2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第16講三角形的概念及性質(zhì)

第16講三角形的概念及性質(zhì)

目錄

長或取值范圍

一、考情分析

題型（）2應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡含有

二、知識建構(gòu)

絕對值的式子

考點一三角形的相關(guān)概念

題型（）3應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段

題型01三角形的分類的和差比較問題

題型04三角形內(nèi)角和定理的證明

題型02三角形個數(shù)的規(guī)律探究問題

題型05應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度

題型03三角形的穩(wěn)定性題型06三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)

用

考點二三角形的重要線段

題型07三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合

題型01畫三角形的高、中線、角平分線應(yīng)用

題型08三角形折疊中的角度問題

題型02已知三角形的高、中線、角平分

題型（）9應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角

線，判斷式子正誤板問題

題型10應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的

題型03等面積法求三角形的高

數(shù)量關(guān)系

題型（）4利用網(wǎng)格求三角形的面積題型11三角形內(nèi)角和定理與新定義問題

綜合

題型05與垂心性質(zhì)有關(guān)的計算

題型12應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)求角度

題型06根據(jù)三角形的中線求長度題型13三角形的外角性質(zhì)與角平分線

的綜合

題型07根據(jù)三角形的中線求面積

題型14三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜

題型08判斷重心位置4口

題型15應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊

題型09與重心性質(zhì)有關(guān)的計算

問題

考點三三角形的性質(zhì)題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理

綜合

題型01應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊

?ooo

考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測

三角形的相關(guān)在初中幾何數(shù)學(xué)中，三角形的基礎(chǔ)

概念＞理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ).

三角形的重要線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性.所以，在中考中，與其它幾何圖形結(jié)合

線段考察的幾率比較大，特別是全等三角形

的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.考生在復(fù)習(xí)

＞探索并證明三角形的內(nèi)角和定理.掌握它的推論:三該考點時，不僅要熟悉掌握其本身的性

三角形的性質(zhì)角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.質(zhì)和應(yīng)用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中

＞證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊.的應(yīng)用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什

么情況下會轉(zhuǎn)化成該考點的知識考察.

?@oo

T：概念：由不在同一條百線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)雌1窈形叫做三角形.）、

Y用符號蒜）

三角形的題型01三角形的分類

按邊分類曬02三角形個數(shù)的規(guī)律探究問題

相關(guān)概念三角形的分類題型03三角形的穩(wěn)定性

I--------Y按角分類）

Y三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊的氏度確定之后,三角田的彩狀就噂一確定了.）,

三

遨型01畫三角形的高、中線.角平分線

角題型02已如三角形的高、中燃、角平分線，判斷式子正誤

__三角形的高垂心的性質(zhì)

題型等面枳法求三角形的高

形03

三角形的、卜三角形的中線―重心的性質(zhì)

地中04利用網(wǎng)格求三角形的面枳

的要顰，三角形的角平分線題型05與垂心性質(zhì)有關(guān)的計粉

概順型06根據(jù)三角形的中線求長度

題里07根據(jù)三角形的中線求面枳

念，三角形的中位或

題型08扎所重心位置

及題型09與重心性質(zhì)有關(guān)的計算

性

質(zhì)題型01應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長或取值范圍

題型02應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化筒含有絕對值的式子

融型03應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問獄

—一、定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

三越型04三角形內(nèi)角和定理的證明

形三邊關(guān)索y

，一題型05應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求向度

角掛論：三角形的兩邊之差小于第三邊.：

題型06三角形內(nèi)角和與平亍線的綜合應(yīng)用

形--r"（定理.三角形三個內(nèi)角和等于MOJ題型07三角形內(nèi)角和與角平分線的綜吉應(yīng)用

.G角形的內(nèi)角和

的題型三角形析■中的角度問題

（推論：直角三角形的兩個銳角目余.08

性勉型09應(yīng)用三角形內(nèi)角碓理解決三角板問題

質(zhì)定理：三角形的外角和等于360?二）題型10應(yīng)用三角形內(nèi)角碓理探究角的數(shù)量夫系

三儲形的外角和）r（三角形的T外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的初題型11三角形內(nèi)角和定理與新定義問匪綜合

題型12應(yīng)用三角形外角的性檄求角度

tts

三角形的一個外角秤膽fo釬世邦的內(nèi)角期型13三角形的外角性質(zhì)與角平分我的綜合

題型14三角形的夕卜編性質(zhì)與平行線的綜合

船型15應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題

題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合

考點一三角形的相關(guān)概念

―夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形.

三角形的表示：用符號“△”表示，頂點是A,B,C的三角形記作“AA8C"讀作"三角形ABU.

三角形的分類：

‘三邊都不相等的三角形

1）三角形按邊分類：三角形,_（等邊三角形

等腰二角形＜

（底邊和腰不相等的等腰三角形

2）三角形按角分類：三角形二二

三角形的穩(wěn)定性：三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.

1.三角形的表示方法中"△"代表"三角形"，后邊的字母為三角形的三個頂點，字母的順序可以自由安

排.即MBC,等均為同一個三角形.

2.等腰三角形中至少有兩邊相等,而等邊三角形中三邊都相等,所以等邊三角形是特殊的等腰三角形.

3.四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多

.提升?必考題型歸納

題型01三角形的分類

【例1】（2022.河北石家莊.石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，一只手蓋住了一個三角形的部分圖

形，則這個三角形不可能是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類判斷即可.

【詳解】解：A.當(dāng)另外兩角為50疏口100。時，該三角形為鈍角三角形，故此選項不符合題意；

B.當(dāng)另外兩角為90。和60。時，該三角形為直角三角形，故此選項不符合題意；

C.當(dāng)另外兩角為30。和120。時，該三角形為等腰三角形，故此選項不符合題意；

D.等邊三角形的每一個內(nèi)角均為60°,由圖可知該三角形有一個內(nèi)角為30。，故不可能為等邊三角形，符合

故選：D.

【點撥】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類，會應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類求解

是解答的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2020河北保定?統(tǒng)考一模）如圖，一個三角形只剩下一個角,這個三角形為（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.以上都有可能

【答案】B

【分析】三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.有一個角是直隹的三角形是

直角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；三個角都是銳角的三角形是銳角三角形.

【詳解】從題中可知，只能看到一個角是鈍角.

所以這個三角形為鈍角三角形.

古煙：B.

【點撥】本題考查了三角形的分類的靈活應(yīng)用.

【變式1-2](2020.吉林長春.統(tǒng)考中考真題)圖①、圖②、圖③均是3X3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊

長為1,每個小正方形的頂點稱為格點，線段力8的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，

按下列要求以A8為邊畫△ABC.

(1)在圖①中畫一個鈍角三角形，在圖②中畫一個直角三角形，在圖③中畫一個銳角三角形；

(2)三個圖中所畫的三角形的面積均不相等；

(3)點C在格點上.

【答案】見詳解(答案不唯一)

【分析】因為點C在格點上,故可將直尺的一角與線段/W點4重合，直尺邊長所在直線經(jīng)過3x3正方形

網(wǎng)格左上角第一個格點，繼而以點A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)直尺，當(dāng)直尺邊長所在直線與正方形格點相

交時，確定點。的可能位置，順次連接A.BC三點,按照題目要求排除不符合條件的。點，作圖完畢后可

根據(jù)三角形面積公式判斷其面積是否相等.

【詳解】經(jīng)計算可得下圖中：圖①面積為:；圖②面積為1；圖③面積為|,面積不等符合題目要求（2）,且

符合題目要求（1）以及要求（3）.

【點撥】本題考查三角形的分類及其作圖，難度較低，按照題目要求作圖即可.

【變式1-3]（2021.浙江寧波.統(tǒng)考一模）如圖,在8x4的正方形網(wǎng)格中,按448C的形狀要求，分別找出格

點C,且使8C=5,并且直接寫出對應(yīng)三角形的面積.

（鈍角三角形）（直角三角形）（銳角三角形）

S=s=______s=______

【答案】見解析；S=10；S=§；S=12

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，角的分類去求解即可

【詳解】解：鈍角三角形時，如圖，

.BCA.BD,BC=5,

「.△ABC是鈍角三角形，

根據(jù)平行線間的距離處處相等,得BC邊上高為BD=4,

AS=^CXFD=1X4X5=10；

直角三角形時，如圖，

取格點尸使得BF=4,FC=3,

根據(jù)勾股定理,得80存”=5,

\AE=BF=4,EB=FC=3,AAEB=zBFC=90°,

..△AE睦ABFC,

:./EAB=/FBC,

?.ZEAB?"8A=90。，

：.^FBC+AEBA=90°,

?./ABC=90°,

「.△ABC是直角三角形，

根據(jù)勾股定理，得A3=的彳=5,

：S=1RAxRC=^xSxS=學(xué)；

222

銳角三角形時，如圖，取格點M使得8M=3,CM=4,

根據(jù)勾股定理，得BC732+42=5,

根據(jù)直角三角形時的作圖，知道448290。，

：.Z.ABC<Z.ABN,

...NABC<90。

：AB=BC,

「.△ABC是等腰三角形，

/.ZA=ZC<9O°r

/.△ABC是銳角二角形，

：.S=1x4x6=12；

【點撥】本題考杳了網(wǎng)格上的作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)和判定，平行線間

的距離處處相等，根據(jù)題意，運用所學(xué)構(gòu)造符合題意的格點線段是解題的關(guān)鍵.

題型02三角形個數(shù)的規(guī)律探究問題

［例2］（2023.浙江杭州.模擬預(yù)測）若一個三角形的任意兩條邊都不相等，則稱之為“不規(guī)則三角形”.頂點

在一個正方體頂點上的所有三角形中，這樣的“不規(guī)則三角形”的個數(shù)為（）

A.8B.18C.24D.36

【答案】C

【分析】根據(jù)立方體的八個頂點之間線段長度僅有三種可能，分別得出所求的不規(guī)則三角形的個數(shù).

【詳解】解：如圖示：

設(shè)立方體的邊長為Q,則在立方體的八個頂點之間線段長度僅有三種可能：

邊長為Q,面對角線為aQ,體對角線為百Q(mào).立方體有四條體對角線，先考慮其中的一條如力Ci,第三個頂

點可以是B、C、D、&、Bi、為中之一，

有6個不規(guī)則三角形.因此所求的不規(guī)則三角形的個數(shù)是6X4=24.

姬：C.

【點撥】此題主要考查了三角形的性質(zhì)以及立體圖形的性質(zhì)，得出立方體的八個頂點之間線段長度僅有三

種可能是解決問題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2020.江西南昌模擬預(yù)測）由18根完全相同的火柴棒擺成的圖形如圖所示,如果去掉其中的3

根，那么就可以剩下7個三角形.以下去掉3根的方法正確的是（）

A.DE,GH,MIB.GF,EF、MFC.GD,EI,MHD.AD,AG,GD

【答案】C

【分析】按照選項依次分析即可求解.

【詳解】解：A.去掉,如圖：

圖中共有6個三角形，該項不符合題意；

B.去掉,如圖：

圖中共有4個三角形，該項不符合題意；

C.去掉,如圖：

A

D,G

H

BIMC

圖中共有7個三角形，該項符合題意；

D.去掉4D"G,G。,如圖：

A

圖中共有9個三角形，該項不符合題意；

故選：C.

【點撥】本題考查三角形計數(shù)，掌握三角形的定義是解題的關(guān)鍵..

【變式2-2］閱讀下列材料并填空.平面上有〃個點(/:>2)且任意三個點不在同一條直線上，過這些點作

直線，一共能作出多少條不同的直線？

(1)分析：當(dāng)僅有兩個點時，可連成1條直線；當(dāng)有3個點時，可連成3條直線；當(dāng)有4個點時，可連成

6條直線；當(dāng)有5個點時，可連成10條直線……

(2)歸納：考察點的個數(shù)和可連成直線的條數(shù)Sn發(fā)現(xiàn)：如下表

點的個數(shù)可作出直線條數(shù)

2X1

21C

3X2

33-5-三

j4X3

4c

5IO=E=辭

.......

nx(n—1)

n$/2

（3）推理：平面上有〃個點，兩點確定一條直線.取第一個點A有〃種取法，取第二個點B有（〃-1）種取

法,所以一共可連成〃（小I）條直線，但相與孫是同一條直線，故應(yīng)除以2；即冬=也裂

（4）結(jié)論：*=吟3

試探究以下幾個問題：平面上有八個點（〃23）,任意三個點不在同一條直線上，過任意三個點作三角形，

一共能作出多少不同的三角形？

（1）分析：

當(dāng)僅有3個點時，可作出一個三角形；

當(dāng)僅有4個點時，可作出一個三角形；

當(dāng)僅有5個點時，可作出一個三角形；

（2）歸納：考察點的個數(shù)〃和可作出的三角形的個數(shù)S,，發(fā)現(xiàn)：（填下表）

點的個數(shù)可連成三角形個數(shù)

3

4

5

...

⑶推理：（4）結(jié)論：

【答案】（1）1,4,10

（2）

點的個數(shù)可構(gòu)成三角形個數(shù)

,c3X2X1

3F—6

44=￡=空

.5X1X3

51O=5=

nx(n-l)x(n-2)

nZ6

（3）見解析（4）結(jié)論：S"=弛產(chǎn)

D

【分析】（1）根據(jù)給的點數(shù)一一查出三角形即可;

（2）根據(jù)引例學(xué)習(xí)，仿照引例解法，先定點，再定形的方法，3個點先取第一個點，三點任意一個有3種，

第二個點從剩下的兩點任取一個有2種,第三個點只有1種，三角形有3x2x1個，會出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象AABC,

△ACBABACABCA.LCAB,LCBA，都是同一種三角形，由此得出年學(xué)1=1，根據(jù)此法可得出4,5.…,〃

O

個點的結(jié)論；

（3）平面上有〃個點,過不在同一條直線上的三個點可以確定一個三角形，取第一個點有〃種方法，取第

二個點有（n-\）種取法，取第三個點（小2）種取法,所以一共可以作〃（〃」）（〃-2）個三角形，但同一個

三角形重復(fù)6次，再除以6即可；

（4）根據(jù)（3）即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）當(dāng)僅有3個點時，三點分別為A,叢C可作1個三角形4ABC；

當(dāng)有4個點時，四點分別為A.B.C.D可作4個三角形“3。，AABD,AACDZCD；

當(dāng)有5個點時五點分別為A,B,C,DtE，可作10個三角形aAAC]ABDqABE,AACEAADEqBCD,

△BCE；ABDE,&CDE.

故答案為1,4,10.

(2)填表如下：

點的個數(shù)可構(gòu)成三角形個數(shù)

31=￡=等

44=5『手

510=W=-

nx(n-1)x(n-2)

n*6

（3）推理：平面上有〃個點，過不在同一條直線上的三個點可以確定一個三角形，取第一個點有〃種方法,

取第二個點有（〃-1）種取法，取第三個點（〃-2）種取法,

所以一共可以作〃(力1)(〃-2)個三角形，但同一個三角形重復(fù)6次，

故應(yīng)除以6,

n(n-IXn-2)

即S〃二

6

n(n-l)(n-2)

(4)結(jié)論：S產(chǎn)

6

【點撥】本題考杳圖形規(guī)律探索，閱讀理解，仔細閱讀，抓住點與線的規(guī)律，拓展點與三角形的規(guī)律，是

學(xué)習(xí)的質(zhì)的飛躍，本題難度不大，是培養(yǎng)邏輯思維的好題.

【變式2?3】(2022?吉林長春??？寄M預(yù)測)一個圓周上有12個點，…，Ai，A12.以它們?yōu)?/p>

頂點連三角形，使每個點恰好是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交.問：有多少種連法？

【答案】55

【分析】利用遞推的方法，根據(jù)三角形的定義，結(jié)合圖表依次推出圓上有3個點，6個點，9個點和12個

點連成三角形的種數(shù)，進而得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)如果圓上只有3個點，那么只有一種連法；

(2)如果圓上有6個點，除為所在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在&在三角形的一條邊所對

應(yīng)的圓弧上，表1給出這時有可能的連法有3種.

出所在三角形余下點數(shù)種數(shù)

AL42A331

A1A5A631

A1A2A631

表1

(3)如果圓上有9個點，考慮從所在的三角形.此時，其余的6個點可能分布在：

①4所在三角形的一個邊所對的弧上；②也可能三個點在一個邊所對應(yīng)的弧上，另三個點在另一邊所對的

在表2中用號表示它們分布在不同的邊所對的?。蝗绻乔樾微?，則由(2),

這六個點有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個點都只能有一種連法；共有12種連法.

41所在三角形余下點數(shù)種數(shù)

A1A2A363

AIA2A963

A1A&A963

A1A1A63+31

A1A5A63+31

AIA5A93+31

表2

(4)最后考慮圓周上有12個點.同樣考慮4所在三角形，剩下9個點的分布有三種可能：

①9個點都在同一段弧上；

②有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上；

③每三個點在4所在三角形的一條邊對應(yīng)的弧上.得到表3；

共有12X3+3X6+1=55種.

出所在三角形余下點數(shù)種數(shù)

AL42A3912

A1A2A12912

A1A11A12912

A1A2A63+63

A1A2A96+33

A1A5A63+63

A1A5A123+63

A1A&A93+63

A1A8A126+33

A1A5A93+3+31

表3

所以共有55種不同的連法.

【點撥】本題主要考查了計數(shù)方法，利用遞推的方法，依次推出圓上有3個點，6個點，9個點和12個點

連成三角形的種數(shù)，即采用了化難為易的方法解答，要注意各個三角形的邊都不相交這個要求.

題型03三角形的穩(wěn)定性

［例3］（2023.山西運城.統(tǒng)考二模）學(xué)校、工廠、企業(yè)等單位的大門都是收縮性大門，這種門的門體可以伸

縮自由移動，以此來控制門的大小.這種方法應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是（）

A.三角形的穩(wěn)定形B.四邊形的不穩(wěn)定性

C.勾股定理D.黃金分割

【答案】B

【分析】由題意可知收縮大門可以伸縮自由移動，這是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性.

【詳解】由題意可知收縮大門可以伸縮自由移動，這是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性.

故選：B

【點撥】本題考查四邊形的不穩(wěn)定性，抓住題意的關(guān)鍵詞從而解決問題.

【變式（2023?廣東佛山??？家荒＃┮瓜旅娴哪炯懿蛔冃?，至少需要再釘上幾根木條？（)

B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，六邊形轉(zhuǎn)化成三角形即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可知，要使六邊形木架不變形，至少要再釘上3根木條.

故答案選：C

【點撥】本題主要考查的是三角形的穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一

確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.

【變式3-2］（2022.河北保定.校考一模）能用三角形的穩(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（）

D.

【答案】C

【分析】根據(jù)各圖所用到的直線、線段有關(guān)知識，即可一判定

【詳解】解：A.利用的是“兩點確定一條直線1故該選項不符合題意；

B.利用的是“兩點之間線段最短”，故該選項不符合題意；

C.窗戶的支架是三角形，利用的是''三角形的穩(wěn)定性”，故該選項符合題意；

D.利用的是“垂線段最短”，故該選項不符合題意；

故選：C

【點撥】本題考查了兩點確定一條直線、兩點之間線段最短、三角形的穩(wěn)定性、垂線段最短的應(yīng)用，結(jié)合

題意和圖形準(zhǔn)確確定所用到的知識是解決本題的關(guān)鍵.

【變式3?3】(2021.浙江臺州.一模)如圖，升降平臺由三個邊長為1.2米的菱形和兩個腰長為1.2米的等腰

三角形組成，其中平臺4M與底座AW平行，長度均為2.4米，8,即分別在AM和4W上滑動,且始終保

持點Bo,Ci,A/成一直線.

(1)這種升降平臺的設(shè)計原理是利用了四邊形的—性；

(2)為了安全,該平臺在作業(yè)時/囪不得超過40。，求平臺高度(A4。)的最大值(Sin20"0.34).

【答案】(1)不穩(wěn)定

(2)平臺高度(44。)的最大值為3.3米.

【分析】(1)根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性即可解決問題.

(2)當(dāng)/8尸40。時，平臺的高度最大，解直角三角形A/坳兒，可得AM/的長，再由AA3=AsA2=A2Af=AiA0,

即可解決問題.

【詳解】（I）因為四邊形具有不穩(wěn)定性，點B,砌分別在AM和AW上滑動，從而達到升降目的，因而這

種設(shè)計利用了平行四邊形的不穩(wěn)定性；

故答案為：不穩(wěn)定.

（2）由圖可知，當(dāng)NB/=40。時,平臺A4。的高度最大,

NAoBoAj=〃Bj,

A（）Aj=AIA2==A2AJ==A3^4-

'.8^1=2A/C,=2xl.2=2.4（米），S加20。y0.34,

二.AM產(chǎn)2.4xS歷20°x4=3.2644.3（米）,

??平臺高度（A4〃）的最大值為3.3米.

【點撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練菱

形的性質(zhì).

考點二三角形的重要線段

夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

重要線段概念圖形蜩

三角形的高從三角形一個頂點向它的對邊做垂A?.AD是A/WC中BC邊的高

△

線，頂點和垂足之間的線段叫做三角

??.NADB=NADC=9()c

形的高線（簡稱三角形的高）.B0C

三角形的中在三角形中，連接一個頂點和它對邊A.AD是AABC中BC邊的中線

z

線的中點的線段叫做三角形的中線

-BD=CDS〉A(chǔ)BD=SAADC

B0C

CAACD-CAABD=AC-4B

三角形的角三角形的一個角的平分線與這個角：AD是MBC中/84C的角平分

平分線的對邊相交，這個角的頂點和交點間線

的線段叫做三角形的角平分線.：.^BAD=^DAC=^ABAC

2

三角形的中連接三角形兩邊中點的線段叫做三???/?是MAC的中位線

位線角形的中位線

1A：.AD=DBAE=EC

DE=^BCDEWBC

概念圖形

1）重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

三角形三

2）重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

重心條中線交

點

3）重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

1）銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點

上；鈍角二角形的垂心在二角形外；

2）銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓

半徑之和的2倍。

三角形三

垂心

條高交點3）三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6組四點

共圓.

4）銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三

角形（頂點在原三角形的邊上）中，以垂足三角形的周長最短.

易錯

1.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得9（）。的角，由三角形的中線可得線段之

間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系.

2.常見三角形的高：

提升?必考題型歸納

題型01畫三角形的高、中線、角平分線

【例1】（2023.河北石家莊.校聯(lián)考二模）如圖，在^A8。中，邊.48上的高是（）

D.CH

【答案】D

【分析】根據(jù)高線的定義：三角形的頂點到對邊的垂線段為三角形的高線，進行判斷即可.

【詳解】解：-CH1AB,

???在44BC中,邊上的高是CH.

故選：D.

【點撥】本題考查三角形的高線.熟練掌握三角形的高線的定義，是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2023.河1田家莊.校聯(lián)考模擬預(yù)測）在4力8c中，4B=AC,BC長度不確定，報據(jù)尺規(guī)作圖痕

跡，用直尺不一定能直接畫出8。邊的高的是（）

【答案】A

【分析】分別考慮選項中的作圖方法，然后結(jié)合三角形高的定義即可求解.

【詳解】解：A中以力8邊為直徑作弧，沒有作線段力8中點的作圖痕跡,

「?無法直接畫出BC邊上的高,符合題意；

B中分別以點B.C為圓心，BC為半徑畫弧，交點為BC邊垂直平分線上的點，連接交點和點4延長到邊

即為8c邊上的高，不符合題意；

。中作的是的角平分線，連接點A與交點并延長與8c相交，即為BC邊上的高，不符合題意；

D中分別以北、為半徑畫圖，所得圖形為菱形，連接點A及其相對的交點，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出BC

邊上的高，不符合題意；

故選A.

【點撥】題目主要考杳基本的作圖方法及三角形高的判定，熟練掌握各個作圖方法是解題關(guān)鍵.

【變式1-2]（2023.河北石家莊.校聯(lián)考模擬預(yù)測）嘉淇剪一個銳角438c做折紙游戲,折疊方法如圖所示,

折痕與8C交于點0,連接/W,則線段力。分別是△的（）

C.中線，高，角平分線D.高，角平分線，垂直平分線

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可.

【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段如是44BC的高線，

圖②中，線段4。是448c的角平分線，

圖③中，線段力。是44BC的中線,

雌：B.

【點撥】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關(guān)鍵.

【變式1-3]（2023?廣東深圳?統(tǒng)考二模）觀察下列尺規(guī)作圖痕跡，其中所作線段力。為4力BC的角平分線的是

A.4用.力gJB

【答案】A

【分析】根據(jù)基本作圖的方法對各選項進行判斷即可.

【詳解】解：對于A選項，由作圖痕跡可知，4。為NCAB的平分線，故A選項符合題意；

對于B選項,由作圖痕跡可知，AD為AABC中8c邊上的高線，故B選項不符合題意；

對于C選項，由作圖痕跡可知，AD為&力BC的中線，故C選項不符合題意；

對于D選項,由作圖痕跡可知，AD為△4BC中BC邊上的高線，故D選項不符合題意.

古嫩：A.

【點撥】本題考查作圖一基本作圖：作三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握基本作圖的方法是解答本

題的關(guān)鍵.

【變式1-4］（2023.河北石家莊?統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（〃是鈍角），他打算

用折疊的方法折出乙。的角平分線、力8邊上的中線和高線，能折出的是（）

A.邊上的中線和高線B.乙。的角平分線和邊上的高線

C.2C的角平分線和48邊上的中線D.4c的角平分線、力8邊上的中線和高線

【答案】C

【分析】由折疊的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：當(dāng)力。與BC重合時，折痕是NC的角平分線；

當(dāng)點A與點B重合時，折疊是AB的中垂線，

古嫡：C.

【點撥】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

【變式1-5]（2023.河」田家莊.校聯(lián)考二模）小熊和小貓把一個三角形紙片折一次后,折痕把原三角形分成

兩個三角形.如圖，當(dāng)乙1=乙2時，折痕是三角形的（）

A.中線B.中位線C.高線D.角平分線

【答案】C

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角定義得到=42=90。，再根據(jù)三角形的高線定義求解即可.

【詳解】解:"1+乙2=180°/I=乙2,

"1=Z2=90°,

又??,折痕經(jīng)過三角形的頂點，

??.折痕是三角形的高線，

古嫡：C.

【點撥】本題考查折疊性質(zhì)、平角定義、三角形的高線，理解三角形的高線定義是解答的關(guān)鍵.

【變式1-6]（2023.吉林松原統(tǒng)考一模）圖①、圖②均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,

每個小正方形的頂點叫格點.△4BC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列

要求畫圖，保留作圖痕跡.

（1）在圖①中畫aABC的中位線DE,使點E分別在邊AB、8c上；

（2）在圖②中畫△/RC的高線RF.

【答案】（1）作圖見解析

（2）作圖見解析

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格線的特點、矩形性質(zhì)，先找到力B,BC的中點，再連接即可；

（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特點，利用全等三角形性質(zhì)構(gòu)造過點B