《復(fù)變函數(shù)映射》課件

復(fù)變函數(shù)映射歡迎來到復(fù)變函數(shù)映射的世界。這門課程將帶您深入探索復(fù)平面上的變換和函數(shù)。我們將揭示復(fù)變函數(shù)的美妙性質(zhì)和強(qiáng)大應(yīng)用。引言復(fù)變函數(shù)的重要性在數(shù)學(xué)、物理和工程中扮演關(guān)鍵角色。課程目標(biāo)掌握復(fù)變函數(shù)的基本概念和應(yīng)用技巧。學(xué)習(xí)方法理論與實(shí)踐相結(jié)合，注重幾何直觀。復(fù)變函數(shù)概述定義復(fù)變函數(shù)是將復(fù)數(shù)映射到復(fù)數(shù)的函數(shù)。表示方法可用代數(shù)式、參數(shù)式或幾何方式表示。復(fù)平面上的幾何變換平移將點(diǎn)沿直線移動(dòng)固定距離。旋轉(zhuǎn)圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度。伸縮改變點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。等角變換定義保持角度大小不變的變換。性質(zhì)保持曲線間的夾角，但可能改變長(zhǎng)度。應(yīng)用在地圖制作和流體力學(xué)中廣泛應(yīng)用。雙曲型變換1定義保持雙曲線不變的變換。2特點(diǎn)改變點(diǎn)的位置，但保持某些幾何性質(zhì)。3應(yīng)用在相對(duì)論和非歐幾何中有重要應(yīng)用。內(nèi)接和外接變換內(nèi)接變換將圓內(nèi)部映射到圓內(nèi)部。外接變換將圓外部映射到圓外部。應(yīng)用在幾何學(xué)和復(fù)分析中有重要作用。反演變換1定義關(guān)于圓的點(diǎn)的映射。2性質(zhì)保持角度，但改變距離。3應(yīng)用解決幾何問題和電磁場(chǎng)理論。復(fù)平面上的連續(xù)性1ε-δ定義函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。2路徑連續(xù)性沿任意路徑趨近時(shí)的連續(xù)性。3一致連續(xù)性在整個(gè)定義域上的強(qiáng)連續(xù)性。復(fù)變函數(shù)的極限∞無窮遠(yuǎn)點(diǎn)極限函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的行為。0零點(diǎn)極限函數(shù)在接近零點(diǎn)時(shí)的行為。a任意點(diǎn)極限函數(shù)在任意點(diǎn)附近的性質(zhì)?？挛骼杪鼦l件必要條件函數(shù)解析的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系。充分條件保證函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析。有解析性的條件1可微性函數(shù)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)。2連續(xù)性函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。3滿足柯西黎曼條件偏導(dǎo)數(shù)滿足特定關(guān)系。一元復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)在點(diǎn)處的變化率。計(jì)算方法極限或分析法求導(dǎo)。應(yīng)用描述函數(shù)的局部性質(zhì)?？挛?里曼方程方程形式?u/?x=?v/?y,?u/?y=-?v/?x幾何意義保持角度不變的條件。重要性解析函數(shù)的基本特征。初等復(fù)變函數(shù)1多項(xiàng)式函數(shù)由復(fù)變量的冪和常數(shù)組成。2有理函數(shù)兩個(gè)多項(xiàng)式的商。3超越函數(shù)指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等。指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)e^z=e^x(cosy+isiny)對(duì)數(shù)函數(shù)lnz=ln|z|+iArgz三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)sinz,cosz雙曲函數(shù)sinhz,coshz關(guān)系通過歐拉公式聯(lián)系。復(fù)變函數(shù)的積分1定義沿曲線的路徑積分。2性質(zhì)與路徑選擇有關(guān)。3應(yīng)用計(jì)算功和能量?？挛鞣e分公式1公式表述解析函數(shù)的積分表示。2意義聯(lián)系函數(shù)值和邊界積分。3應(yīng)用求解復(fù)變函數(shù)問題?？挛鞣e分定理0閉合路徑積分解析函數(shù)在單連通區(qū)域的閉合路徑積分為零。2π奇點(diǎn)外積分繞奇點(diǎn)的積分與繞數(shù)有關(guān)?！迲?yīng)用廣泛在復(fù)分析中有重要地位。柯西丟勒公式公式內(nèi)容表示解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用求高階導(dǎo)數(shù)和泰勒展開。留數(shù)定理定義孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。計(jì)算方法通過函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)展開。應(yīng)用計(jì)算復(fù)雜積分和求和。留數(shù)及其應(yīng)用定積分計(jì)算利用留數(shù)快速求解復(fù)雜積分。級(jí)數(shù)求和計(jì)算某些無窮級(jí)數(shù)的和。物理應(yīng)用在電磁學(xué)和流體力學(xué)中的應(yīng)用。冪級(jí)數(shù)定義形如Σa_n(z-z_0)^n的級(jí)數(shù)。收斂半徑級(jí)數(shù)收斂的最大圓盤半徑。性質(zhì)在收斂圓內(nèi)處處解析。泰勒級(jí)數(shù)1定義函數(shù)在點(diǎn)處的冪級(jí)數(shù)展開。2系數(shù)由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)決定。3應(yīng)用函數(shù)近似和數(shù)值計(jì)算。洛朗級(jí)數(shù)定義函數(shù)在環(huán)形區(qū)域的級(jí)數(shù)展開。特點(diǎn)包含正負(fù)冪項(xiàng)。應(yīng)用研究函數(shù)在奇點(diǎn)附近的性質(zhì)。奇點(diǎn)和孤立奇點(diǎn)1定義函數(shù)不解析的點(diǎn)。2類型可去、極點(diǎn)、本質(zhì)奇點(diǎn)。3重要性決定函數(shù)的局部行為?？扇テ纥c(diǎn)和本質(zhì)奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)通過重新定義可使函數(shù)在此點(diǎn)解析。本質(zhì)奇點(diǎn)函數(shù)在此點(diǎn)附近表現(xiàn)復(fù)雜。留數(shù)理論的應(yīng)用數(shù)學(xué)求解復(fù)雜積分和級(jí)數(shù)。物理學(xué)解決