程求法，難度較易。橢圓是圓雉曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓定義的運(yùn)用、橢圓方程的求法以及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，尤其是對(duì)離心率的求解，更是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，因方法多，試題靈活，在各種題型中均有體現(xiàn)。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查橢圓的定義和離心率。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅱ卷·5）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A高考真題練一、單選題1．（2023新高考Ⅰ卷·5）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A2．（2023新高考Ⅱ卷·5）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.二、填空題3．（2022新高考Ⅰ卷·16）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，利用弦長(zhǎng)公式求得，得，根據(jù)對(duì)稱性將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.故答案為：13.4．（2022新高考Ⅱ卷·16）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點(diǎn)問(wèn)題：點(diǎn)差法令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點(diǎn)既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因?yàn)椋月?lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo),又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語(yǔ)言表示為：注意：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在．二、橢圓的方程、圖形與性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)對(duì)稱性關(guān)于軸、軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱焦點(diǎn)、、焦距離心率準(zhǔn)線方程點(diǎn)和橢圓的關(guān)系切線方程（為切點(diǎn)）（為切點(diǎn)）對(duì)于過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得切點(diǎn)弦所在的直線方程焦點(diǎn)三角形面積①，（為短軸的端點(diǎn)）②③焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=（最短的過(guò)焦點(diǎn)的弦）弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，，則弦長(zhǎng)（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）【橢圓常用結(jié)論】1、過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長(zhǎng)為．①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．距離的最大值為，距離的最小值為．2、橢圓的切線①橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是；②過(guò)橢圓外一點(diǎn)，所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是；③橢圓與直線相切的條件是．名校模擬練一、單選題1．（2024·湖北荊州·三模）已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則k的值為（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)位置即可得解.【詳解】由題意得，，，，所以．故選：D．2．（2024·山東煙臺(tái)·三模）若橢圓與橢圓（）的離心率相同，則實(shí)數(shù)b的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由離心率相等列出關(guān)于的方程求解即可.【詳解】若橢圓與橢圓（）的離心率相同，則，解得滿足題意.故選：A.3．（2024·江西九江·三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,過(guò)且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在軸上,的面積為,則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，,

,設(shè)，其它邊全部用t表示,運(yùn)用面積為構(gòu)造方程求出t.再用橢圓定義求出a,進(jìn)而求出c,b即可.【詳解】如圖,為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),,又軸,軸.在中,,設(shè),則的面積為,,,則C的方程為.故選：D.4．（2024·河南·三模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上，若的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（

）A．3 B．4 C．1 D．2【答案】D【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.【詳解】依題意，橢圓短軸長(zhǎng)為，得，則，又的最大值是最小值的3倍，即，所以，所以，則其焦距為.故選：D5．（2024·浙江紹興·三模）已知直線與橢圓C：交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得四邊形為矩形，結(jié)合橢圓定義與勾股定理可將分別用和表示，即可得離心率.【詳解】取右焦點(diǎn)，連接、，由在以線段為直徑的圓上，故，結(jié)合對(duì)稱性可知四邊形為矩形，有，有，又，由，則，，由橢圓定義可得，故，則.故選：C.6．（2024·江西鷹潭·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，傾斜角為且過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若，設(shè)橢圓的離心率為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到四邊形為矩形，由直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為，在和中，利用余弦定理計(jì)算得，結(jié)合橢圓的定義,求得離心率，進(jìn)而計(jì)算出.【詳解】如圖所示，

因?yàn)椋曳謩e為和的中點(diǎn)，，所以四邊形為矩形，又直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為，即，，且為等腰三角形，所以，在中，根據(jù)余弦定理可得，即，同時(shí)，在中，根據(jù)余弦定理可得，即，所以，可得，.故選：B.7．（2024·天津河西·三模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，易得，設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：，，由題意得，設(shè)，則，解得，在中，由余弦定理得：，即，化簡(jiǎn)得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；故選：C8．（2024·四川·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，若的內(nèi)心為，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，且，則橢圓的短軸長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】合理構(gòu)建圖形，利用角平分線定理和等比定理得到，再求短軸長(zhǎng)度即可.【詳解】如圖，連接在和中，利用角平分線定理可得由等比定理可得從而.故橢圓的短軸長(zhǎng)為，故B正確.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是合理構(gòu)建圖形，然后利用角平分線定理和等比定理得到，再求解短軸長(zhǎng)度即可．9．（2024·廣東汕頭·三模）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，是上任意一點(diǎn)，則下列不正確的是（

）A．的離心率為 B．的最小值為2C．的最大值為16 D．可能存在點(diǎn)，使得【答案】D【分析】求出橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)及半焦距，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)逐項(xiàng)分析計(jì)算即可.【詳解】橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，的離心率，A正確；對(duì)于B，由，得，因此，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)不在x軸上時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，當(dāng)在x軸上時(shí)，，上述不等式成立，因此最大為，D錯(cuò)誤.故選：D10．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)向圓引切線交橢圓于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先畫出圖形，由得，進(jìn)而得，，然后由橢圓的定義可得，由勾股定理，從而即可得到離心率.【詳解】由題意畫出圖形，如下圖：設(shè)切點(diǎn)為M，連接，由已知，∴，∵，∴，又是的中點(diǎn)，圓的半徑為，，，∴，即，得，.故選：C.11．（2024·浙江·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．連接，．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形面積關(guān)系得出，再由勾股定理及橢圓定義求出，利用余弦定理及求解即可.【詳解】設(shè)，由可得，由于與等高，所以，

又，，∴，又，∴，在中，，∵，在中，，化簡(jiǎn)可得，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)之一根據(jù)三角形面積關(guān)系得出，其次需要根據(jù)建立關(guān)系.二、多選題12．（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為A，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長(zhǎng)為C．C的離心率為 D．的周長(zhǎng)為8【答案】ABD【分析】根據(jù)以及橢圓的對(duì)稱性可得，進(jìn)而可求解，即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由于，所以,故，因此，故，所以橢圓，對(duì)于A，焦距為，故A正確，對(duì)于B，短軸長(zhǎng)為，B正確，對(duì)于C，離心率為，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，的周長(zhǎng)為，D正確，故選：ABD13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距分別為、和的橢圓，點(diǎn)是橢圓與其長(zhǎng)軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓與其短軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)和為其焦點(diǎn)，．點(diǎn)在橢圓上，若，則（

）A．，，成等差數(shù)列B．，，成等比數(shù)列C．橢圓的離心率D．的面積不小于的面積【答案】BD【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)垂直關(guān)系得到，求出，得到A錯(cuò)誤，B正確；C選項(xiàng)，根據(jù)得到，進(jìn)而求出離心率；D選項(xiàng)，計(jì)算出和的面積，作差法結(jié)合基本不等式求出答案.【詳解】AB選項(xiàng)，橢圓方程為，不妨設(shè)，，故，因?yàn)?，且直線的斜率存在，所以，即，故，成等比數(shù)列，A錯(cuò)誤，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，方程兩邊同除以得，，解得，?fù)值舍去，故離心率為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由橢圓定義得，，因?yàn)?，所以，兩邊平方得，故，，，又，且，由基本不等式得，所以即的面積不小于的面積，D正確.故選：BD14．（2024·河南·三模）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．記在處的切線為，平行于OP的直線與交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．C的方程B．直線OP與的斜率之積為-1C．直線OP，l與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形D．直線PA，PB與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形【答案】ACD【分析】根據(jù)題干列出方程組，解方程組可判斷A；根據(jù)直線與橢圓相切的可求出直線的方程即可判斷B，C；通過(guò)計(jì)算可判斷D.【詳解】橢圓方程為：，故A正確；如圖，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，取橢圓方程的右半部分得：，則，所以，所以，故B錯(cuò)誤；，則為等腰三角形，故C正確；，消可得，與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形，故D正確.故選：ACD15．（2024·全國(guó)·二模）已知圓O：經(jīng)過(guò)橢圓C：（）的兩個(gè)焦點(diǎn)，，且P為圓O與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且的面積為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 B．橢圓C的短軸長(zhǎng)為2C．橢圓C的離心率為 D．點(diǎn)P的坐標(biāo)為【答案】BD【分析】根據(jù)圓的方程確定的值，再由的面積可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可得的值，再逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】因?yàn)閳AO：經(jīng)過(guò)橢圓C：（）的兩個(gè)焦點(diǎn)，，所以，又P為圓O與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，則，故，代入圓方程可得，所以，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故D正確；將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，又，解得，故橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，故A不正確，B正確；則橢圓C的離心率為，故C不正確.故選：BD.16．（2024·江西南昌·三模）將橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．橢圓的離心率為C．是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，由橢圓的對(duì)稱性，求解頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得，再由橢圓的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，設(shè)點(diǎn)在該橢圓上，則其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對(duì)稱點(diǎn)位于橢圓方程上，同理其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對(duì)稱點(diǎn)位于橢圓方程上，則關(guān)于對(duì)稱，所以，故D正確；將代入可得，可得橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為，所以，故A正確；將代入可得，可得橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為，所以，則，則，故B錯(cuò)誤；所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為或，所以C正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵通過(guò)證明該非標(biāo)準(zhǔn)橢圓的對(duì)稱性，從而得到的值，再按照普通橢圓的定義計(jì)算即可，也可將該過(guò)程想象成坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn).17．（2024·江西宜春·三模）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．的面積為2 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，利用向量數(shù)量積公式可判定B，三角形面積公式可判定C，根據(jù)等面積法可判定D.【詳解】法1：由題意得，，則，．由對(duì)稱性可設(shè)（，），，，，由，解得，又，，所以，，所以．由橢圓的定義得，在中，由余弦定理，得，即，解得，故A正確；，故B錯(cuò)誤；的面積為，故C正確；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，由的面積相等，得，即，解得，故D正確．故選：ACD．法2：設(shè)，，．易知，，由極化恒等式，得，故B錯(cuò)誤；由中線長(zhǎng)定理得，由橢圓定義得，所以，所以，所以，故A正確；由，得，所以，故C正確；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，由的面積相等，得，即，解得，故D正確．故選：ACD．三、填空題18．（2024·上?！と＃┮阎獧E圓C的焦點(diǎn)、都在x軸上，P為橢圓C上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6，且，，成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差中項(xiàng)的意義及橢圓的定義列式求出即可得解.【詳解】令橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，依題意，，即，解得，則橢圓短半軸長(zhǎng)，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故