【教無憂】高中數(shù)學同步講義（人教B版2019選擇性必修三）第07講 5.4 數(shù)列的應用（3知識點 4題型 強化訓練）【KS5U 高考】

.4數(shù)列的應用課程標準學習目標（1）理解并掌握“等額本金還款法”、“等額本息還款法”及應用；（2）理解并掌握政府支出的“乘數(shù)”效應及數(shù)列的其他應用；（1）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質，熟記通項公式與求和公式；（2）能用數(shù)列知識求解分歧還款、政府支的“乘數(shù)”效應以及其他的實際問題；（3）進一步提升數(shù)學建模、邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。知識點01分期還款1、等額本金還款法：將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率，一次這種方式中，每期還款金額=2、等額本息還款法：將本金和利息平均分配到每一期進行償還，因此每一次還錢數(shù)相等，即，每期還款金額=，其中為貸款時的資金，為銀行貸款月利率，為還款總期數(shù)（單位：月）【即學即練1】（2023·廣東深圳·高二深圳市羅湖高級中學校考階段練習）某企業(yè)在2013年年初貸款M萬元，年利率為m，從該年年末開始，每年償還的金額都是a萬元，并恰好在10年間還清，則a的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知條件和分期付款公式，可得，∴．故選：C知識點02政府支出的“乘數(shù)”效應1、政府支出的“乘數(shù)”效應定義：為落實惠民政策，假設正負增加某項支出為億元，每個受惠的居民會將額外收入以的比率用于國內消費（最初政府支出也算是國內消費）。如果設第輪消費的金額為億元，那么，經(jīng)過輪影響之后，最后的國內消費總額是。最后的國內消費總額將會是億元的倍數(shù)，也就是說有了“乘數(shù)”效應。2、有關概念的理解（1）“乘數(shù)”效應=1\*GB3①“乘數(shù)”效應是一種宏觀的經(jīng)濟效應，是指經(jīng)濟活動中某一變量的增減所引起的經(jīng)濟總量變化的連鎖反應程度；=2\*GB3②財政政策乘數(shù)是研究財政收支變化對過國民經(jīng)濟的影響，其中包括財政支出乘數(shù)、稅收乘數(shù)和平衡預算乘數(shù)；（2）政府支出：政府的財政支出（把政府消費支出和政府投資支出）是一種與居民投資十分類似的高效能支出，政府在商品和服務商的一項采購，將會引發(fā)一系列的再支出。因此任何一屆政府在選擇經(jīng)濟政策時，究竟是采取擴張性政策還是收縮性政策，在采取動作前必須知道實際的乘數(shù)究竟有多大，否則將會對國民經(jīng)濟造成極大的傷害?！炯磳W即練2】（2023·高二課時練習）若某政府增加環(huán)境治理費用a億元，每個受惠的居民會將50%的額外收入用于國內消費，經(jīng)過10輪影響之后，最后的國內消費總額為400億元，則（最初政府支出也算是國內消費，結果精確到1，）．【答案】200【解析】由題意可知，，解得．知識點02銀行存款計息方式1、單利：僅在原有本金上計算利息，對本金所產(chǎn)生的利息不再計算利息，即利息=本金×利率×存起；2、復利：把上期末的本金和作為下一期的本金，在計算時每一期本金的數(shù)額不同。3、計算公式：以符號代表本金，代表存期，代表利率，代表本金和利息和（簡稱本利和）（1）單利計算：；（2）復利計算：【即學即練3】（2022·高二課時練習）比較下面兩種儲蓄方式，哪種方式更簡便合算？（1）將1000元本金存入銀行一年后（年利率為5.67%），再把本息自動轉存兩次，存滿三年后，可得本利和多少元？（2）將1000元本金存入銀行三年期定期整存整取種類（年利率為6.21%），三年后可得本利和多少元？【答案】（1）約為1179.92元；（2）元，利用第二種儲蓄方式更簡便合算【解析】（1）1000元本金參加一年整存整取，到期可得本利和為（元）．轉存一次時，本金為1056.70元，所以到期本利和為（元）．再轉存一次時，本金為1116.61元，所以到期本利和為（元）．即存一年，再轉存兩次，三年后本利和約為1179.92元．（2）1000元本金參加三年期整存整取，到期可得本利和為，這里r表示利率，n是計息期限，p是本金，即（元）．所以利用第二種儲蓄方式更簡便合算．【題型一：分期付款問題】例1．（2022·黑龍江哈爾濱·高三?？茧A段練習）某單位用分期付款方式為職工購買40套住房，總房價1150萬元.約定：2021年7月1日先付款150萬元，以后每月1日都交付50萬元，并加付此前欠款利息，月利率，當付清全部房款時，各次付款的總和為（）A．1205萬元B．1255萬元C．1305萬元D．1360萬元【答案】B【解析】由題意知，還的次數(shù)為次，每次付款本金均為50萬元，利息依次為構成了一個等差數(shù)列，則所還欠款利息總額為萬元，故各次付款的總和為萬元.故選：B.變式1-1．（2023·河南南陽·高二唐河縣第一高級中學?？茧A段練習）我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設張華第個月的還款金額為元，則（）A．2192B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知：每月還本金為2000元，設張華第個月的還款金額為元，則，故選：D變式1-2．（2023·廣西欽州·高二?？茧A段練習）（多選）剛考入大學的小明準備向銀行貸款元購買一臺筆記本電腦，然后上學的時候通過勤工儉學來分期還款.小明與銀行約定：每個月還一次款，分次還清所有的欠款，且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為，設小明每個月所要還款的錢數(shù)為元，則下列說法正確的是（）A．小明選擇的還款方式為“等額本金還款法”B．小明選擇的還款方式為“等額本息還款法C．小明第一個月還款的現(xiàn)值為元D．【答案】BCD【解析】AB選項，由于每個月還款的錢數(shù)都相等，故小明選擇的還款方式為“等額本息還款法，A錯誤，B正確；C選項，設小明第一個月還款的現(xiàn)值為，則，解得，故C正確；D選項，根據(jù)等額本息還款法可得，第一個月末所欠銀行貸款為，第二個月末所欠銀行貸款為，第三個月末所欠銀行貸款為，……第12個月末所欠銀行貸款為，由于分次還清所有的欠款，故，解得，D正確.故選：BCD變式1-3．（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）王先生今年初向銀行申請個人住房貸款100萬元購買住房，按復利計算，并從貸款后的次月初開始還貸，分10年還清.銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內把本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息；②等額本息：在還款期內，每月償還同等數(shù)額的貸款（包括本金和利息）.（1）若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個還貸月應還15000元，最后一個還貸月應還6500元，試計算王先生該筆貸款的總利息；（2）若王先生采取等額本息的還貸方式，貸款月利率為，.銀行規(guī)定每月還貸額不得超過家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為23000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批.（不考慮其他因素）參考數(shù)據(jù)，，【答案】（1）290000元；（2）王先生該筆貸款能夠獲批【解析】（1）由題可知，等額本金還貨方式中，每月的還貸額構成一個等差數(shù)列，表示數(shù)列的前項和.則，故.故王先生該筆貸款的總利息為：1290000-1000000=290000元.（2）設王先生每月還貨額為元，則有，即，故.因為，故王先生該筆貸款能夠獲批.【方法技巧與總結】等額本金還款法的實質是利用等差數(shù)列及求和公式解決實際問題的一種應用。等額本息還款法的實質是等比數(shù)列前項和公式的一種實際應用?！绢}型二：單利復利問題】例2．（2023·湖北·高二鄂州高中校聯(lián)考期中）某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動轉為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（）（單位：萬元）參考數(shù)據(jù)：A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3【答案】C【解析】由題意，2023年存的2萬元共存了10年，本息和為萬元，2024年存的2萬元共存了9年，本息和為萬元，2032年存的2萬元共存了1年，本息和為萬元，所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)約為萬元，故選：C.變式2-1．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）小張計劃連續(xù)十年向某公司投放資金，第一年年初投資10萬元，以后每年投資金額比前一年增加2萬元，該公司承諾按復利計算，且年利率為10%，第十年年底小張一次性將本金和利息取回，則小張共可以取得萬元．（結果用數(shù)字作答）．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】305【解析】依題意，小張每年向公司投資金額構成以10為首項，2為公差的等差數(shù)列，，因此每年的投資到第十年年底的本金和利息和為，10次投資到第十年年底本金和利息總和為，則，于是得，兩式相減得，則有，所以小張共可以取得305萬元.變式2-2．（2022·寧夏石嘴山·高三平羅中學?？计谥校┠车貐^(qū)2020年產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理，剩余14萬噸垃圾以填埋方式處理，預測顯示：在以2020年為第一年的未來十年內，該地區(qū)每年產(chǎn)生的生活垃圾量比上一年增長5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量比上一年增加1.5萬噸，剩余的垃圾以填埋方式處理．根據(jù)預測，解答下列問題：（1）求2021年至2023年，該地區(qū)三年通過填埋方式處理的垃圾共計多少萬噸？(結果精確到0.1萬噸)（2）該地區(qū)在哪一年通過環(huán)保方式處理的垃圾量首次超過這一年產(chǎn)生生活垃圾量的50%？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）;（2）2025年【解析】（1）依題意得，從2021年起該地區(qū)每年產(chǎn)生的生活垃圾量(單位：萬噸)構成等比數(shù)列，記為，每年通過環(huán)保方式處理的垃圾量(單位：萬噸)構成等差數(shù)列，記為，該地區(qū)年通過填埋方式處理的垃圾總量(單位：萬噸)記為，則，故，所以，當時，，所以2021年至2023年，該地區(qū)三年通過填埋方式處理的垃圾總量約萬噸.（2）由（1）得，，即，整理得，因為當時，，；當時，，；當時，，；當時，，；當時，，；所以該地區(qū)在第年，即2025年通過環(huán)保方式處理的垃圾量首次超過這一年產(chǎn)生生活垃圾量的50%.變式2-3．（2023·河南南陽·高二南陽中學?？茧A段練習）在購買住房、轎車等商品時，一次性付款可能會超出一些買主的支付能力，貸款消費不失為一種可行的選擇，但是也要量入為出，理智消費．某家庭計劃在2021年元旦從某銀行貸款10萬元購置一輛轎車，貸款時間為18個月．該銀行現(xiàn)提供了兩種可選擇的還款方案：方案一是以月利率0.4%的復利計息，每月底還款，每次還款金額相同；方案二是以季度利率1.2%的復利計息，每季度末還款，每次還款金額相同．（注：復利是指把前一期的利息與本金之和作為本金，再計算下一期的利息）（1）分別計算選擇方案一、方案二時，該家庭每次還款金額多少？（結果精確到小數(shù)點后三位）（2）從每季度還款金額較少的角度看，該家庭應選擇哪種方案？說明理由．【答案】（1）方案一還款額為萬元，方案二還款額為萬元；（2）選方案一，理由見解析.【解析】（1）方案一：若每月還款萬元，則，所以，可得萬元；方案二：若每季度還款萬元，則，所以，可得萬元；（2）由（1）知：方案一每季度還款額為萬元萬元，所以選方案一.【方法技巧與總結】對于這類問題的求解，關鍵是要搞清：（1）是單利還是復利；（2）存幾年。單利是指本金到期后的利息不再加入本金計算；復利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，在計算下一期的利息?！绢}型三：產(chǎn)值增長問題】例3．（2023·全國·高二隨堂練習）某超市去年的銷售額為a萬元，計劃在今后10年內每年比上一年增加10%．從今年起10年內這家超市的總銷售額為（）萬元．A．B．C．D．【答案】D【解析】設今后10年每年的銷售額為，因為超市去年的銷售額為a萬元，計劃在今后10年內每年比上一年增加.所以今年的銷售額為，今后第年與第年的關系為，所以今后10年每年的銷售額構成等比數(shù)列，公比為1.1，首項為.所以今年起10年內這家超市的總銷售額為故從今年起10年內這家超市的總銷售額為萬元.故選：D變式3-1．（2024·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）某工廠去年12月試產(chǎn)了1000個電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為0.85.從今年1月開始，工廠在接下來的一年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品，1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎上提高，產(chǎn)品合格率比前一個月增加0.01.（1）求今年2月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量，并判斷哪個月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量最多；（2）求該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品的數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）154，5月或6月；（2）19604個【解析】（1）記從今年1月起，第月的產(chǎn)量為，第月的產(chǎn)品合格率為.由題可知，數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，所以，，所以今年2月份生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為；設第月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為，則，所以，當時，；當時，；當時，，所以，即5月或6月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)最多；（2）設今年前個月生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)為，則，由于，，所以①，②，①－②得所以，即該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)約為19604個.變式3-2．（2023·江蘇無錫·高二無錫市第一中學校考階段練習）某公司2022年投資4千萬元用于新產(chǎn)品的研發(fā)與生產(chǎn)，計劃從2023年起，在今后的若干年內，每年繼續(xù)投資1千萬元用于新產(chǎn)品的維護與生產(chǎn)，2022年新產(chǎn)品帶來的收入為0.5千萬元，并預測在相當長的年份里新產(chǎn)品帶來的收入均在上年度收入的基礎上增長.記2022年為第1年，為第1年至此后第年的累計利潤（注：含第年，累計利潤累計收入累計投入，單位：千萬元），且當為正值時，認為新產(chǎn)品贏利.（參考數(shù)據(jù)，，，）（1）試求的表達式；（2）根據(jù)預測，該新產(chǎn)品將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由.【答案】（1）；（2）該新產(chǎn)品將從2030年開始并持續(xù)贏利，理由見解析【解析】（1）由題意知，第1年至此后第年的累計投入為（千萬元），設第年的收入為，前年的累計收入為，由題意得，，所以數(shù)列是以為首項、以為公比的一個等比數(shù)列，則有（千萬元），（千萬元），所以，即（千萬元）.所以的表達式為；（2）因為，所以當時，，即單調遞減，當時，，即單調遞增，又，，，所以該新產(chǎn)品將從第9年開始并持續(xù)贏利.所以該新產(chǎn)品將從2030年開始并持續(xù)贏利.變式3-3．（2023·福建寧德·高二寧德第一中學?？茧A段練習）總書記說：“綠水青山就是金山銀山．”某地響應號召，投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，年投入萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增加．（1）設年內（年為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出、的表達式；（2）至少到哪一年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入．參考數(shù)據(jù)：，，【答案】（1），（2）至少到年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入【解析】（1）年投入為萬元，第年投入為萬元，所以，年內的總投入為.年旅游業(yè)收入為萬元，第年旅游業(yè)收入為萬元，所以，年內的旅游業(yè)總收入為.（2）設至少經(jīng)過年，旅游業(yè)的總收入才能超討總投入，由此得，即，令，代入上式得，即，解得或（舍去），即，不等式兩邊取常用對數(shù)，，即.所以，，故至少到年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.【方法技巧與總結】產(chǎn)值增長問題的實質是等比數(shù)列的應用【題型四：濃度匹配問題】例4．（2023·遼寧沈陽·高二沈陽二中校考階段練習）調查表明，酒后駕駛是導致交通事故的主要原因，交通法規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時的速度減小，問他至少要經(jīng)過幾小時才可以加強機動車（精確到小時)A．1小時B．2小時C．4小時D．6小時【答案】C【解析】設n個小時后才可以駕車，根據(jù)題意可知，每小時酒精下降的量成等比數(shù)列，公比為進而可得方程得，即，所以至少要經(jīng)過4小時后才可以駕駛機動車．故選C．變式4-1．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調和．記，，經(jīng)次調和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為，．（1）試用，表示，．（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出，的通項．【答案】（1），．（2）證明見解析，，．【解析】（1）由題意，經(jīng)次調和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為，所以，．（2）由（1）知，，，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，因為％，所以①，又因為

②．聯(lián)立①②得，．變式4-2．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考一模）為了防止某種新冠病毒感染，某地居民需服用一種藥物預防.規(guī)定每人每天定時服用一次，每次服用m毫克.已知人的腎臟每24小時可以從體內濾除這種藥物的80%，設第n次服藥后（濾除之前）這種藥物在人體內的含量是毫克，（即）.（1）已知，求?；（2）該藥物在人體的含量超過25毫克會產(chǎn)生毒副作用，若人需要長期服用這種藥物，求m的最大值.【答案】（1），；（2）20毫克【解析】（1），；（2）依題意，，所以，，所以是等比數(shù)列，公比為，所以，，，，數(shù)列是遞增數(shù)列，且，所以，即，所以m的最大值是毫克．變式4-3．（2023·全國·高二專題練習）某學校實驗室有濃度為2g/ml和0.2g/ml的兩種K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具體操作方法為取濃度為2g/ml和0.2g/ml的兩種K溶液各300ml分別裝入兩個容積都為500ml的錐形瓶A，B中，先從瓶A中取出100ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再從B瓶中取出100ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上兩次混合過程完成后算完成一次操作．設在完成第n次操作后，A瓶中溶液濃度為ang/ml，B瓶中溶液濃度為bng/ml.(lg2≈0.301，lg3≈0.477)（1）請計算a1，b1，并判定數(shù)列{an－bn}是否為等比數(shù)列？若是，求出其通項公式；若不是，請說明理由；（2）若要使得A，B兩個瓶中的溶液濃度之差小于0.01g/ml，則至少要經(jīng)過幾次？【答案】（1）是，an－bn＝0.9·()n-1；（2）8次.【解析】（1）由題意，得b1＝＝0.65g/ml，a1＝＝1.55g/ml.當n≥2時，bn＝(300bn－1＋100an－1)＝(3bn－1＋an－1)，an＝(200an－1＋100bn)＝(3an－1＋bn－1)，∴an－bn＝(an－1－bn－1)，∴等比數(shù)列{an－bn}的公比為，其首項a1－b1＝1.55－0.65＝0.9，∴an－bn＝0.9·()n-1.（2）由題意可知，問題轉化為解不等式0.9·()n-1<10－2，∴n>1＋≈7.49，∴至少要操作8次才能達到要求.【方法技巧與總結】解數(shù)列應用題的主要事項：（1）抓住數(shù)量關系，聯(lián)想數(shù)學知識和數(shù)學方法，恰當引入?yún)?shù)變量，將文字語言翻譯成數(shù)學語言，將數(shù)量關系用數(shù)學式子表達；（2）將實際問題抽象為數(shù)學問題，將已知與所求練習起來，列出滿足題意的數(shù)學關系式。一、單選題1．（2023·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習）我國新型冠狀病毒感染疫情的高峰過后，關于藥物浪費的問題引發(fā)了廣泛的社會關注．過期藥品處置不當，將會給環(huán)境造成危害．現(xiàn)某藥廠打算投入一條新的藥品生產(chǎn)線，已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計年產(chǎn)量為（單位：萬件），但如果年產(chǎn)量超過60萬件，將可能出現(xiàn)產(chǎn)量過剩，產(chǎn)生藥物浪費．因此從避免藥物浪費和環(huán)境保護的角度出發(fā)，這條生產(chǎn)線的最大生產(chǎn)期限應擬定為（）A．7年B．8年C．9年D．10年【答案】B【解析】第一年年產(chǎn)量為，以后各年年產(chǎn)量為，，當時也符合上式，∴．令，得．設，對稱軸為，則當時，單調遞增，又因為，，則最大生產(chǎn)期限應擬定為8年，，故選：B．2．（2022·高二?？颊n時練習）某銀行在某段時間內，規(guī)定存款按單利計算，且整存整取的年利率如下：存期1年2年3年5年年利率(%)2．252．42．732．88某人在該段時間存入10000元，存期兩年，利息稅為所得利息的5%．則到期的本利和為（）元．A．10373B．10396C．10422D．10456【答案】D【解析】由題意存期兩年的利息與本金為10000×(1＋2×2.4%)，利息稅為10000×2×2.4%×5%，所以到期的本利和為10000×(1＋2×2.4%)－10000×2×2.4%×5%＝10456．故選：.3．（2022·高二校考課時練習）復利是一種計算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.某同學有壓歲錢元，存入銀行，年利率為；若放入微信零錢通或者支付寶的余額寶，年利率可達.如果將這元選擇合適方式存滿年，可以多獲利息（）元.（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．B．C．D．【答案】B【解析】將元錢存入微信零錢通或者支付寶的余額寶，選擇復利的計算方法，則存滿年后的本息和為，故而共得利息元.將元存入銀行，不選擇復利的計算方法，則存滿年后的利息為，故可以多獲利息.故選：B4．（2023·全國·高二隨堂練習）小蕾2018年1月31日存入銀行若干萬元，年利率為1.75%，到2019年1月31日取款時，銀行按國家規(guī)定給付利息469元，則小蕾存入銀行的本金介于（）元之間，并說明理由．A．1萬~2萬B．2萬~3萬C．3萬~4萬D．4萬~5萬【答案】B【解析】設小蕾存入銀行的本金元，依題意，，解得（元），所以小蕾存入銀行的本金介于2萬~3萬元之間.故選：B5．（2023·全國·高二期末）血藥濃度檢測可使給藥方案個體化，從而達到臨床用藥的安全、有效、合理.某醫(yī)學研究所研制的某種新藥進入了臨床試驗階段，經(jīng)檢測，當患者A給藥3小時的時候血藥濃度達到峰值，此后每經(jīng)過2小時檢測一次，每次檢測血藥濃度降低到上一次檢測血藥濃度的，當血藥濃度為峰值的時，給藥時間為（）A．11小時B．13小時C．17小時D．19小時【答案】B【解析】檢測第n次時，給藥時間為，則是以3為首項，2為公差的的等差數(shù)列，所以，設當給藥時間為小時的時候，患者血藥濃度為，血藥濃度峰值為a，則數(shù)列是首項為a，公比為的等比數(shù)列，所以，令，即，解得，當血藥濃度為峰值的時，給藥時間為，故選：B.6．（2022·河南·高二校聯(lián)考期末）中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開，二十大報告提出：尊重自然、順應自然、保護自然，是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的內在要求．必須牢固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發(fā)展．某市為了改善當?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，計劃通過五年時間治理市區(qū)湖泊污染，并將其建造成環(huán)湖風光帶，預計第一年投入資金81萬元，以后每年投入資金是上一年的倍；第一年的旅游收入為20萬元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（）．A．781萬元，60萬元B．525萬元，200萬元C．781萬元，200萬元D．1122萬元，270萬元【答案】C【解析】由題意知這五年投入的資金構成首項為81，公比為，項數(shù)為5的等比數(shù)列，所以這五年投入的資金總額是（萬元）．由題意知這五年的旅游收入構成首項為20，公差為10，項數(shù)為5的等差數(shù)列，所以這五年的旅游收入總額是（萬元）．故選：C．二、多選題7．（2023·河北秦皇島·高二統(tǒng)考期末）我國在預測人口變化趨勢上有直接推算法、灰色預測模型、VAR模型、隊列要素法等多種方法，直接推算法使用的公式是，其中為預測期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預測期內人口增長率，為預測期間隔年數(shù)，則下列說法正確的有（）A．若在某一時期內，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢B．若在某一時期內，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢C．若在某一時期內，則這期間人口數(shù)擺動變化D．若在某一時期內，則這期間人口數(shù)不變【答案】ABD【解析】由，得當時，，因為，所以，對任意的，，所以，，則，此時，在某一時期內，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢，A對；對于B選項，當時，，因為，所以，對任意的，，所以，，則，故在某一時期內，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢，B對；對于C選項，由B選項可知，在某一時期內，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢，C錯；對于D選項，當時，，故在某一時期內，則這期間人口數(shù)不變，D對.故選：ABD.8．（2023·海南儋州·高二校考階段練習）某企業(yè)為一個高科技項目注入了啟動資金2000萬元，已知每年可獲利20%，但由于競爭激烈，每年年底需從利潤中取出200萬元資金進行科研、技術改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率．設經(jīng)過n年之后，該項目的資金為萬元．（取，），則下列敘述正確的是（）A．B．數(shù)列的遞推關系是C．數(shù)列為等比數(shù)列D．至少要經(jīng)過6年，該項目的資金才可以達到或超過翻一番（即為原來的2倍）的目標【答案】ACD【解析】根據(jù)題意：經(jīng)過1年之后，該項目的資金為萬元，A正確；，B不正確；∵，則即數(shù)列以首項為1200，公比為1.2的等比數(shù)列，C正確；，即令，則至少要經(jīng)過6年，該項目的資金才可以達到或超過翻一番（即為原來的2倍），D正確；故選：ACD．三、填空題9．（2023·全國·高二專題練習）沈陽京東MALL于2022年國慶節(jié)盛大開業(yè)，商場為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動.現(xiàn)計劃某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率為r，則愛好者每期需要付款．【答案】【解析】由題意得，，.10．（2023·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學?？茧A段練習）某人實施一項投資計劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個項目.已知2020年他的工資是10萬元，預計未來十年每年工資都會逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結算一次，當年的投資收益自動轉入下一年的投資本金，若2031年1月1日結束投資計劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應有萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】24【解析】由題知，2021年的投入在結算時的收入為，2022年的投入在結算時的收入為，，2030年的投入在結算時的收入為，則結算時的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則。四、解答題11．（2023·上海閔行·高二七寶中學?？计谥校┠彻旧a(chǎn)一種產(chǎn)品，第一年投入資金1000萬元，出售產(chǎn)品后收入40萬元，預計以后每年的投入資金是上一年的一半，出售產(chǎn)品所得收入比上一年多80萬元．同時，當預計投入資金低于20萬元時，就按20萬元投入，且當年出售產(chǎn)品的收